檢測(cè)系統(tǒng)的誤差合成

2023/2/41檢測(cè)系統(tǒng)的誤差合成1.1測(cè)量概論1.2測(cè)量數(shù)據(jù)的估計(jì)和處理

系統(tǒng)誤差的處理

測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則1.3測(cè)量系統(tǒng)誤差計(jì)算方法隨機(jī)誤差及其處理2023/2/421.1測(cè)量概論

測(cè)量測(cè)量是以確定被測(cè)量值為目的的一系列操作。所以測(cè)量也就是將被測(cè)量與同種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較,確定被測(cè)量對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)。它可由下式表示:

式中：x——被測(cè)量值;u——標(biāo)準(zhǔn)量,即測(cè)量單位;n——比值（純數(shù)）,含有測(cè)量誤差。2023/2/43

測(cè)量方法

實(shí)現(xiàn)被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量比較得出比值的方法,稱為測(cè)量方法。直接測(cè)量、間接測(cè)量與組合測(cè)量偏差式測(cè)量、零位式測(cè)量與微差式測(cè)量等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量靜態(tài)測(cè)量與動(dòng)態(tài)測(cè)量2023/2/44

測(cè)量誤差測(cè)量的目的是希望通過測(cè)量獲取被測(cè)量的真實(shí)值。但由于種種原因,例如,傳感器本身性能不十分優(yōu)良,測(cè)量方法不十分完善,外界干擾的影響等,都會(huì)造成被測(cè)參數(shù)的測(cè)量值與真實(shí)值不一致,兩者不一致程度用測(cè)量誤差表示。測(cè)量誤差就是測(cè)量值與真實(shí)值之間的差值。2023/2/451．測(cè)量誤差的表示方法

（1）絕對(duì)誤差：絕對(duì)誤差可用下式定義:Δ=x-L

式中:Δ——絕對(duì)誤差;x——測(cè)量值;L——真實(shí)值。2023/2/461．測(cè)量誤差的表示方法（2）相對(duì)誤差：相對(duì)誤差的定義由下式給出:δ=×100%式中:δ——相對(duì)誤差,一般用百分?jǐn)?shù)給出;Δ——絕對(duì)誤差;L——真實(shí)值2023/2/47

（3）引用誤差:相對(duì)儀表滿量程的一種誤差,一般用百分?jǐn)?shù)表示，即

（4）基本誤差:指儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。測(cè)量?jī)x表的精度等級(jí)就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差:指當(dāng)儀表的使用條件偏離額定條件下出現(xiàn)的誤差。2023/2/482.誤差的分類誤差分為三種:系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差粗大誤差（1）系統(tǒng)誤差：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí),如果誤差按照一定的規(guī)律出現(xiàn),則把這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例如,標(biāo)準(zhǔn)量值的不準(zhǔn)確及儀表刻度的不準(zhǔn)確而引起的誤差。2023/2/49（2）隨機(jī)誤差：對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí),絕對(duì)值和符號(hào)不可預(yù)知地隨機(jī)變化,但就誤差的總體而言,具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的誤差稱為隨機(jī)誤差。（3）粗大誤差：明顯偏離測(cè)量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差,又稱疏忽誤差。這類誤差是由于測(cè)量者疏忽大意或環(huán)境條件的突然變化而引起的。對(duì)于粗大誤差,首先應(yīng)設(shè)法判斷是否存在,然后將其剔除。2023/2/4101.2測(cè)量數(shù)據(jù)的估計(jì)和處理測(cè)量數(shù)據(jù)中含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差,有時(shí)還會(huì)含有粗大誤差。它們的性質(zhì)不同,對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響及處理方法也不同。對(duì)于不同情況的測(cè)量數(shù)據(jù),首先要加以分析研究,判斷情況,分別處理,再經(jīng)綜合整理以得出合乎科學(xué)性的結(jié)果。

2023/2/411隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)和處理判斷：在測(cè)量中,當(dāng)系統(tǒng)誤差已設(shè)法消除或減小到可以忽略的程度時(shí),如果測(cè)量數(shù)據(jù)仍有不穩(wěn)定的現(xiàn)象,說明存在隨機(jī)誤差。方法:用概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究。任務(wù):從隨機(jī)數(shù)據(jù)中求出最接近真值的值,對(duì)數(shù)據(jù)精密度（可信賴的程度）進(jìn)行評(píng)定。2023/2/412

測(cè)量實(shí)踐表明,多數(shù)測(cè)量的隨機(jī)誤差具有以下特征:

①絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率。②隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超出一定界限。③測(cè)量次數(shù)n很大時(shí),絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相等。1．隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線2023/2/413

當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí),測(cè)量過程中產(chǎn)生的誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。分布密度函數(shù)為

y——概率密度;σ——均方根偏差（標(biāo)準(zhǔn)誤差）;δ——隨機(jī)誤差（隨機(jī)變量）,δ=x-L;x——測(cè)量值（隨機(jī)變量）;L——真值（隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望）。

2023/2/414正態(tài)分布曲線

正態(tài)分布方程式的關(guān)系曲線如圖所示,說明隨機(jī)變量在x=L或δ=0處的附近區(qū)域內(nèi)具有最大概率。

2023/2/4152．正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的數(shù)字特征

算術(shù)平均值是諸測(cè)量值中最可信賴的,它可以作為等精度多次測(cè)量的結(jié)果，它反映了隨機(jī)誤差的分布中心。2023/2/4162．正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的數(shù)字特征

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ（均方根誤差）描述了隨機(jī)誤差的分布范圍，σ

值越大，曲線越平坦，即隨機(jī)誤差分散性越大；反之，曲線越尖銳，隨機(jī)誤差分散性越小。2023/2/417

在實(shí)際測(cè)量時(shí),由于真值L是無法確切知道的,用測(cè)量值的算術(shù)平均值代替,各測(cè)量值與算術(shù)平均值差值稱為殘余誤差,即用殘余誤差計(jì)算的均方根偏差稱為均方根偏差估計(jì)值2023/2/418算術(shù)平均值的均方根偏差通常在有限次測(cè)量時(shí),算術(shù)平均值不可能等于被測(cè)量的真值L,它也是隨機(jī)變動(dòng)的。設(shè)對(duì)被測(cè)量進(jìn)行m組的“多次測(cè)量”,各組所得的算術(shù)平均值也有一定的分散性,也是隨機(jī)變量。算術(shù)平均值的精度可由算術(shù)平均值的均方根偏差來評(píng)定。關(guān)系如下:2023/2/419

在有限次測(cè)量時(shí),的關(guān)系n234567820∞1.251.131.091.061.051.041.031.011.002023/2/420隨機(jī)誤差在（-∞，+∞）出現(xiàn)的概率誤差區(qū)間通常表示成σ的倍數(shù),如tσ置信概率t——置信系數(shù)；±tσ——置信區(qū)間（誤差限）在任意誤差區(qū)間（a,b）出現(xiàn)的概率為由殘余誤差表示的概率密度2023/2/421幾個(gè)典型的t值及其相應(yīng)的概率t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994當(dāng)t=±1時(shí),Pa=0.6827,即測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內(nèi)的概率為68.27%。而出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內(nèi)的概率是99.73%,因此可以認(rèn)為絕對(duì)值大于3σ的誤差是不可能出現(xiàn)的測(cè)量結(jié)果可表示為2023/2/422Pa與α關(guān)系

隨機(jī)誤差在±tσ范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P,則超出的概率稱為顯著度,用α表示：α=1-Pa-tσ0+tσ2023/2/423例有一組測(cè)量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求測(cè)量結(jié)果.解:將測(cè)量值列于表序號(hào)測(cè)量值xi1237.42237.23237.94237.15237.16237.57237.48237.69237.610237.42023/2/424序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vi1237.4-0.122237.2-0.323237.90.384237.1-0.425237.10.586237.5-0.027237.4-0.128237.60.089237.60.0810237.4-0.12例有一組測(cè)量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求測(cè)量結(jié)果.解:將測(cè)量值列于表2023/2/425序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014例有一組測(cè)量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求測(cè)量結(jié)果.解:將測(cè)量值列于表2023/2/426

測(cè)量結(jié)果為

x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)

2023/2/427系統(tǒng)誤差的處理1.從誤差根源上消除系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是在一定的測(cè)量條件下,測(cè)量值中含有固定不變或按一定規(guī)律變化的誤差。①所用傳感器、測(cè)量?jī)x表或組成元件是否準(zhǔn)確可靠。②測(cè)量方法是否完善。③傳感器或儀表安裝、調(diào)整或放置是否正確合理。④傳感器或儀表工作場(chǎng)所的環(huán)境條件是否符合規(guī)定條件。⑤測(cè)量者的操作是否正確。2023/2/428

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)與判別發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差一般比較困難,下面只介紹幾種發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的一般方法。

（1）實(shí)驗(yàn)對(duì)比法這種方法是通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件從而進(jìn)行不同條件的測(cè)量,以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。

（2）殘余誤差觀察法這種方法是根據(jù)測(cè)量值的殘余誤差的大小和符號(hào)的變化規(guī)律,直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形判斷有無變化的系統(tǒng)誤差。2023/2/429圖中把殘余誤差按測(cè)量值先后順序排列,圖（a）的殘余誤差排列后有遞減的變值系統(tǒng)誤差;圖（b）則可能有周期性系統(tǒng)誤差。2023/2/430馬利科夫判據(jù)是將殘余誤差前后各半分兩組,若“Σvi前”與“Σvi后”之差明顯不為零,則可能含有線性系統(tǒng)誤差。阿貝檢驗(yàn)法則檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布,若偏離,則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。（3）準(zhǔn)則檢查法已有多種準(zhǔn)則供人們檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)中是否含有系統(tǒng)誤差。不過這些準(zhǔn)則都有一定的適用范圍。2023/2/4313.系統(tǒng)誤差的消除（1）在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正對(duì)于已知的系統(tǒng)誤差,可以用修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正;對(duì)于變值系統(tǒng)誤差,設(shè)法找出誤差的變化規(guī)律,用修正公式或修正曲線對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正;對(duì)未知系統(tǒng)誤差,則按隨機(jī)誤差進(jìn)行處理。（2）仔細(xì)檢查儀表,正確調(diào)整和安裝;防止外界干擾影響。（3）在測(cè)量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償措施找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律,在測(cè)量過程中自動(dòng)消除系統(tǒng)誤差。（4）實(shí)時(shí)反饋修正:應(yīng)用自動(dòng)化測(cè)量技術(shù)實(shí)時(shí)反饋修正的辦法來消除復(fù)雜的變化系統(tǒng)誤差。2023/2/432測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則在對(duì)重復(fù)測(cè)量所得一組測(cè)量值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理之前,首先應(yīng)將具有粗大誤差的可疑數(shù)據(jù)找出來加以剔除。

1.3σ準(zhǔn)則前面已講到,通常把等于3σ的誤差稱為極限誤差。3σ準(zhǔn)則就是如果一組測(cè)量數(shù)據(jù)中某個(gè)測(cè)量值的殘余誤差的絕對(duì)值|vi|>3σ時(shí),則該測(cè)量值為可疑值（壞值）,應(yīng)剔除。2023/2/433測(cè)量粗大誤差的存在判定準(zhǔn)則2.肖維勒準(zhǔn)則|vi|>Zcσ時(shí)該測(cè)量值為可疑值。n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.102023/2/434序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.21例：測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，判斷測(cè)量中是否存在粗大誤差。2023/2/435序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.241例：測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，判斷測(cè)量中是否存在粗大誤差。2023/2/436序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2

185.550.309285.24-0.001385.360.119485.580.339585.310.069685.590.349784.28-0.961884.94-0.301985.350.1091085.21-0.03185.2410.000例：測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，判斷測(cè)量中是否存在粗大誤差。2023/2/437序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.10根據(jù)肖維勒準(zhǔn)則|vi|>Zcσ例：測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，判斷測(cè)量中是否存在粗大誤差。2023/2/438序號(hào)測(cè)量值xi殘余誤差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378根據(jù)肖維勒準(zhǔn)則|vi|>Zcσ粗大誤差例：測(cè)量數(shù)據(jù)如表所示，判斷測(cè)量中是否存在粗大誤差。2023/2/4391.3測(cè)量系統(tǒng)誤差計(jì)算方法1、不等精度測(cè)量的權(quán)與誤差前面講述的內(nèi)容是等精度測(cè)量的問題。即多次重復(fù)測(cè)量得的各個(gè)測(cè)量值具有相同的精度,可用同一個(gè)均方根偏差σ值來表征,或者說具有相同的可信賴程度。

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或高精度測(cè)量中,為了提高測(cè)量的可靠性和精度,往往在不同的測(cè)量條件下,用不同的測(cè)量?jī)x表、不同的測(cè)量方法、不同的測(cè)量次數(shù)以及不同的測(cè)量者進(jìn)行測(cè)量與對(duì)比,則認(rèn)為它們是不等精度的測(cè)量。

2023/2/440“權(quán)”的概念在不等精度測(cè)量時(shí),對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組測(cè)量,得到m組測(cè)量列（進(jìn)行多次測(cè)量的一組數(shù)據(jù)稱為一測(cè)量列）的測(cè)量結(jié)果及其誤差,它們不能同等看待。精度高的測(cè)量列具有較高的可靠性,將這種可靠性的大小稱為“權(quán)”。2023/2/441權(quán)用符號(hào)p表示,有兩種計(jì)算方法:①用各組測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)n的比值表示,并取測(cè)量次數(shù)較小的測(cè)量列的權(quán)為1,則有2023/2/442②用各組測(cè)量列的誤差平方的倒數(shù)的比值表示,并取誤差較大的測(cè)量列的權(quán)為1。2023/2/443加權(quán)算術(shù)平均值考慮各測(cè)量列的權(quán)的情況2023/2/444

加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差2023/2/4452、測(cè)量誤差的合成

一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)或一個(gè)傳感器都是由若干部分組成。設(shè)各環(huán)節(jié)為x1,x2,…,xn,系統(tǒng)總的輸入輸出關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在測(cè)量誤差。

各局部誤差對(duì)整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)或傳感器測(cè)量誤差的影響就是誤差的合成問題。誤差的合成：已知各環(huán)節(jié)的誤差而求總的誤差。誤差的分配：確定各環(huán)節(jié)具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規(guī)定值。2023/2/446（1）系統(tǒng)誤差的合成：由前面可知,系統(tǒng)總輸出與各環(huán)節(jié)之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1,x2,…,xn)

誤差可用微分來表示,故其合成表達(dá)式為2023/2/447（2）隨機(jī)誤差的合成：設(shè)測(cè)量系統(tǒng)或傳感器有n個(gè)環(huán)節(jié)組成,各部分的均方根偏差為

σx1,σx2，…，σxn

則隨機(jī)誤差的合成表達(dá)式為2023/2/448若y=f(x1,x2,…,xn)為線性函數(shù),即y=a1x1+a2x2+…+anxn

2023/2/449（3）總合成誤差：設(shè)測(cè)量系統(tǒng)和傳感器的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均為相互獨(dú)立的,則總的合成誤差ε表示為：ε=Δy±σy2023/2/450在組合測(cè)量的數(shù)據(jù)處理、實(shí)驗(yàn)曲線擬合方面的重要工具。要獲得最可信賴的測(cè)量結(jié)果，應(yīng)使各測(cè)量值的殘余誤差平方和最小。3.最小二乘法的應(yīng)用2023/2/451設(shè)檢測(cè)系統(tǒng)為：其中Y為直接測(cè)量值，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行n次測(cè)量，可得以下線性方程組：（n＞m）為被測(cè)量2023/2/452其中是被測(cè)量的最可信賴的值，為各次測(cè)量結(jié)果。則殘余誤差ｖ為：設(shè)為帶誤差的實(shí)際直接測(cè)量值，2023/2/453按最小二乘原理，上述殘余誤差平方和為最小，即根據(jù)求極值條件使整理后可得最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程：2023/2/454最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程2023/2/455正規(guī)方程是一個(gè)m元線性方程組，當(dāng)其系數(shù)行列式不為零時(shí)，有唯一確定解，由此可解得被測(cè)量的估計(jì)值2023/2/456【例題】銅電阻的電阻值R與溫度t之間關(guān)系為