平面與平面垂直

平面與平面垂直第一頁，共三十九頁，2022年，8月28日1.在立體幾何中,"異面直線所成的角"是怎樣定義的？

直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,分別引直線a'//a,b'//b,我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角。

2.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角。

問題:異面直線所成的角、直線和平面所成的角有什么共同的特征？結(jié)論:它們的共同特征都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角,即平面角。

復(fù)習(xí)回顧兩異面直線所成角的取值范圍：直線和平面所成角的取值范圍：(0o,90o]．[0o,90o]．第二頁，共三十九頁，2022年，8月28日空間兩個平面有平行、相交兩種位置關(guān)系，對于兩個平面平行，我們已作了全面的研究，對于兩個平面相交，我們應(yīng)從理論上有進(jìn)一步的認(rèn)識.問題提出第三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

兩個相交平面的相對位置是由這兩個平面所成的“角”來確定的．在生產(chǎn)實踐中，有許多問題也涉及到兩個平面所成的角．如：修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，必須使水壩面和水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，也要根據(jù)需要，使衛(wèi)星的軌道平面和地球的赤道平面成一定的角度.洪壩水平面為此引入二面角的概念，研究兩個平面所成的角第四頁，共三十九頁，2022年，8月28日1．半平面的定義

平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．半平面半平面探究新知第五頁，共三十九頁，2022年，8月28日2．二面角的定義

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面．

棱為l，兩個面分別為、的二面角記為

-l-

，lQP或P-l-Q第六頁，共三十九頁，2022年，8月28日AB⑴平臥式：⑵直立式：ABllABl3．畫二面角第七頁，共三十九頁，2022年，8月28日αβABl4.二面角的平面角O注意二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)第八頁，共三十九頁，2022年，8月28日AOlBA’B’O’二面角的大小用它的平面角來度量思考:∠AOB的大小與點O在上的位置有關(guān)嗎?∠AOB？∠A1O1B1第九頁，共三十九頁，2022年，8月28日平面角是直角的二面角叫做直二面角.當(dāng)二面角的兩個面合成一個平面時，規(guī)定為180o,當(dāng)二面角的兩個面重合時，規(guī)定為0o.因此,二面角大小的范圍為［0o,180o］二面角的取值范圍第十頁，共三十九頁，2022年，8月28日

如圖，點A在二面角α-l-β的半平面α上一點，過點A如何確定二面角α-l-β的平面角？OBBlAlAO----“定義法”由定義知：過A作AO⊥

交于O，在面β內(nèi)作OB⊥則∠ＡＯＢ為所求的角。二面角的平面角的作法：----“垂線法”過A作AB⊥β交于B

，再過A作AO⊥交于O,連結(jié)OB，則∠AOB為所求的角。第十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日

第三種畫法:

點P在二面角的兩個面外時,經(jīng)過P點分別作兩個面的垂線,這兩條垂線確定的平面與二面角的兩個面的兩條交線就組成了二面角的平面角垂面法二面角的平面角的作法：lAOBP第十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日尋找平面角D端點中點第十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日中點EGF第十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日

練習(xí)1、已知正三棱錐V-ABC所有的棱長均相等，找二面角A-VC-B的平面角。VABC第十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日

ABP

M

N

C

DO解：在AB上取不同于P

的一點O，在內(nèi)過O作OC⊥AB交PM于C，在內(nèi)作OD⊥AB交PN于D，連結(jié)CD，可得：設(shè)PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45o∴CO=a，DO=a，PCa，PDa又∵∠MPN=60o

∴CD=PCa∴∠COD=90o因此，二面角的度數(shù)為90o

例1.如圖,已知P是二面角棱上一點，過P分別在、內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度數(shù)?！螩OD是二面角的平面角一“作”二“證”三“計算”例題分析第十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日AOlD

例2、已知銳二面角－l－

，A為面內(nèi)一點，A到的距離為，到

l的距離為4，求二面角

－l－的大小。解：過A作AO⊥于O，過O作OD⊥l于D，連AD∴AO=2，AD=4∵AO為

A到的距離，AD為

A到l的距離∴∠ADO就是二面角－l－的平面角∴∠ADO=60°∴二面角

－l－的大小為60°在Rt△AOD中，∵sin∠ADO=第十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日1、找到或作出二面角的平面角2、證明找到或作出的角就是二面角的平面角3、計算出此角的大小一“作”二“證”三“計算”二面角的有關(guān)計算:步驟:第十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日

練習(xí)：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B大小的正切值.AA1BCDB1C1D1O解：連結(jié)BD，交AC于點O，連結(jié)B1O?！連D1是正方體∴BB1⊥面BD∴BB1⊥AC又∵AC⊥BD∴AC⊥面BB1O∴∠BOB是二面角的平面角。⊿BB1O中OB=BB1.第十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十頁，共三十九頁，2022年，8月28日第二十一頁，共三十九頁，2022年，8月28日觀察:教室里的墻面所在平面與地面所在平面相交,它們所成的二面角及其度數(shù).兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。兩個平面互相垂直通常畫成：直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直。平面α與β垂直，記作：α⊥β。第二十二頁，共三十九頁，2022年，8月28日

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.面面垂直的定義：(2)日常生活中平面與平面垂直的例子?(1)除了定義之外,如何判定兩個平面互相垂直呢?αβaAb第二十三頁，共三十九頁，2022年，8月28日

建筑工人砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和地面垂直，如果系有鉛錘的線和墻面緊貼，那么所砌的墻面與地面垂直。大家知道其中的理論根據(jù)嗎？問題：如何檢測所砌的墻面和地面是否垂直？第二十四頁，共三十九頁，2022年，8月28日如果一個平面經(jīng)過了另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.猜想：下面我們來驗證這個定理第二十五頁，共三十九頁，2022年，8月28日證明：設(shè)α∩β=CD，則B∈CD，在平面β內(nèi)過B點作BE⊥CD?！逜B⊥CD，AB⊥BE。∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角，∴二面角α—CD—β是直二面角，即α⊥β。αβABCDE已知：直線AB⊥平面β于B點，AB平面α，求證:α⊥β第二十六頁，共三十九頁，2022年，8月28日平面與平面垂直的判定定理

一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.αβaA簡記：線面垂直，則面面垂直

面面垂直線面垂直線線垂直符號:第二十七頁，共三十九頁，2022年，8月28日

例1如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面于A，C是圓O上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBCABCPO

證明:由AB是圓O的直徑,可得AC⊥BC平面PAC⊥平面PBC第二十八頁，共三十九頁，2022年，8月28日2.正方體ABCD-A1B1C1D1中求證:證明:ACBDA1C1B1D1第二十九頁，共三十九頁，2022年，8月28日第三十頁，共三