第三章高數(shù)課件何滿喜第七節(jié)

高等數(shù)學(xué)由何滿喜制作第三章微分中值定理

與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.7曲線的曲率3.7.1弧微分3.7.3小結(jié)*3.7.2平面曲線的曲率3.7.1弧微分函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)．現(xiàn)把時(shí)曲線上的點(diǎn)記為，見(jiàn)圖3-13

規(guī)定：一是依增大的方向作為曲線二是對(duì)曲線上任一點(diǎn)，有向弧段的值的大小等于該段弧的方向與曲線的正向一致，相反時(shí)時(shí)的正向,的長(zhǎng)度，有向弧段的單調(diào)遞增函數(shù)，可記為因此弧是其增量為，當(dāng)很小時(shí)，來(lái)近似，即弧的增量可用弧長(zhǎng)而

，所以即因，于是得

或

把稱(chēng)為曲線的弧微分．

（1）若平面曲線以參數(shù)方程給出：，且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，（2）則弧微分公式為*3.7.2平面曲線的曲率在圖3-14中，設(shè)曲線弧與的長(zhǎng)度相等，的彎曲比較緩慢，而曲線弧的彎曲比較厲害．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線移動(dòng)時(shí)，從點(diǎn)但曲線弧移到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)不大，而點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度明顯比圖3-15中，曲線弧過(guò)的角度（稱(chēng)為轉(zhuǎn)角）的長(zhǎng)度不相等，當(dāng)

大．

動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)過(guò)的角度與點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的切線轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)角都是

可見(jiàn)，曲線（?。┑膹澢潭炔粌H與轉(zhuǎn)角有關(guān)，而且還與弧長(zhǎng)有關(guān)．

在圖3-16中，設(shè)曲線弧的長(zhǎng)度為在點(diǎn)處的切線的傾角分別為當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從移動(dòng)到時(shí)，切線的轉(zhuǎn)角為把比值稱(chēng)為曲線弧的平均曲率，記作，曲線定義在曲線上,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線趨于點(diǎn)時(shí)，如果存在，則稱(chēng)此極限為曲線在點(diǎn)記作當(dāng)極限存在時(shí)有（4）處的曲率,（3）從圖3-16可見(jiàn)，在動(dòng)點(diǎn)處有，即的大小與變量有關(guān)，所以得即

于是，而所以由（4）可得式（5）就是函數(shù)曲線在點(diǎn)曲率計(jì)算公式．

（5）處的對(duì)于半徑為的圓來(lái)講，因，所以得，即圓的曲率是其半徑的倒數(shù).

設(shè)曲線在點(diǎn)處的曲率為，當(dāng)時(shí)把就稱(chēng)為曲線的曲率半徑.（6）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的曲率半徑為.在點(diǎn)處的曲線的法線上，且在曲線凹的,使,則把以為圓心，為半徑的圓稱(chēng)為點(diǎn)處的曲率圓,圖3-17.

一側(cè)取一點(diǎn)例1求拋物線解因所以有

上最大的曲率．因此當(dāng)時(shí)可取得最小值0．

所以說(shuō)，該拋物線在其頂點(diǎn)處的曲率為最大.經(jīng)計(jì)算得最大曲率為例2設(shè)在處的曲率．

,求曲線解因所以有3.7.3小結(jié)