第三章第一二節(jié)導(dǎo)數(shù)概念求導(dǎo)法則

第三章微積分學(xué)的創(chuàng)始人:德國(guó)數(shù)學(xué)家Leibniz微分學(xué)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具(從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)、微分、邊際與彈性英國(guó)數(shù)學(xué)家Newton一、導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生的背景二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1.自由落體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題2.切線問(wèn)題3.函數(shù)的變化率問(wèn)題一、導(dǎo)數(shù)問(wèn)題舉例1.變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為則到的平均速度為而在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為自由落體運(yùn)動(dòng)2.曲線的切線斜率曲線在M點(diǎn)處的切線割線MN的極限位置MT(當(dāng)時(shí))割線MN的斜率切線MT的斜率3.函數(shù)的變化率三個(gè)問(wèn)題的共性:

所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.

瞬時(shí)速度切線斜率函數(shù)的變化率類似問(wèn)題還有:加速度角速度線密度電流強(qiáng)度是速度增量與時(shí)間增量之比的極限是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限是電量增量與時(shí)間增量之比的極限變化率問(wèn)題二、導(dǎo)數(shù)的定義定義1.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在,并稱此極限為記作:即則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義,在點(diǎn)處可導(dǎo),在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度曲線在M點(diǎn)處的切線斜率函數(shù)的變化率問(wèn)題不存在,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo).若也稱在的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.若極限注意:若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù).記作:就稱函數(shù)在

I內(nèi)可導(dǎo).**用定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟例1.求函數(shù)(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).解:即例2.求函數(shù)解:說(shuō)明：對(duì)一般冪函數(shù)(為常數(shù))例如，(自變量對(duì)其本身的導(dǎo)數(shù)為1)的導(dǎo)數(shù).解則即例3.求類似可證例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:

即原式是否可按下述方法作:例5.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例6.設(shè)存在,求極限解:原式三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點(diǎn)的切線斜率為若切線與x軸垂直.曲線在點(diǎn)處的切線方程:法線方程:例*.求曲線y=x2上任意一點(diǎn)處切線的斜率，并求在點(diǎn)(1,1)處的切線方程.解：任意一點(diǎn)x處：在(1,1)點(diǎn)：故所求切線方程為：y–1=2(x–1),即y=2x–1例7.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫(xiě)出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù).注意:函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)，但在該點(diǎn)未必可導(dǎo).反例:在x=0處連續(xù),但不可導(dǎo).即在點(diǎn)的某個(gè)右鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限則稱此極限值為在處的右導(dǎo)數(shù),記作即(左)(左)例如,在x=0處有定義2

.設(shè)函數(shù)有定義,存在,定理2.函數(shù)在點(diǎn)且存在簡(jiǎn)寫(xiě)為可導(dǎo)的充分必要條件是內(nèi)容小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:4.可導(dǎo)必連續(xù),但連續(xù)不一定可導(dǎo);5.已學(xué)求導(dǎo)公式:6.判斷可導(dǎo)性不連續(xù),一定不可導(dǎo).直接用導(dǎo)數(shù)定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.2.增量比的極限;切線的斜率;思考與練習(xí)1.函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)區(qū)別:是函數(shù),是數(shù)值;聯(lián)系:注意:有什么區(qū)別與聯(lián)系?？與導(dǎo)函數(shù)2.設(shè)存在,則3.已知?jiǎng)t4.函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性.5.

設(shè),問(wèn)a取何值時(shí),在都存在,并求出解:顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).故時(shí)此時(shí)在都存在,作業(yè)P915,8,12(3),15第二節(jié)牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)》一書(shū)(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.萊布尼茨

(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).第二節(jié)求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則推論(4)(C為常數(shù))例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例*二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：設(shè)單調(diào)函數(shù)x=(y)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，(x)0，則它的反函數(shù)y=f(x)在相應(yīng)的某區(qū)間J內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且例如(1)設(shè)則,則(2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),公式排行榜三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理：設(shè)u=(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u(u=(x))處也可導(dǎo)，復(fù)合函數(shù)y=f((x))在U(x)內(nèi)有定義，則y=f((x))在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的，且即設(shè)y=f(u),u=g(v),v=h(x),則例1.y=sinax,求y'解y=sinu,u=ax模仿例2.y=e5x,求y'解模仿例3.1

y=ln(1+x2),求y'例3.2求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)例４.1

y=ln[ln(1+x2)],