第10章第2課時(shí)排列與組合

第十章計(jì)數(shù)原理和概率第2課時(shí)排列與組合1．理解排列、組合的概念．2．能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式．3．能解決簡單的實(shí)際問題．請注意1．排列、組合問題每年必考．2．以實(shí)際問題為背景，考查排列數(shù)、組合數(shù)，同時(shí)考查分類討論的思想及解決問題的能力．3．以選擇、填空的形式考查，或在解答題中和概率相結(jié)合進(jìn)行考查．1．兩個(gè)概念(1)排列．從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素(m≤n)，按照___________________，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．(2)組合．從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素

，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．一定順序排成一列并成一組2．兩個(gè)公式(1)排列數(shù)公式．規(guī)定0?。?/p>

.n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)

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3．組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)1．(課本習(xí)題改編)下列等式不正確的是(

)答案B

2．(2014·遼寧理)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為(

)A．144 B．120C．72 D．24答案D3．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有(

)A．60種 B．63種C．65種 D．66種答案D4．若某單位要邀請10位教師中的6位參加一個(gè)會議，其中甲、乙兩位教師不能同時(shí)參加，則邀請的不同方法有(

)A．84種 B．98種C．112種 D．140種答案D5．一份試卷有10道考題，分為A，B兩組，每組5題，要求考生選答6題，但每組最多選4題，則每位考生有________種選答方案．答案200題型一排列數(shù)、組合數(shù)公式探究1運(yùn)用排列數(shù)、組合數(shù)公式證明等式時(shí)，一般用階乘式．運(yùn)用排列數(shù)、組合數(shù)公式計(jì)算具體數(shù)字的排列數(shù)、組合數(shù)時(shí)一般用展開式，直接進(jìn)行運(yùn)算．思考題1【答案】

(1)x＝8

(2)165

例2

7位同學(xué)站成一排：(1)站成兩排(前3后4)，共有多少種不同的排法？(2)其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？(3)甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？(4)甲不排頭、乙不排尾的排法共有多少種？(5)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？(6)甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少種？題型二排列應(yīng)用題(7)甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？(8)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種？(9)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)不都相鄰的排法共有多少種？(10)甲、乙相鄰且與丙不相鄰的排法共有多少種？(11)甲必須站在乙的左邊的不同排法共有多少種？【思路】本題是有關(guān)排列的一道綜合題目，小題比較多，包括排列中的各種方法和技巧，請同學(xué)們認(rèn)真思考．【講評】涉及有限制條件的排列問題時(shí)，首先考慮特殊元素的排法或特殊位置上元素的選法，再考慮其他元素或其他位置(這種方法稱為元素分析法或位置分析法)．探究2求解排列應(yīng)用題的主要方法：直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局面定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法 (1)(2014·四川理)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有(

)A．192種 B．216種C．240種 D．288種思考題2【答案】

B

(2)(2014·重慶理)某次聯(lián)歡會要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(

)A．72 B．120C．144 D．168【答案】

B

(3)有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位．現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)有________．【答案】

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例3某市工商局對35件商品進(jìn)行抽樣調(diào)查，已知其中有15件假貨．現(xiàn)從35件商品中選取3件．(1)其中某一件假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一件假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2件假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2件假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2件假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？題型三組合應(yīng)用題【講評】組合問題常有以下兩類題型：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．探究3有限制條件的組合問題的解題思路，同樣要從限制條件入手．因組合問題只是從整體中選出部分即可，相對來說較簡單．常見情況有：(1)某些元素必選；(2)某些元素不選；(3)把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少，分類；(4)排除法． 7名男生5名女生中選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？(1)A，B必須當(dāng)選；(2)A，B必不當(dāng)選；(3)A，B不全當(dāng)選；(4)至少有2名女生當(dāng)選；(5)選取3名男生和2名女生分別擔(dān)任班長、體育委員等5種不同的工作，但體育委員必須由男生擔(dān)任，班長必須由女生擔(dān)任．思考題3【答案】

(1)120

(2)252

(3)672

(4)596(5)12600例4有五張卡片，它們的正、反面分別寫著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？題型四排列、組合混合題【答案】

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探究4排列、組合的混合題推理是從幾類元素中取出符合題意的幾個(gè)元素，再安排到一定位置上的問題．其基本的解題步驟為：第一步：選，根據(jù)要求先選出符合要求的元素．第二步：排，把選出的元素按照要求進(jìn)行排列．第三步：乘，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解不同的排列種數(shù)，得到結(jié)果．

有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．(1)共有多少種放法？(2)恰有一個(gè)盒子不放球，有多少種放法？(3)恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？(4)恰有兩個(gè)盒子不放球，有多少種放法？思考題4(3)“恰有一個(gè)盒子內(nèi)放2個(gè)球”，即另外的三個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒．因此，“恰有一個(gè)盒子放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事．故也有144種放法．【答案】

(1)256

(2)144

(3)144

(4)84

1．解排列組合題的“16字方針，12個(gè)技巧”：(1)“16字方針”是解排列組合題的基本規(guī)律，即：有序排列、無序組合；分類為加、分步為乘．(2)“12個(gè)技巧”是速解排列組合題的捷徑．即：①相鄰問題捆綁法；②不相鄰問題插空法；③多排問題單排法；④定序問題倍縮法；⑤定位問題優(yōu)先法；⑥有序分配問題分步法；⑦多元問題分類法；⑧交叉問題集合法；⑨至少(至多)問題間接法；⑩選排問題先取后排法；?局部與整體問題排除法；?復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化法．2．計(jì)數(shù)重復(fù)或遺漏的原因在于分類、分步的標(biāo)準(zhǔn)不清，一般來說，應(yīng)檢查分類是否按元素(或特殊元素)的性質(zhì)進(jìn)行的，分步是否按事件發(fā)生的過程進(jìn)行的．3．畫示意圖是尋找解題途徑的有效手段．1．從1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有(

)A．9個(gè) B．24個(gè)C．36個(gè) D．54個(gè)答案D2．從甲、乙等5人中選3人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)是(

)A．12 B．24C．36 D．48答案D答案C

4．從1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案2165．某校開設(shè)