第3章-靜電場及其邊值問題的解法-2

§3.2靜電場中的介質(zhì)電偶極子的概念

圖電偶極子

電矩矢量:

電荷q乘以有向距離表示電偶極子的大小和空間取向電偶極子電場的電場強度與電位：電偶極子

有極分子無極分子一.介質(zhì)的極化

導體中的電子通常稱為自由電子，它們所攜帶的電荷稱為自由電荷。

介質(zhì)中的電荷是不會自由運動的，這些電荷稱為束縛電荷。

在電場作用下，介質(zhì)中束縛電荷發(fā)生位移，這種現(xiàn)象稱為極化。通常，無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。

無極分子有極分子Ea介質(zhì)的極化：在外電場的作用下:

電介質(zhì)中的非極性分子的正負電荷中心發(fā)生相對位移極性分子的電矩發(fā)生轉(zhuǎn)向此時其等效偶極子電矩的矢量和不再為零；

☆在電介質(zhì)內(nèi)部和表面形成了產(chǎn)生附加場的等效電荷分布，稱為束縛電荷（或極化電荷）；☆介質(zhì)中的場強為自由電荷與束縛電荷產(chǎn)生的場強的疊加；

實際上，介質(zhì)極化現(xiàn)象是逐漸形成的。當外加電場Ea

加到介質(zhì)中以后，介質(zhì)中出現(xiàn)的電偶極子產(chǎn)生二次電場Es，這種二次電場Es又影響外加電場，從而導致介質(zhì)極化發(fā)生改變，使二次電場又發(fā)生變化。一直到合成電場產(chǎn)生的極化能夠建立一個穩(wěn)態(tài)的二次電場，極化狀態(tài)達到動態(tài)平衡，其過程如下圖所示。

介質(zhì)合成場Ea+Es極化二次場Es外加場Ea

介質(zhì)極化以后，介質(zhì)中出現(xiàn)很多排列方向大致相同的電偶極子。為了衡量這種極化程度，我們定義，單位體積中電矩的矢量和稱為極化強度，以P表示，即式中pi

為體積V

中第i個電偶極子的電矩，N

為V

中電偶極子的數(shù)目。這里V

應(yīng)理解為物理無限小的體積。

實驗結(jié)果表明，大多數(shù)介質(zhì)在電場的作用下發(fā)生極化時，其極化強度P與介質(zhì)中的合成電場強度E

成正比，即式中e

稱為極化率，它是一個正實數(shù)。

這類介質(zhì)的極化強度與合成的電場強度的方向相同。極化強度的某一坐標分量僅決定于相應(yīng)的電場強度的坐標分量。極化率與電場方向無關(guān)，這類介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì)。有些介質(zhì)其極化強度的某一坐標分量不僅與電場強度相應(yīng)的坐標分量有關(guān)，而且與電場強度的其他分量也有關(guān)。這類介質(zhì)的極化強度P

與電場強度

E

的關(guān)系可用下列矩陣表示這就表明，介質(zhì)的極化率與電場強度的方向有關(guān)，也就是極化特性與電場強度方向有關(guān)，因此，這類介質(zhì)稱為各向異性介質(zhì)。

空間各點極化率相同的介質(zhì)稱為均勻介質(zhì)，否則，稱為非均勻介質(zhì)。極化率與時間無關(guān)的介質(zhì)稱為靜止媒質(zhì)，否則稱為運動媒質(zhì)。

介質(zhì)的均勻與非均勻性、線性與非線性、各向同性與各向異性、靜止與運動分別代表完全不同的概念，不應(yīng)混淆。

因此，若極化率是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻且各向同性的介質(zhì)。若前述矩陣的各個元素都是一個正實常數(shù)，則適用于線性均勻各向異性的介質(zhì)。

極化率與電場強度的大小無關(guān)的介質(zhì)稱為線性介質(zhì)，否則，稱為非線性介質(zhì)。各向異性的介質(zhì)能否是均勻的？非均勻介質(zhì)能否是各向同性的？

發(fā)生極化以后，介質(zhì)表面出現(xiàn)面分布的束縛電荷。若介質(zhì)內(nèi)部是不均勻的，則極化產(chǎn)生的電偶極子的分布也是不均勻的，在介質(zhì)內(nèi)部出現(xiàn)束縛電荷的體分布，因而出現(xiàn)體分布的束縛電荷。這種因極化產(chǎn)生的面分布及體分布的束縛電荷又稱為極化電荷。可以證明這些極化電荷產(chǎn)生的電位為

式中為極化強度，它與極化電荷的關(guān)系為

由此可見，任一塊介質(zhì)內(nèi)部體分布的束縛電荷與介質(zhì)塊的表面束縛電荷是等值異性的。

右式又可寫為積分形式

為了計算電介質(zhì)內(nèi)所有電偶極子產(chǎn)生的宏觀電場,我們用極化強度來表示電介質(zhì)的極化程度,其表示式為極化強度矢量式中是體積元ΔV內(nèi)偶極矩的矢量和,是一個矢量函數(shù),它的方向取決于,大小是單位體積內(nèi)的電偶極矩。極化電荷體密度:極化電荷面密度2.極化電荷(束縛電荷)介質(zhì)表面外法線方向；1.高斯定理:電場特性與場源電荷間的依賴關(guān)系的一般規(guī)律1、真空中的高斯通量定理

2.靜電場的散度二、介質(zhì)中的高斯通量定理

2.介質(zhì)中的高斯通量定理

電介質(zhì)中高斯定理的微分形式應(yīng)改寫為

A.電位移矢量真空中高斯定理:將式(2-58)兩邊在任一體積V內(nèi)積分,并應(yīng)用高斯公式,則得(2-58)B、電介質(zhì)中的高斯定理

xe稱為電介質(zhì)的極化率上式中ε是媒質(zhì)的介電常數(shù),在真空中。C、與的關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）,介電常數(shù)對真空中的點電荷q對介質(zhì)中的點電荷q真空中點電荷q的場：介質(zhì)中點電荷q的場：表3.2-1電介質(zhì)的介電常數(shù)和擊穿強度

高斯定理的應(yīng)用----總結(jié)

——已知源電荷分布，求空間場分布應(yīng)用場強疊加原理利用高斯定理的積分形式（當電場分布具有某種空間對稱性）——已知場空間分布，求源電荷分布利用高斯定理的微分形式高斯定理解題步驟：（1）分析電場是否具有對稱性。（2）取合適的高斯面(封閉面)，即取在電場強度相等的曲面上。（4）分別求出，從而求得及。（3）電場強度相等的面不構(gòu)成閉合面時，另選法線的面，使其成為閉合面。

例1

一個半徑為a的導體球，帶電量為Q，在導體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼，殼外是空氣。求導體球外空間任一點的電位移矢量、電場強度、極化矢量以及束縛電荷密度。

解：(r≥a)介質(zhì)內(nèi)(a<r<b)：介質(zhì)外(r>b)：介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度：介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度：介質(zhì)表面外法線方向；

例2

設(shè)有兩塊很大的平行導體板,板間距離為d,且d比平板的長和寬均小得很多。兩板接上直流電壓源U,充電后又斷開電源;然后在兩板間插入一塊均勻介質(zhì)板,其相對介電常數(shù)εr=9。假設(shè)介質(zhì)板的厚度比d略小一點,留下一空氣隙,如圖所示。

試求:(1)放入介質(zhì)板前后,平行板間各點的電場強度;(2)介質(zhì)板表面的束縛面電荷密度,和介質(zhì)板內(nèi)的束縛體電荷密度。圖兩平行導體板間的電場(a)插入介質(zhì)板前的電場;(b)插入介質(zhì)板后的電場圖兩平行導體板間的電場(a)插入介質(zhì)板前的電場;(b)插入介質(zhì)板后的電場

［解］因為兩板間距離d遠小于平板的尺寸,所以可以忽略邊緣效應(yīng),認為板間的電場是均勻的,方向與極板垂直。

(1)加入介質(zhì)板前的電場強度為

設(shè)兩極板上自由電荷面密度分別為ρs和-ρs,根據(jù)高斯定理,作一柱形高斯面,如圖3-15(a)中虛線所示,上下底面與極板平行,ΔS是其面積,所以因而得

加入介質(zhì)板后的電場:因為充電后電源已被切斷,所以極板上的自由電荷密度保持不變。用上面同樣的方法作高斯面,并用高斯定理求得所以空氣間隙中的電場強度為(與未加介質(zhì)板前相同)介質(zhì)中的電場強度為(是未加介質(zhì)板前場強的1/9)(2)介質(zhì)中的極化強度小結(jié)積分形式:※

靜電場的基本方程※本構(gòu)關(guān)系:線形、各向同性媒質(zhì)※場量電場強度矢量電位移矢量標量