電工技術(shù)第十一章

第11章電路暫態(tài)過程

的時域分析11.1換路定律及初始值的計算11.2一階電路的零輸入響應(yīng)11.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)11.4一階電路的的全響應(yīng)11.5一階電路的三要素小結(jié)11.1換路定律及初始值的計算

當開關(guān)S閉合時,電阻支路的燈泡立即發(fā)亮,而且亮度始終不變,說明電阻支路在開關(guān)閉合后沒有經(jīng)歷過渡過程,立即進入穩(wěn)定狀態(tài)。電感支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間不亮,圖11.1實驗電路然后逐漸變亮,最后亮度穩(wěn)定不再變化。

電容支路的燈泡在開關(guān)閉合瞬間很亮,然后逐漸變暗直至熄滅。這兩個支路的現(xiàn)象說明電感支路的燈泡和電容支路的燈泡達到最后穩(wěn)定，都要經(jīng)歷一段過渡過程。一般說來,電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程叫做電路的過渡過程。實際電路中的過渡過程是暫時存在最后消失,故稱為暫態(tài)過程,簡稱暫態(tài)。

圖11.1實驗電路11.1.1過渡過程的概念一、電路的過渡過程S+–uCUSRCi開關(guān)S未動作前，是一種穩(wěn)態(tài)（電路中的電壓、電流是恒定值）i=0,uC

=0S+–uCUSRCiS接通電源，一段時間后進入另一穩(wěn)態(tài)i

=0,uC=US過渡過程：電路由一個穩(wěn)態(tài)過渡到另一個穩(wěn)態(tài)需要經(jīng)歷的過程。S+–uCUSRCiuctt1USO起始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)二、過渡過程產(chǎn)生的原因電路中含有儲能元件(內(nèi)因)

能量不能躍變2.電路結(jié)構(gòu)或電路參數(shù)發(fā)生變化——換路(外因)換路通電、斷電、短路、電信號突變等參數(shù)變化

含有儲能元件L、C（或稱動態(tài)元件）的電路在換路時通常都要產(chǎn)生過渡過程，原因就是能量不能突變。11.1.2換路定律及初始值的計算

一、電路的初始條件和初始值t=0+與t=0-的概念換路在t=0時刻進行0-

換路前一瞬間uc(t）在t=0時刻的左極限p1230+

換路后一瞬間uc(t）在t=0時刻的右極限0t0-0+初始值：在初始條件：t=0+時各u，i的值。(6——3)

(1)作t=0-等效電路（一般電路已達穩(wěn)態(tài)L、C）,求出uC(0—)和iL(0—);(2)根據(jù)換路定律確定出uC(0+)及iL(0+)。(6——20)二、換路定律

三、初始值的計算步驟和方法

1.先求出不能突變的初始值uC(0+)及iL(0+)：2.再求可以突變的初始值uR

(0+)、iR(0+)、uL

(0+)、iC(0+)等：

（1）畫t=0+時的等值電路。3.由t=0+電路求所需各待求量的t=0+值——初始值。b.電容用理想電壓源替代，電感用理想電流源替代。a.換路后的電路取t=0+時刻uC和iL值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同。

例：圖示電路中,已知US=18V,R1=1Ω,R2=2Ω,R3=3Ω,L=0.5H,C=4.7μF,開關(guān)S在t=0時合上。設(shè)S合上前電路已進入穩(wěn)態(tài)。試求i1(0+)、i2(0+)、i3(0+)、uL(0+)、uC(0+)。

解：第一步,作t=0—等效電路如圖（b）所示,這時電感相當于短路,電容相當于開路。第二步,根據(jù)t=0—等效電路,計算換路前的電感電流和電容電壓:根據(jù)換路定律,可得

第三步,作t=0+等效電路如圖（c）所示,這時電感L相當于一個12A的電流源,電容C相當于一個12V的電壓源。

第四步,根據(jù)t=0+等效電路,計算其它的相關(guān)初始值:

例:圖（a）所示電路在t=0時換路,即開關(guān)S由位置1合到位置2。設(shè)換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定,求換路后的初始值

i1(0+)、i2(0+)和uL(0+)。

解:

(1）作t=0-等效電路如圖（b）所示。則有（2）作t=0+等效電路如圖（c）所示。由此可得

例：如圖（a）所示電路,t=0時刻開關(guān)S閉合,換路前電路無儲能。試求開關(guān)閉合后各電壓、電流的初始值。

解：（1）根據(jù)題中所給定條件,換路前電路無儲能,故得出

（2）作t=0+等效電路如圖（b）所示,這時電容相當于短路,電感相當于開路。則有電路中響應(yīng)的來源：（1）只有儲能元件有儲能提供能量，無獨立電源，引起的響應(yīng)叫零輸入響應(yīng)。（2）只有獨立電源提供能量，儲能元件無儲能，引起的響應(yīng)叫零狀態(tài)響應(yīng)。（3）電源和儲能元件都有能量提供，引起的響應(yīng)叫全響應(yīng)。激勵：可簡單理解為向電路提供能量的元件。如獨立電源和儲能元件有儲能時。響應(yīng)：由激勵引起的電路中的電壓、電流。11.2一階電路的零輸入響應(yīng)

名詞介紹：1.RC電路的零輸入響應(yīng)根據(jù)圖示電路電壓、電流的參考方向,依KVL,有RC電路的零輸入響應(yīng)（換路后的電路）將（式中負號是因為電容電壓和電流參考方向不一致）,將其代入上式可得11.2.1RC電路的零輸入響應(yīng)

零輸入響應(yīng)：獨立電源為零，僅由儲能元件初始儲能作用于電路

產(chǎn)生的響應(yīng)。

式是一個常系數(shù)一階線性齊次微分方程。由高等數(shù)學知識可知其通解形式為uC=Aeλt。其中,常數(shù)λ是特征方程的根特征根,A為待定常數(shù)。

特征根為所以當t=0時，uC(0+)=Uo，代入上式,可得A=Uo,則（11—2）式（11—2）就是零輸入響應(yīng),即電容放電過程中電容電壓uC隨時間變化規(guī)律的表達式。特征方程為

電壓、電流以同一指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于RC乘積。從式、和式中可以看出,電壓uC(t)、uR(t)和電流i(t)都是按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減的,它們隨時間變化的曲線如圖11-4（a）、（b）所示。

圖11-4

RC電路零輸入響應(yīng)曲線2.RC電路的零輸入響應(yīng)曲線

3.時間系數(shù)τ

及其對暫態(tài)過程的影響所以稱其為時間常數(shù),并令引入時間常數(shù)τ后,uc（t）

、uR（t）、i（t）表達式可表示為

時間常數(shù)τ對暫態(tài)過程的影響

現(xiàn)以電容電壓uC(t)為例來說明時間常數(shù)τ的意義。將t=τ、2τ、3τ、…等不同時間的響應(yīng)uC值列于表11-1之中。

時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短。由圖可見：

τ大，曲線衰減得慢，即過渡過程的時間長；τ小，曲線衰減得快，即過渡過程時間的短。當電壓初始值一定：R

大（C不變）放電電流小放電時間長C

大（R不變）儲能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上認為,經(jīng)過3-5

,過渡過程結(jié)束。的物理意義：電容電壓衰減到初始電壓36.8%所需的時間。t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

例：

如圖（a）所示電路,在t=0時刻開關(guān)S閉合,S閉合前電路已穩(wěn)定。試求t≥0時的i1(t)、i2(t)和iC(t)。

解（1）作t=0–等效電路如圖（b）所示。則有

（2）作t≥0電路如圖（c）所示,其等效電路如圖（d）所示。則等效電阻電路的時間常數(shù)最后可得在圖（c）所示電路中,可求得

1.RL電路的零輸入響應(yīng)原理如圖（a）RL電路的零輸入響應(yīng)在圖（b）中,依KVL,可得將電感的伏安關(guān)系代入上式,可得(11—5)

式(11—5)也是一個常系數(shù)一階線性齊次微分方程,與式（11—1）相似,其通解的形式為。其中,τ是電路的時間常數(shù)。特征方程為11.2.2RL電路的零輸入響應(yīng)

則

代入初始條件iL(0+)=Io,可得A=Io,故電路的零輸入響應(yīng)

式(11—7)中電感電壓為負值,是因為電流不斷減小,根據(jù)楞次定律可知,電感上的感應(yīng)電壓,力圖維持原來電流不變,故實際的感應(yīng)電壓的極性與參考極性相反,因而為負值。(11—6)(11—8)(11—7)從式（11—6）、（11—7）和式（11—8）中可以看出,iL(t)、uR(t)和uL(t)都是按同一時間常數(shù)的指數(shù)規(guī)律衰減,它們隨時間變化的曲線如下圖所示。

RL電路的時間常數(shù),同樣具有時間量綱,其大小同樣反映了電路中過渡過程進行的快慢。

2.RL電路零輸入響應(yīng)曲線i(0)一定：L大起始能量大

R小放電過程消耗能量小放電慢大

例：

如圖（a）所示為一測量電路,已知如圖（a）所示為一測量電路,已知L=0.4H,R=1Ω,US=12V,電壓表的內(nèi)阻RV=10kΩ,量程為50V。開關(guān)S原來閉合,電路已處于穩(wěn)態(tài)。在t=0時,將開關(guān)打開,試求:（1）電流i(t)和電壓表兩端的電壓uV(t);

（2）t=0時（S剛打開）電壓表兩端的電壓。

解：（1）t≥0電路如圖（b）所示,為一RL電路。電路的時間常數(shù)為

電感中電流的初始值為

根據(jù)式（11—6）,可得電感電流的表達式為電壓表兩端的電壓為

該數(shù)值遠遠超過電壓表的量程,將損壞電壓表。

因此，在斷開電感電路時,必須先拆除電壓表。從上例分析中可見,電感線圈的直流電源斷開時,線圈兩端會產(chǎn)生很高的電壓,從而出現(xiàn)火花甚至電弧,輕則損壞開關(guān)設(shè)備,重則引起火災(zāi)。因此工程上都采取一些保護措施。常用的辦法是在線圈兩端并聯(lián)續(xù)流二極管或接入阻容吸收電路,如下圖（a）、（b）所示。

（2）當t=0時RL電路切斷電源時的保護措施

小結(jié)：4.一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。1.一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路

=RC

,RL電路

=L/R3.同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。時間常數(shù)的簡便計算：R1R2L=L/R等=L/(R1//

R2)+-R1R2L例1例2R等C=R等C零狀態(tài)響應(yīng)：儲能元件初始能量為零的電路在獨立電源作用下產(chǎn)生的響應(yīng)。11.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuc（0-）=0一階非齊次線性常微分方程解答形式為：齊次方程的通解非齊次方程的特解一、

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入激勵的變化規(guī)律有關(guān)，周期性激勵時強制分量為電路的穩(wěn)態(tài)解，此時強制分量稱為穩(wěn)態(tài)分量變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定全解uC

(0+)=A+US=0A=-US由起始條件uC

(0+)=0定常數(shù)A齊次方程的通解：特解（強制分量）=US：通解（自由分量，暫態(tài)分量）強制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))-USuC"uC'USti0tuc0二

、RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iLS(t=0)US+–uRL+–uLR解iL(0-)=0求:電感電流iL(t)已知tuLUStiL00

例：圖示電路,換路前電路已達穩(wěn)態(tài),在t=0時開關(guān)S打開,求t≥0時的iL(t)和uL(t)。

解：因為iL(0_)=0,故換路后電路的響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)。因此電感電流表達式可套用式（7—20）。又因為電路穩(wěn)定后,電感相當于短路,所以

時間常數(shù)得11.4.1一階電路的全響應(yīng)及其兩種分解方式iS(t=0)US+–uRC+–uCR穩(wěn)態(tài)解uC'=US解答為

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齊次方程=RC暫態(tài)解1.全響應(yīng)uC

(0+)=A+US=U0A=U0-US由起始值定A

11.4一階電路的全響應(yīng)

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0(1)全響應(yīng)=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)2.全響應(yīng)的兩種分解方式iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–uCiS(t=0)+–uRR(2)全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)等效+-ucuC

(0-)=U0iC+-U0uciC零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0(3)兩種分解方式的比較零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)物理概念清楚便于疊加計算

全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)全響應(yīng)=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)14.4.2三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階微分方程：令t=0+其解答一般形式為：應(yīng)用一階電路的三要素求解的步驟：p270（1）求初始值（前面已學習了）；（2）求穩(wěn)態(tài)值（即t=∞時的數(shù)值）；

先畫t=∞時的電路圖（L短路，C開路），然后根據(jù)Ω定律、KCL、KVL求解。（3）求時間常數(shù)；（實際上求出等效電阻R即可求得時間常數(shù)）

★等效電阻的求法：畫出從電容或電感看進去所有獨立源不起作用時的電路圖，利用電阻的串并聯(lián)關(guān)系求等效電阻。1A2例113F+-uC已知：

t=0時合開關(guān)求換路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.6670P271例例2i10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)32已知：電感無初始儲能

t=0時合S1,t=0.2s時合S2

求兩次換路后的電感電流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2s(0<t0.2)(t

0.2)it(s)0.25(A)1.262小結(jié)

1.動態(tài)電路的過渡過程