第四章 幾種重要的分布

P769.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任取出5個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望

24.兩個(gè)隨機(jī)變量ξ和η，已知Dξ=25，Dη=36，ρξη=0.4，計(jì)算D

(ξ+η)與D

(ξ-η)ξ：任取出5個(gè)產(chǎn)品中次品數(shù)第四章幾種重要的分布4.1

二項(xiàng)分布4.2超幾何分布4.3普哇松分布4.4指數(shù)分布4.5Γ-分布4.6正態(tài)分布貝努里(Bernoulli)概型與二項(xiàng)分布1.(0-1)分布(p26)

若以X表示進(jìn)行一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從(0－1)分布(兩點(diǎn)分布)X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k,(0<p<1)k＝0，1或4.1二項(xiàng)分布（一）隨機(jī)變量ξ的分布律(P79)定義４.1如果隨機(jī)變量ξ有概率函數(shù)，2.(p24)定義設(shè)將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率均為p，則稱這n次試驗(yàn)為n重貝努里試驗(yàn).事件A恰好發(fā)生k次的概率為則稱ξ服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記作ξ~B（n,p)其中0<p<1,q=1-p,事件Ａ至多出現(xiàn)m次的概率是事件Ａ出現(xiàn)次數(shù)不小于不大于

的概率是ξ的分布函數(shù)為:P{ξ=k}的值恰好是二項(xiàng)式（q+px)n展開式中第k+1項(xiàng)xk的系數(shù)。例1某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4，求最近６天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布。

解設(shè)最近六天內(nèi)用水量保持正常的天數(shù)為ξ。它服從二項(xiàng)分布，ξ～B(6,0.75)用公式（4.1）計(jì)算其概率值，得到：0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780（二）二項(xiàng)分布的期望和方差

二項(xiàng)分布B(n,p)

二項(xiàng)分布B(n,p)：例3若ξ~B(n,p),求E(ξ)解:設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則求Dξ設(shè)第i次試驗(yàn)事件A發(fā)生第i次試驗(yàn)事件A不發(fā)生則（三）二項(xiàng)分布的最可能值

二項(xiàng)分布中ξ可以取值0,１,…,n。使概率Ｐ{ξ=k}取最大值的k，記作k0，稱k0為二項(xiàng)分布的最可能值。由(2)得(4.3)

例４某批產(chǎn)品中有８０％的一等品，對(duì)它們進(jìn)行重復(fù)抽樣檢驗(yàn)，共取出４個(gè)樣品，求其中一等品數(shù)ξ的最可能值，并用貝努里公式驗(yàn)證。解ξ服從二項(xiàng)分布，ξ～B(40.8)np+p=3.2+0.8=4是整數(shù)，所以k0=4和k0=3時(shí)Ｐ{ξ＝k0}為最大。即取出４個(gè)樣品時(shí)，一等品個(gè)數(shù)最可能是３或４。用貝努公式計(jì)算ξ的分布律下ξ01234p0.00160.02560.15360.40960.4096４.２超幾何分布

例１某班有學(xué)生２０名，其中有５名女同學(xué)，今從班上任選４名學(xué)生去參觀展覽，被選到的女同學(xué)數(shù)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，求ξ的分布。解ξ可以取０，１，２，３，４這５個(gè)值，計(jì)算結(jié)果列成概率分布表如下：ξ01234p0.28170.46960.21670.03100.0010定義４２設(shè)Ｎ個(gè)元素分為兩類，有Ｎ１個(gè)屬于第一類，Ｎ２個(gè)屬于第二類（Ｎ１＋Ｎ２＝Ｎ）。從中按不重復(fù)抽樣取n個(gè)，令ξ表示這n個(gè)中第一（或二）類元素的個(gè)數(shù)，則ξ的分布稱為超幾何分布。其概率函數(shù)是pqp1超幾何分布以二項(xiàng)分布為極限當(dāng)N→∞時(shí)，４３普哇松分布

其中λ>0，則稱ξ

服從普哇松(Poisson)分布。定義4.3如果隨機(jī)變量ξ的概率函數(shù)是

利用級(jí)數(shù)易知由于兩邊對(duì)求導(dǎo)得或或

普哇松分布常見于所謂稠密性的問題中。如一段時(shí)間內(nèi)，電話用戶對(duì)電話臺(tái)的呼喚次數(shù)，候車的旅客數(shù)，原子放射粒子數(shù)，織機(jī)上斷頭的次數(shù)，以及零件鑄造表面上一定大小的面積內(nèi)砂眼的個(gè)數(shù)等等。在二項(xiàng)分布中，ξ～B(n，p)當(dāng)n比較大，p很小時(shí)，用普哇松分布近似代替二項(xiàng)分布的公式，其中λ＝np普哇松分布的方便之處在于有現(xiàn)成的分布表（見附表一）可查，免于復(fù)雜的計(jì)算。普哇松定理表明，普哇松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)=np的普哇松分布ξ～B(n,p)與ξ～Pλ(ξ=k)的比較

解因普哇松分布的參數(shù)λ就是它的期望值Eξ，故λ=5查書后附表一，有p5(2)=0.084224p5(5)=0.175467P5(20)=0例1ξ服從普哇松分布，Eξ=5,查表求P(ξ=2)=P(ξ=5)=P(ξ=20)=例2一大批產(chǎn)品的廢品率為p=0.015求任取一箱（有100個(gè)產(chǎn)品），箱中恰有一個(gè)廢品的概率。解所取一箱中的廢品個(gè)數(shù)服從超幾何分布，由于產(chǎn)品數(shù)量N很大，可按二項(xiàng)分布公式算，其中n=100,p=0.015但由于ｎ較大而ｐ很小，可用普哇松分布公式近似代替二項(xiàng)分布公式計(jì)算。其中λ=np=1.5,查表得：誤差不超過0.01例３檢查了100個(gè)零件上的疵點(diǎn)數(shù)，結(jié)果如表4-6:

疵點(diǎn)數(shù)0123456頻用普哇松分布公式計(jì)算疵點(diǎn)數(shù)的分布，并與實(shí)際檢查結(jié)果比較。解：要用普哇松(Poisson)分布公式計(jì)算，首先要求出λ頻率0.140.270.260.200.070.030.03概率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.0120EX

P992、164.4指數(shù)分布定義4.4如果隨機(jī)變量ξ的概率密度為其中λ>0，則稱ξ服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。它的分布函數(shù)

易知0x對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b（0≤a<b),有在習(xí)題三第12題中已經(jīng)算出它的期望和方差：

指數(shù)分布常用來作為各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間，某些消耗性產(chǎn)品（電子元件等）的壽命等等，都常被假定服從指數(shù)分布。假若產(chǎn)品的失效率為λ，則產(chǎn)品在t(t>0)時(shí)間失效的分布函數(shù)而產(chǎn)品的可靠度為:例1某元件壽命ξ服從參數(shù)為λ(λ-1=1000)的指數(shù)分布。3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)后，都沒有損壞的概率是多少？各元件壽命相互獨(dú)立，因此3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)都未損壞的概率為解參數(shù)為λ的指數(shù)分布的分布函數(shù)為例.電子元件的壽命ξ(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解4.5Γ-分布定義4.5如果連續(xù)性隨即變量ξ具有概率密度其中λ>0，r>0，則稱ξ服從Γ-分布，記作ξ～Γ(λ,r)這里的Γ(r)就是微積分里定義的Γ-函數(shù)，即Γ-分布在概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程中都有不少應(yīng)用。當(dāng)r=1時(shí)，為指數(shù)分布當(dāng)r>0時(shí)這個(gè)積分式收斂的，利用Γ-函數(shù)的定義可以證明還可以計(jì)算出

當(dāng)r為正整數(shù)時(shí)，它是排隊(duì)論中常用到的r階愛而朗分布；

當(dāng)r=n/2(n是正整數(shù)），λ=1/2時(shí)就是具有n個(gè)自由度的χ2分布簡記作χ2(n)

它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的幾個(gè)常用統(tǒng)計(jì)量的分布之一。表示進(jìn)入到所要考慮的統(tǒng)計(jì)問題中自由變量的個(gè)數(shù)自由度:多一個(gè)約束條件,就少一個(gè)自由變量.

定理4.1如果ξ1,ξ2,…,ξn相互獨(dú)立，且ξi服從參數(shù)為λ,ri的Γ-分布，則它們的和ξ1+ξ2+…+ξn服從參數(shù)為r1+r2+…+rn的Γ－分布證明：略Γ-分布具有可加性EX

P10116、17、18、19、21

正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。ABA，B間真實(shí)距離為，測量值為ξ。ξ的概率密度應(yīng)該是什么形態(tài)？4.6正態(tài)分布（一）正態(tài)分布的概率密度定義4.6如果連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度為其中σ,μ為常數(shù)，并且σ>0，則稱ξ服從參數(shù)為μ,σ正態(tài)分布，簡記作N(,2)利用普哇松積分可以驗(yàn)證＝0特別地，當(dāng)參數(shù)μ=0，σ=1時(shí)，φ(x)可以寫成稱它為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，簡記作N(0,1)其中為實(shí)數(shù)，

>0，則稱ξ服從參數(shù)為

,2的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為ξ～N(,2).若隨機(jī)變量

(1)單峰對(duì)稱

密度曲線關(guān)于直線x=對(duì)稱；(p93)

φ()＝maxφ(x)＝

.正態(tài)分布有兩個(gè)特性：(2)的大小直接影響概率的分布越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峻，。正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布ξ～N(0,1)密度函數(shù)表示為（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度φ0(x)的性質(zhì)及概率密度函數(shù)表φ0(x)除具有一般概率密度的性質(zhì)外，還有下列性質(zhì)：（1）φ0(x)有各階導(dǎo)數(shù)；（2）φ0(-x)=φ0(x)

，即φ0(x)

的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）φ0(x)在(-∞，0)內(nèi)嚴(yán)格上升，在(0,+∞)內(nèi)嚴(yán)格下降，在x=0處達(dá)到最大值：（4）φ0(x)

在x=±1處有兩個(gè)拐點(diǎn)；

即x軸是曲線φ0(x)

的水平漸近線。例1介紹查概率密度函數(shù)表（5）例1ξ～N(0,1)求0.077540.33910.398900.002096定理4.2如果（三）一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系其概率密度分別記為分布函數(shù)分別記為

證:定理4.3如果稱隨機(jī)變量函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)化變換。證：（四）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表

如果ξ～N(0,1),則對(duì)大于零的實(shí)數(shù)x,的值可以由附表三直接查到。例2=0.975＝P(ξ≥1.96)=1-P(ξ≤1.96)=0.025=P(-1.96≤ξ≤1.96)==0.95=0.81855=0.97725+0.8413－1＝1∴如果ξ～N(0,1)，則例3解：例4解：查表得：若ξ~N（0，1）,（0.5)=0.6915,P{1.32<ξ<2.43}=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注：(1)(x)＝1－(－x)；

(2)若X～N(,2)，則正態(tài)分布表（五）正態(tài)分布與Γ-分布的關(guān)系

定理4.4如果ξ服從N(0,1)，則ξ2服從λ＝0.5，r=0.5的Γ-分布，即證：根據(jù)P54（2.26)式，當(dāng)x≤0時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)當(dāng)x>0時(shí)（六）二元正態(tài)分布定義4.7若二元連續(xù)型隨機(jī)變量（ξ，η）的聯(lián)合概率密度為（4.16）其中均為常數(shù)。時(shí)，稱（ξ，η）服從二元正態(tài)分布＝1

定理4.5二元正態(tài)分布的邊緣概率密度是一元正態(tài)分布。證：設(shè)（ξ，η）的聯(lián)合概率密度由（4.16）式給出，ξ的邊緣概率密度記為二元正態(tài)分布的相關(guān)系數(shù)為ρ由第三章的知識(shí)我們知道：相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量一定不相關(guān)ρ＝0但是不相關(guān)的隨機(jī)變量不一定獨(dú)立然而對(duì)于二元正態(tài)分布來說，有定理4.6成立定理4.6服從二元正態(tài)分布的隨機(jī)變量（ξ,η)它們獨(dú)立的充分必要條件是ξ與η的相關(guān)系數(shù)ρ=0證：必要性充分性

定義4.8若連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度為

稱ξ服從具有n個(gè)自由度的t分布，簡記為t（n）。最后介紹連個(gè)在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要位置的兩個(gè)分布定義4.9若連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的概率密度為稱ξ

服從具有第一個(gè)自由度為n1

，第二個(gè)自由度為n2

的F分布，簡記為EX

P10125、26、27第四章復(fù)習(xí)要求2、熟練掌握幾種重要分布的數(shù)字特征：期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)1、熟練掌握幾種重要的分布：

0－1分布；二項(xiàng)分布；超幾何分布；幾何分布；普哇松分布；均勻分布；指數(shù)分布；正態(tài)分布。4、掌握常用分布的數(shù)字特征與分布參數(shù)之間的關(guān)系3、理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性及不相關(guān)的概念掌握獨(dú)立性的條件與判定方法。EX1設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨(dú)立，求隨機(jī)變量U=（2X+3Y)(4Z-1)的數(shù)學(xué)期望EX2設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從分布，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望答:答:設(shè)ξ的概率密度為，EX求E(ξ2),E(ξ3)，E(ξ4)。并求ξ2的方差解：分部積分法使用分部積分法＝1EX設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(-1,22),P{-2.45<ξ<2.45}=?正態(tài)分布表