平面問題的解法

平面問題的解法第一頁，共二十頁，2022年，8月28日(1)

位移法(DisplacementMethod):

將位移分量作為基本的未知量，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量,導出只包含位移分量的方程和邊界條件,解這些方程得位移分量,然后再解應(yīng)力分量和應(yīng)變分量,這樣的方法就稱為位移法。(2)

應(yīng)力法(StressMethod):將應(yīng)力分量作為基本的未知量,從方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量,導出只包含應(yīng)力分量的方程和邊界條件,解這些方程得應(yīng)力分量,然后再解應(yīng)變分量和位移分量,這樣的方法就稱為應(yīng)力法。(3)

混合法(MixedMethod):將一些位移分量和一些應(yīng)力分量作為未知量,導出只包含這些分量的方程和邊界條件,解這些方程得這些未知量,然后再求其它的未知量，這樣的方法就稱為混合法。求解彈性力學問題，就是尋求滿足基本方程，同時又滿足具體邊界條件的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。3.1彈性力學的求解方法第二頁，共二十頁，2022年，8月28日3.2位移法從物理方程(1.12)應(yīng)力分量(2.16)(2.17)第三頁，共二十頁，2022年，8月28日將上式代入平衡方程(2.2):這就是按位移求解平面問題的基本方程。(2.18)第四頁，共二十頁，2022年，8月28日

邊界條件：（1）用位移表示的應(yīng)力邊界條件：將Eqs.(2.17)代入Eqs.(2.15),可得（2）位移邊界條件還用Eqs.(2.14):對于平面應(yīng)變問題,要將上面公式中的E用代替,而μ用來代替.第五頁，共二十頁，2022年，8月28日假設(shè)有一個桿件如圖所示,它的上端固定，下端自由,受重力fx

=0,fy=ρg作用,為了簡化,將問題作為一維問題來處理,即令u=0,v=v(y),μ=0.這樣(2.18)的第二式變?yōu)?/p>

解這個方程得

例題第六頁，共二十頁，2022年，8月28日(a)根據(jù)邊界條件(b)(c)將(b)代入(a),得B=0,將(a)代入(2.17)的第二式,得A=ρgh/E.這樣我們得到問題的解:第七頁，共二十頁，2022年，8月28日對于圖b中的問題,可類似求出,這時,邊界條件為:將邊界條件代入(a)，得：將這個式代入(2.17)的第二式得：第八頁，共二十頁，2022年，8月28日3.3應(yīng)力解法(2.20)第九頁，共二十頁，2022年，8月28日

將平衡方程寫成將兩式分別對

x和y求導聯(lián)立第十頁，共二十頁，2022年，8月28日就得到用應(yīng)力表示的相容方程

或

這里,▽2

代表Laplace算子對平面應(yīng)變問題,將(2.21)中的μ變成

或(2.21)

(2.22)第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日這樣,按應(yīng)力求解平面問題時,應(yīng)力分量必須滿足下列條件:（1）平衡方程（2）相容方程（3）邊界條件第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日

在很多工程問題中,體力是常量,也就是說,體力分量fx

和fy

不隨坐標而改變.例如均勻物體的重力就是常量體力.在這種情況下,方程(2.21)and(2.22)的右邊都為零,因此都變成:

可以看出,在常體力情況下,平衡方程(2.2)、應(yīng)力邊界條件（2.15),還有相容方程(2.23)都不包含任何材料常數(shù)，從而對兩種平面問題都是一樣的。因此,當體力為常量時,如果兩個彈性體具有相同的邊界形狀,并受到相同分布的外力,那么,不管這兩個彈性體的材料是否相同,也不管是平面應(yīng)力還是平面應(yīng)變,應(yīng)力分量σx,σyandτxy

的分布是相同的(但應(yīng)力分量σz、位移和應(yīng)變不一定相同)。3.4應(yīng)力函數(shù)(2.23)第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日在體力為常量的情況下,應(yīng)力分量σx,σy

和τxy

應(yīng)該滿足平衡方程和相容方程

(b)以及邊界條件(a)第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日首先考慮平衡方程。這是一個非齊次微分方程組，它的解包含兩部分,一是任意一個特解;另外一部分是下列齊次微分方程的通解:其特解可以取為

(d)(c)第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日問題是如何求通解,若設(shè)有函數(shù)

f=f(x,y),則有若函數(shù)CandD滿足下列關(guān)系:那么,對照上式,一定存在函數(shù)f,使得第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日將方程(c)的第一式重寫為根據(jù)上述的微分理論,就一定存在著函數(shù)A(x,y),使得

(e)(f)同樣,將方程(a)的第二個方程改寫為:可見也一定存在某一函數(shù)B(x,y),使得

(g)(h)第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日根據(jù)(f)和(h),我們得到因而又一定存在某一函數(shù)Ф(x,y),使得

(i)(j)將Eq.(i)代入Eq.(e),Eq.(j)代入Eq.(g)和Eq.(i)代入Eq.(f),即得通解:

(k)第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日將通解與任何一個特解疊加,如(d),就得到平衡微分方程的全解:(2.24)這里Ф(x,y)稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù),或艾里應(yīng)力函數(shù)為了求解應(yīng)力函數(shù),將(2.24)代進(2.23),即得:由于fxandfy

是常量,于是上式簡化為:(2.25)第十九頁，共二十頁，2022年，8月28日

這就是用應(yīng)力