第二章信號及其描述

第二章、信號及其描述本章學(xué)習(xí)要求：1.了解信號分類方法2.掌握信號時域波形分析方法3.掌握信號頻域頻譜分析方法4.了解其它信號分析方法

信號波形：被測信號幅度隨時間的變化歷程稱為信號的波形。信號的分類主要是依據(jù)信號波形特征來劃分的，在介紹信號分類前，先建立信號波形的概念。振動弦(聲源)聲級計記錄儀0At信號波形圖：用被測物理量的強度作為縱坐標，用時間做橫坐標，記錄被測物理量隨時間的變化情況?！?-1信號的分類及其描述為深入了解信號的物理實質(zhì)，將其進行分類研究是非常必要的，從不同角度觀察信號，可以將其分為：1從信號描述上分--確定性信號與非確定性信號；2從信號的幅值和能量上分--能量信號與功率信號；3從信號分析域上分--時域與頻域；4從信號自變量的取值是否連續(xù)--連續(xù)時間信號與離散時間信號；5從信號的物理可實現(xiàn)性上分

--物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號。一、信號的分類

1確定性信號與非確定性信號可以用明確數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為確定性信號。不能用數(shù)學(xué)關(guān)系式描述的信號稱為非確定性信號。周期信號：經(jīng)過一定時間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號

x(t)=x(t+nT)簡單周期信號復(fù)雜周期信號b)非周期信號：不會重復(fù)出現(xiàn)的信號。準周期信號準周期信號:由多個周期信號合成，但各周期信號的頻率不成公倍數(shù)，其合成信號不是周期信號。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)瞬態(tài)信號瞬態(tài)信號:持續(xù)時間有限的信號，如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)c)非確定性信號：不能用數(shù)學(xué)式描述，其幅值、相位變化不可預(yù)知，所描述物理現(xiàn)象是一種隨機過程。噪聲信號(平穩(wěn))噪聲信號(非平穩(wěn))統(tǒng)計特性變異2能量信號與功率信號

a)能量信號在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量為有限值的信號稱為能量信號，滿足條件：

一般持續(xù)時間有限的瞬態(tài)信號是能量信號。瞬態(tài)信號b)功率信號

在所分析的區(qū)間（-∞，∞），能量不是有限值．但平均功率是有限的，即此時，研究信號的平均功率更為合適。一般持續(xù)時間無限的信號都屬于功率信號。復(fù)雜周期信號噪聲信號(平穩(wěn))3時限與頻限信號

a)時域有限信號在時間段(t1，t2)內(nèi)有定義，其外恒等于零．b)頻域有限信號在頻率區(qū)間(f1，f2)內(nèi)有定義，其外恒等于零．三角脈沖信號正弦波幅值譜4連續(xù)時間信號與離散時間信號

a)連續(xù)時間信號:在所有時間點上有定義

b)離散時間信號:在若干時間點上有定義幅值連續(xù)幅值不連續(xù)采樣信號5物理可實現(xiàn)信號與物理不可實現(xiàn)信號a)物理可實現(xiàn)信號：又稱為單邊信號，滿足條件：t＜0時，x(t)=0，即在時刻小于零的一側(cè)全為零。b)物理不可實現(xiàn)信號：在事件發(fā)生前(t<0)就預(yù)知信號。

連續(xù)時間信號n012345t0連續(xù)時間信號（可包含不連續(xù)點）離散時間信號（抽樣信號）f(t)t0數(shù)字信號f(n)

(2)

(1)(1)01234n判斷下列信號判斷下列波形是連續(xù)時間還是離散時間信號，若是離散時間信號是否為數(shù)字信號？值域連續(xù)值域不連續(xù)

例1判斷下列信號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：兩個周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。（1）sin2t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信號，其角頻率和周期分別為ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2為有理數(shù)，故f1(t)為周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)2π。（2）cos2t和sinπt的周期分別為T1=πs，T2=2s，由于T1/T2為無理數(shù)，故f2(t)為非周期信號。（一）信號的時域波形分析以時間為獨立變量，用信號幅值隨時間變化的函數(shù)或圖形來描述信號的方法稱為時域描述（又稱波形分析）信號的時域波形分析是最常用的信號分析手段，用示波器、萬用表等普通儀器直接顯示信號波形，讀取特征參數(shù)。tA2、周期T，頻率f=1/T3、峰值P，雙峰值Pp-p第二節(jié)信號的描述方式1、信號波形圖

tAT

PPp-p4、均值均值E[x(t)]表示集合平均值或數(shù)學(xué)期望值。0At均值：反映了信號變化的中心趨勢，也稱之為直流分量。5、均方值信號的均方值E[x2(t)]，表達了信號的強度，也稱為信號的平均功率；其正平方根值，又稱為有效值(RMS)

。工程測量中儀器的表頭示值就是信號的有效值。6、方差信號x(t)的方差定義為：

大方差

小方差

方差：反映了信號繞均值的波動程度。（二）信號的頻域分析

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz信號頻域分析是采用傅立葉變換或傅立葉級數(shù)將時域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個角度來了解信號的特征。

傅里葉變換或級數(shù)1頻譜的概念131Hz147Hz165Hz175Hz頻域參數(shù)對應(yīng)于設(shè)備轉(zhuǎn)速、固有頻率等參數(shù)，物理意義更明確。時域分析只能反映信號的幅值隨時間的變化情況，除單頻率分量的簡諧波外，很難明確揭示信號的頻率組成和各頻率分量大小。（三）兩者的關(guān)系圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號

時間幅值頻率時域分析頻域分析時域分析與頻域分析的關(guān)系信號的頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量處信號成分的大小，它能夠提供比時域信號波形更直觀，豐富的信息。

例：方波信號的描述

時域……T0T0T02T020tx(t)

頻域，4A

4A34A50A()03050003050

()/2幅值譜相位譜x(t)0tT0補充：gibbs現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象：當(dāng)用Fourier級數(shù)的諧波分量之和來表達具有間斷點的波形時，由于實際所取的諧波分量項數(shù)有限，及用傅里葉級數(shù)展開時展開式在間斷點鄰域不能均勻收斂等原因，使得合成后的波形與原波形不一致，呈現(xiàn)波紋，這種現(xiàn)象就稱為吉布斯現(xiàn)象。周期方波信號的時、頻域描述

狄里克利（Dirichet）條件

在一周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。

在一周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。

在一周期內(nèi)，信號絕對可積，即

第三節(jié)周期信號及其離散頻譜

1.傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式

Q:如何求各個系數(shù)？圓頻率n=1,2,3…周期傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)展開式如下：式中同頻項合并后得：由上式可知，周期信號是由一個常值分量A0和若干個不同頻率的簡諧信號迭加而成的。其中：稱為n次諧波(n>2時也稱為高次諧波)，諧波頻率為基波頻率的整數(shù)倍；想一想：均值為零的周期方波的第3條譜線是幾次諧波？

稱為一次諧波或基波，基波頻率與信號頻率相同(周期相同)；基頻當(dāng)n為奇數(shù)時稱為奇次諧波，當(dāng)n為偶數(shù)時稱為偶次諧波。A0稱為信號的直流分量，即信號的均值。利用傅里葉級數(shù)把一個周期信號分解成一個直流分量和無數(shù)諧波分量之和的方法稱為諧波分析法或傅里葉分析法。以角頻率（或頻率f）為橫坐標，幅值A(chǔ)n或相角φn為縱坐標所作的圖形，分別稱為信號的幅頻圖和相頻圖，兩者統(tǒng)稱為信號的頻譜。想一想：周期信號頻譜是連續(xù)的，還是離散的？為什么？例：周期性三角波的頻譜

0T0/2-T0/2Ax(t)t......解：=0n=1,3,5,…

因此，有：4A

24A924A2520A()03050003050

()

A22例子：求下圖波形的頻譜+X1(f)X2(f)用線性疊加定理簡化2復(fù)指數(shù)展開式

利用歐拉公式

周期信號可以寫為：

得：按實頻譜和虛頻譜形式

幅頻譜和相頻譜形式

幅頻譜圖：|

cn|——相頻譜圖：

n

——實頻譜圖：

cnR

——虛頻譜圖：

cnI

——

負頻率“負頻率”是運算的需要。實際中，只有把負頻

率項與相應(yīng)的正頻率項成對合并起來，才是實

際的頻譜函數(shù)；從向量旋轉(zhuǎn)的方向：一個向量的實部可以看成兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。

AA/20-00ReIm-負頻率的說明

幾點結(jié)論

復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到+），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（從

0到+）兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系：

雙邊幅值譜為偶函數(shù)，雙邊相位譜為奇函數(shù)

一般周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)函數(shù)展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。

解：c-1=1/2，c1=1/2，c0=0（n=0,1）c-1=j/2，c1=-j/2，c0

=0（n=0,1）1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜綜上所述，周期信號頻譜的特點如下：

周期信號的頻譜是離散譜；

每個譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上，基波頻率是諸分量頻率的公約數(shù)；

各頻率分量的譜線高度表示該諧波的幅值或相位角大小。從總體上看，工程上常見的周期信號，其諧波分量幅值都是隨諧波次數(shù)的增加而減小。因此，在頻譜分析中沒有必要取次數(shù)過高的諧波分量。

第四節(jié)

瞬變非周期信號與連續(xù)頻譜

瞬變信號例參見下頁

頻率之比為有理數(shù)的多個諧波分量，其疊加后由于有公共周期，→周期信號

當(dāng)信號中各個頻率比不是有理數(shù)時，則信號疊加后是準周期信號

一般非周期信號是指瞬變非周期信號

1.傅里葉變換

非周期信號可以看成是周期T0

趨于無窮大的信號。

傅里葉變換(FT)

傅里葉反（逆）變換(IFT)

以代入得記為：x(t)X()FTIFT而且有：用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為

盡管非周期信號的幅頻譜

和周期信號的幅頻譜

很相似，但是兩者量綱不同。

為信號幅值的量綱，而

為信號單位頻寬上的幅值。所以

是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。注意：例：求矩形窗函數(shù)的頻譜

其中：T稱為窗寬。在信號分析中稱為抽樣信號，它以2為周期并隨的增加作衰減震蕩。

1-T/2T/2tw(t)0W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。其幅值譜為：sinc是偶函數(shù)，在n（n=1,2,……）處其值為0。

其相位譜視的符號而定。當(dāng)為正值時相角為零，為負值時相角為非周期信號頻譜的特點

基頻無限小，包含了從-

?+的所有頻率分量。

頻譜連續(xù)。當(dāng)非周期信號為時限信號（即|t|

t0時，x(t)=0)時，可拓展成一周期信號（T2t0），使連續(xù)譜離散化，所得離散譜的包絡(luò)線與連續(xù)譜的形狀相同。

|X()|與|cn|量綱不同。|cn|具有與原信號幅值相同的量綱，|X()|是單位頻寬上的幅值。

非周期信號頻域描述的基礎(chǔ)是傅里葉變換。

傅立葉變換的主要性質(zhì)

奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)若x(t)為實函數(shù)，則：ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f)l

對稱性：若則：X(t)x(-f)證明：

互換t和f:從而：X(t)x(-f)圖

尺度改變性質(zhì)舉例a)k=1b)k=0.5c)k=2應(yīng)用：磁帶的慢錄快放和快錄慢放？圖

時移性質(zhì)舉例a)時域矩形窗

b)圖a）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線c)時移的時域矩形窗

d)圖c）對應(yīng)的幅頻和相頻特性曲線

若x(t)X(f)，且為常數(shù),則頻移性質(zhì)證明：

時域卷積對應(yīng)頻域乘積時域乘積對應(yīng)頻域卷積

積分特性:

若則在振動測試中，如果測得振動系統(tǒng)的位移、速度或加速度中任意一個參數(shù)，應(yīng)用微分、積分特性就可獲得其他參數(shù)的頻譜。一、單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))

的頻譜1.δ函數(shù)定義且其面積（強度）

/201/ts(t)0t(t)1幾種典型信號的頻譜2.δ函數(shù)的性質(zhì)

1)采樣性質(zhì)

表明：任何函數(shù)f(t)和(t-t0)函數(shù)的乘積仍是一個強度為f(t0)的函數(shù)(t-t0)，而該乘積在無限區(qū)間上的積分則是f(t)在t=t0時刻的函數(shù)值f(t0)。2)

卷積性

函數(shù)與其它函數(shù)的卷積示例

3.δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換

δ函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”

δ函數(shù)是偶函數(shù)，即

，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對

（各頻率成分分別移相2ft0）

(tt0)(f)（單位脈沖譜線）

1（幅值為1的直流量）

1（均勻頻譜密度函數(shù)）

(t)（單位瞬時脈沖）

頻

域

時

域

二、

矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜

1、矩形窗函數(shù)的頻譜

（1）一個在時域有限區(qū)間里有值的信號，其頻譜卻延伸至無限頻率。

（2）在時域中截取信號的一段記錄長度，相當(dāng)于將原信號與矩形窗函數(shù)之乘積。（3）幅值最大，稱主瓣，其它為旁瓣。主瓣寬度為窗寬倒數(shù)的2倍。2、常值函數(shù)(又稱直流量)

的頻譜幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f=0處的δ函數(shù)

實際上，常值函數(shù)可以看成是窗寬為無窮大的矩形窗函數(shù)，由時間尺度改變性質(zhì)，也可以得出其對應(yīng)的頻域函數(shù)就是δ函數(shù)。

三、

指數(shù)函數(shù)的頻譜單邊指數(shù)衰減函數(shù)

其傅里葉變換為

單邊指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

四、

正余弦函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足在無限區(qū)間上絕對可積條件，不能直接對之進行傅氏變換。由歐拉公式知：00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0五、

梳狀函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜

其中Ts為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅氏級數(shù)

（fs=1/Ts）因為在（-Ts/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故從而

所以

即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Ts。

第五節(jié)隨機信號的描述

隨機信號是非確定性信號

隨機信號具有不重復(fù)性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預(yù)估性隨機信號必須采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述相關(guān)概念

隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象。樣本函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)。隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作{x(t)}，即：{

x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}隨機變量：隨機過程在某一時刻t1之取值x(t1)是一個隨機變量，隨機變量一般定義在樣本空間上。集合平均：一般而言，任何一個樣本函數(shù)都無法恰當(dāng)?shù)卮黼S機過程{

x(t)}