第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)平動(dòng)：若剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.一剛體的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)又分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+二剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度參考平面角位移角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考軸1角速度和角加速度角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示.

2勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量時(shí)，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng).剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比3角量與線量的關(guān)系飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度例1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求:（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開始后t=6s時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t=0s

轉(zhuǎn)過的圈數(shù)（2）制動(dòng)開始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解:已知：.

求：解:三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩和力矩的功P*O(:力臂)剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),O為軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的位矢.對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩1.力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

力矩的功2.力矩作功四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體內(nèi)部質(zhì)量為的質(zhì)量元的速度為動(dòng)能為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量.2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg·m2（千克·米2）.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能計(jì)算式：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元dm，其到軸的距離為r，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與平動(dòng)動(dòng)能比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，對(duì)通過棒中心和過端點(diǎn)并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.O′OO′O如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量m、剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例4.部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間無(wú)相對(duì)位移，質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力不作功.由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理注意:

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能應(yīng)用計(jì)算.

1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2之和.例:一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng).某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，桿與豎直軸的夾角為.設(shè)桿的質(zhì)量為、桿長(zhǎng)為l，小球的質(zhì)量為.求：1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；

3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩.解:l2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：3）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：l二轉(zhuǎn)動(dòng)定律O

轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.

轉(zhuǎn)動(dòng)定律竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？七、牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用如果在一個(gè)物體系中，有的物體作平動(dòng)，有的物體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，處理此問題仍然可以應(yīng)用隔離法.但應(yīng)分清哪些物體作平動(dòng)，哪些物體作轉(zhuǎn)動(dòng).把平動(dòng)物體隔離出來(lái)，按牛頓第二定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程；把定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體隔離出來(lái)，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程.有時(shí)還需要利用質(zhì)點(diǎn)及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式補(bǔ)充方程，然后對(duì)這些方程綜合求解.例:一輕繩跨過一軸承光滑的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體，滑輪可視為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為m，半徑為r，繩子不可伸長(zhǎng)而且與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).求物體加速度、滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度和繩子的張力.受力圖如下，設(shè)rmm2m1解:得解3-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理和動(dòng)量矩守恒定律預(yù)習(xí)要點(diǎn)認(rèn)識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩的定義，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩如何計(jì)算?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的?動(dòng)量矩守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么?力矩的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、動(dòng)量矩、動(dòng)量矩定理.一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩和剛體的動(dòng)量矩

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述力的時(shí)間累積效應(yīng)沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述一

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩和剛體的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)在垂直于z

軸平面上以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動(dòng).大小的方向符合右手法則.1

質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩A質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩（相對(duì)圓心）z（圓運(yùn)動(dòng)）2

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩二

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理非剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理O

守恒條件若不變，不變；若變，也變，但不變.物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理若，則.討論三剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的動(dòng)量矩.有許多現(xiàn)象都可以用動(dòng)量矩守恒來(lái)說(shuō)明.它是自然界的普遍適用的規(guī)律.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水注意1.對(duì)一般的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，若質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一定點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí)，則此質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該定點(diǎn)的動(dòng)量矩始終保持不變.2.動(dòng)量矩守恒定律與動(dòng)量守恒定律一樣,也是自然界的一條普遍規(guī)律.（1）解：球與桿在碰撞過程中，所受外力矩為零，碰撞過程中系統(tǒng)動(dòng)量矩守恒.即：例：在豎直平面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為m’、長(zhǎng)為2l、可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿.有一質(zhì)量為m的小球以與桿垂直的速度

與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的速度及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.彈性碰撞動(dòng)能守恒（2）其中聯(lián)立(1)、(2)式求解例

一長(zhǎng)為l,