冪級數(shù)解法本征值問題

冪級數(shù)解法本征值問題第一頁，共五十一頁，2022年，8月28日系對其他數(shù)學(xué)物理偏微分方程進行分離變量，還會出

微分方程．這向我們提出求解帶初始條件的線性二階常現(xiàn)各種各樣的特殊函數(shù)方程．它們大多是二階線性常微分方程定解問題.不失一般性，我們討論復(fù)變函數(shù)的線性二階常微分方程

（13.1.1）第二頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中

為復(fù)變數(shù)，

為選定的點，為復(fù)常數(shù)．

這些線性二階常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用冪級數(shù)解法解出．所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任意點的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，

代入方程以逐個確定系數(shù)．第三頁，共五十一頁，2022年，8月28日冪級數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范圍較廣，

可借助于解析函數(shù)的理論進行討論．

求得的解既然是級數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍的問題．盡管冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程的求解問題中．1．方程的常點和奇點概念第四頁，共五十一頁，2022年，8月28日定義13.1.1常點奇點

如果方程（）的系數(shù)函數(shù)

和在選定的點的鄰域

中是解析的，則點方程（13.1.1）的常點.

如果選定的點是或的奇點，則點

叫作方程（13.1.1）的奇點．叫作第五頁，共五十一頁，2022年，8月28日2.常點鄰域上的冪級數(shù)解定理定理

若方程（）的系數(shù)

關(guān)于線性二階常微分方程在常點鄰域上的級數(shù)解，有下面的定理．和為點的鄰域中的解析函數(shù)，

則方程在這圓中存在唯一的解析解

滿足初始條件，其中是任意給定的復(fù)常數(shù)．第六頁，共五十一頁，2022年，8月28日故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級數(shù).

既然線性二階常微分方程在常點的鄰域上存在唯一的解析解，

（13.1.2）其中為待定系數(shù)

第七頁，共五十一頁，2022年，8月28日為了確定級數(shù)解（）中的系數(shù)，具體的做法是以

（）代入方程（），合并同冪項，令合并后的系數(shù)分別為零，找出系數(shù)之間的遞推關(guān)系，

最后用已給的初值，來確定各個系數(shù)從而求得確定的級數(shù)解．下面以階勒讓德方程為例，具體說明級數(shù)解法的步驟．

第八頁，共五十一頁，2022年，8月28日15．1．2常點鄰域上的冪級數(shù)解法勒讓德方程的求解注明：推導(dǎo)解的過程僅供了解求解的方法，讀者可直接參考其結(jié)論.由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在鄰域上求解階勒讓德方程

第九頁，共五十一頁，2022年，8月28日即為

故方程的系數(shù)

在，單值函數(shù)，均為有限值，它們必然在解析．

第十頁，共五十一頁，2022年，8月28日點故可設(shè)勒讓德方程具有是方程的常點．根據(jù)常點鄰域上解的定理，解具有泰勒級數(shù)形式.（13.1.3）

泰勒級數(shù)形式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系（13.1.4）第十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日因此，由任意常數(shù)

可計算出任一系數(shù)

．首先在（13.1.4）中令可得偶次項的系數(shù)(13.1.5)令，則可得奇次項的系數(shù)

第十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日將它們代入解的表達(dá)式中，得到勒讓德方程解的形式

(13.1.7)(13.1.6)其中

分別是偶次項和奇次項組成的級數(shù)，

第十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日不是整數(shù)時，無窮級數(shù)，容易求得其收斂半徑均為1

時，發(fā)散于無窮

是非負(fù)整數(shù)

遞推公式（13.1.4）

是偶數(shù)時，是一個次多項式，但函數(shù)

為在處發(fā)散至無窮的無窮級數(shù)

是奇數(shù)時，

是次多項式，而仍然是在處無界的無窮級數(shù)．

是負(fù)整數(shù)時

一個是多項式，另一個是無界的無窮級數(shù)

第十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日所以不妨設(shè)

導(dǎo)出這個多項式的表達(dá)式,是非負(fù)整數(shù)（因在實際問題中一般總要求有界解）．

把系數(shù)遞推公式（13.1.4）改寫成(13.1.8)于是可由多項式的最高次項系數(shù)來表示其它各低階項系數(shù)第十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日取多項式最高次項系數(shù)為(13.1.9)第十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日這樣取主要是為了使所得多項式在處取值為1，即實現(xiàn)歸一化.可得系數(shù)的一般式為(13.1.10)因此，我們得出結(jié)論：第十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日是非負(fù)偶數(shù)時，勒讓德方程有解（13.1.11）是正奇數(shù)時，勒讓德方程有解第十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.12)對上述討論進行綜合，若用表示不大于的整數(shù)部分，用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解（13.1.13）第十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日我們已經(jīng)指出，在是非負(fù)整數(shù)時，勒讓德方程的基本解組

中只有一個多項式，這個多項式勒讓德多項式，也稱為第一類勒讓德函數(shù)；另一個是無窮級數(shù)，這個無窮級數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)，記為大寫的．可以得出它們的關(guān)系（13.1.14）第二十頁，共五十一頁，2022年，8月28日經(jīng)過計算后，可以通過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)的一般表達(dá)式為(13.1.15)特別地第二十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.16)可以證明這樣定義的，其遞推公式和的遞推公式具有相同的形式．而且在一般情況下勒讓德方程的通解為兩個獨立解的線性疊加第二十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日（13.1.17）但是在滿足自然邊界（即要求定解問題在邊界上有限）的形式容易看出，它在端點處是無界的，故必須取常數(shù)．從而勒讓德方程的解就只有第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式：

第二十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日注：法國數(shù)學(xué)家勒讓德（A.M.Legendre1725～1833）最早專門研究過在球坐標(biāo)系中求解數(shù)學(xué)物理方程問題時所遇到的一類特殊函數(shù)．由于這類函數(shù)具有多項式形式，所以命名這類函數(shù)為勒讓德函數(shù).綜合可得如下結(jié)論：（1）當(dāng)不是整數(shù)時，勒讓德方程在區(qū)間上無有界的解．

第二十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日（2）當(dāng)為整數(shù)時，勒讓德方程的通解為，其中稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項式），

稱為第二類勒讓德函數(shù).為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在有界解的情況下)求解，則勒讓德方程的解只有第一

類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式．因為第二類第二十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日勒讓德函數(shù)在閉區(qū)間上是無界的．13.1.3奇點鄰域的級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來討論這個方程的冪級數(shù)解法．按慣例，仍以表示自變量，以表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為(13.1.18)第二十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，為任意實數(shù)或復(fù)數(shù)（這里特用而不是，表示可以取任意數(shù)）．但在本書中由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)只限于取實數(shù)，項，所以在討論時，不妨?xí)合燃俣ㄗ⒁庠谪惾麪柗匠讨校驗楣蕿榈钠纥c

第二十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日下面介紹奇點鄰域的冪級數(shù)解法：貝塞爾方程的求解．設(shè)方程（13.1.18）的一個特解具有下列冪級數(shù)形式：(13.1.19）其中，常數(shù)和可以通過把和它的導(dǎo)數(shù)代入（13.1.18）來確定．第二十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日將（13.1.19）及其導(dǎo)數(shù)代入（13.1.18）后，得化簡后寫成要使上式恒成立，必須使得各個次冪的系數(shù)為零，從而得下列各式：第二十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.20)(13.1.21)(13.1.22)由（13.1.20）得；代入（13.1.21），得．現(xiàn)暫取，代入（13.1.22）得第三十頁，共五十一頁，2022年，8月28日(13.1.23)因為，由（13.1.23）知：都可以用表示，即第三十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日第三十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日由此知（13.1.19）的一般項為是一個任意常數(shù)，令取一個確定的值，就得（13.1.18）的一個特解．我們把取作這樣選取與后面將介紹的貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)第三十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日運用下列恒等式使分母簡化，從而，使（13.1.19）中一般項的系數(shù)變成（13.1.24）以（13.1.24）代入（13.1.19）得到貝塞爾方程（13.1.18）的一個特解第三十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日用級數(shù)的比值判別式（或稱達(dá)朗貝爾判別法）可以判定這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂．這個無窮級數(shù)所確定的函數(shù)，稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，記作(13.1.25）第三十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日至此，就求出了貝塞爾方程的一個特解另外，當(dāng)即取負(fù)值時，用同樣方法可得貝塞爾方程（13.1.18）的另一特解（13.1.26）比較（13.1.25）與（13.1.26）可見，只需在（13.1.25）的右端把換成，即可得到（13.1.26）．故不論是正第三十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用（13.1.25）統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù)．討論：(1)當(dāng)不為整數(shù)時，例如為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)：等,當(dāng)時，第三十七頁，共五十一頁，2022年，8月28日故這兩個特解與是線性無關(guān)的，由齊次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，（13.1.18）的通解為（13.1.28）其中，為兩個任意常數(shù)．根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法第三十八頁，共五十一頁，2022年，8月28日故級數(shù)和的收斂范圍為(2)當(dāng)為正整數(shù)或零時（注:以下推導(dǎo)凡用

即表整數(shù)），故有（13.1.27）稱為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)．易得第三十九頁，共五十一頁，2022年，8月28日需注意在取整數(shù)的情況下，和線性相關(guān)，這是因為:第四十頁，共五十一頁，2022年，8月28日由于是零或正整數(shù)，只要，則是零或負(fù)整數(shù)，而對于零或負(fù)整數(shù)的函數(shù)為無窮大，所以上面的級數(shù)實際上只從開始．若令，則從零開始，故第四十一頁，共五十一頁，2022年，8月28日可見正、負(fù)階貝塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子這時貝塞爾方程的通解需要求出與之線性無關(guān)的另一個特解．我們定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為是一個特解，它既滿足貝塞爾方程，又與線性無關(guān)．這樣我們可以得到第四十二頁，共五十一頁，2022年，8月28日其中，為歐拉常數(shù)．第四十三頁，共五十一頁，2022年，8月28日可以證明這個函數(shù)，確實是貝塞爾方程的一個特解，而且是與線性無關(guān)的（因為當(dāng)時，為有限值，而為無窮大）．綜述：（1）當(dāng)，即不取整數(shù)時，其貝塞爾方程的通解可表示為（2）不論是否為整數(shù)，貝塞爾方程的通解都可表示為其中為任意常數(shù)，為任意實數(shù)．

第四十四頁，共五十一頁，2022年，8月28日15．2施圖姆－劉維爾本征值問題

從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出的常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所謂自然邊界條件．滿足這些邊界條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定值．這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），相應(yīng)的非零解叫做本征函數(shù)（特征函數(shù)、固有函數(shù)．求本征值和本征函數(shù)的問題叫做本征值問題.

第四十五頁，共五十一頁，2022年，8月28日常見的本征值問題都可以歸結(jié)為施圖姆(J.C.F.Sturm)－劉維爾(J.Liouville)本征值問題，本節(jié)就討論具有普遍意義的施圖姆－劉維爾本征值問題．15．2．1施圖姆－劉維爾本征值問題定義13.2.1施圖姆－劉維爾型方程通常把具有形式（13.2.1）第四十六頁，共五十一頁，2022年，8月28日的二階常微分方程叫作施圖姆－劉維爾型方程，簡稱施－劉型方程．研究二階常微分方程的本征值問題時，對于一般的二階常微分方程通常乘以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，就可以化成施圖姆－劉維爾型方程

(13.2.2)第四十七頁，共五十一