第19講 加法原理與乘法原理

1第19講加法原理與乘法原理

加法原理和乘法原理是計數(shù)中最常用、也是最基本的兩個原理。從A城到B城，有三類交通工具，火車、汽車、飛機，坐火車每天有2班，坐汽車每天有3班，乘飛機每天有1班。那么從A城到B城一共有幾種走法？我們說的計數(shù)就是數(shù)數(shù)。

把一類對象的具體數(shù)目一個一個數(shù)出來。如果對象情況簡單我們可以一個一個數(shù)。情況復雜就不行了，太慢了！

數(shù)不過來，時間太長，數(shù)過后記不住。

這時我們就要利用加法原理和乘法原理幫助我們計數(shù)。

那什么是加法原理？什么是乘法原理呢？。先看實際問題A城B城火車汽車飛機第①類第②類第③類2班3班1班共有到達的方法種數(shù)第①類2種第②類3種第③類1種=第①類2種+第②類3種+第③類1種完成一件事，有3類方法，第1類有2種，第2類有3種，第3類有1種，那么完成這件事共有2+3+1種方法。這就是加法原理2例-1（書上第130頁例1）解:

這是一題要應用加法原理做的題目。肖明到圖書館借多少本書？借1本！肖明分別有幾類圖書可以選擇?第①類英語第②類科技第③類小說150種200種100種共有多少種方法=第①類幾種+第②類幾種+第③類幾種=150種+200種+100種=450（種）答:

肖明共有450種借圖書的選法。復述加法原理。3第19講加法原理與乘法原理

我們知道了加法原理，那么什么是乘法原理呢？從A地經(jīng)過B地到達C地，要分兩步完成，從A地到B地，第一步可以步行、騎自行車、坐公交；又從B地到C地有2種方法，坐公交，坐出租車。那么從A城到B城一共有幾種走法？我們再看實際問題A地B地步行③坐公交C地坐公交坐出租車②騎自行車①①②第1步第2步解:從A地到達C地,是分兩步進行的.第1步從A地到達B地,第2步從B地到達C地,.從A到C的方法有第1步第2步1步行坐公交2步行坐出租車3騎自行車坐公交4騎自行車坐出租車5坐公交坐公交6坐公交坐出租車對應第1步每一種選擇方式,第2步都有2種選擇.2×3種方法選擇如果完成一件事，需要2步，第1步有3種方法，第2步有2種方法，那么完成這件事共有3×2=6種方法。這就是乘法原理共6種我們數(shù)一數(shù)共有幾種方法4馬戲團演小丑的演員，他有紅、黃、藍3頂帽子和黑、白、綠、黃4雙鞋，每次他出場演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？例-2解:

這是一題要應用乘法原理做的題目。如果完成一件事，需要2步，第1步有3種方法，第2步有2種方法，那么完成這件事共有3×2=6種方法。帽子鞋子搭配穿戴問題。需要2步戴帽子：第1步穿鞋子：第2步戴紅的戴黃的戴藍的穿黑穿白穿綠穿黃3種4種戴紅的+穿黑,戴紅的+穿白,戴紅的+穿綠,戴紅的+穿黃戴黃的+穿黑,戴黃的+穿白,戴黃的+穿綠,戴黃的+穿黃戴藍的+穿黑,戴藍的+穿白,戴藍的+穿綠,戴藍的+穿黃第1步種數(shù)×第2步種數(shù)=3×4=12(種)4×3=12(種)這是什么意思?我們數(shù)一數(shù)共有幾種方法共12種這就是乘法原理！說明第1步做什么？說明乘法原理如何表述？5例-3（書上第131頁例2）解:

我們把這五個數(shù)字寫到卡片上。要組成三位數(shù)，就是把卡片分別依次放在個位上，十位上，百位上個位十位百位123組成一個三位數(shù)需要幾步？3步。第1步有幾種選擇或方法？5種。第2步有幾種選擇或方法？4種。第3步有幾種選擇或方法？3種。5×4×3=60(種)第1步你是先放個位還是百位?結果一樣嗎?如何放?方便為好!6例-3（書上第131頁例2）解:

我們把這五個數(shù)字寫到卡片上。要組成三位數(shù)，就是把卡片分別依次放在個位上，十位上，百位上個位十位百位組成一個三位偶數(shù)需要幾步？3步。第1步先放個位，有幾種選擇或方法？2種。4種。3種。2×4×3=24(種)怎樣的才能叫偶數(shù)？24第2步再放十位，有幾種選擇或方法？第3步再放百位，有幾種選擇或方法？個位十位組成一個二位偶數(shù)需要幾步？2步。第1步先放個位，有幾種選擇或方法？2種。4種。第2步再放十位，有幾種選擇或方法？242×4=8(種)12,32,42,52,14,24,34,54,組成一個一位偶數(shù)需要幾步？24組成一個四位偶數(shù)需要幾步？如何計算呢？五我們已有:

三位偶數(shù)2×4×3=24(種)二位偶數(shù)2×4=8(種)一位偶數(shù)2=2(種)四位偶數(shù)2×4×3=48(種)五位偶數(shù)2×4×3=48(種)×2×2×1共有不重復偶數(shù)2+8+24+48+48=130(個)個位十位百位千位247例-3（書上第131頁例2）例-3練習奇數(shù)組成法！8例-4（書上第131頁例3）解:

這又是一題比較復雜大題目.要求有多少種不同的走法，請大家思考是不是只用加法原理，或是不是只用乘法原理？不是只用乘法原理，或只用加法原理。兩個原理都要用。第1類走法4×2=8

(種)第2類走法3

(種)共有走法=8

+3=11(種)答:

共有11種走法。9第19講加法原理與乘法原理作業(yè)-1：

A卷133頁1.

2.

3.5.

8.6.

10例-5（書上第131頁例4）解:

這又是一題與大家經(jīng)歷密切相關的題目。第1個小題要求選出2人，這2人是有區(qū)別的，1位擔任班長，另1位擔任副班長。第2個小題要求選出2人，這2人是沒有有區(qū)別的，都是去參加數(shù)學競賽。我們分兩步選，第1步先選正班長副班長位正班長位29種30種30人中選1位有幾種選法？30種，還余下29人第2步先選副班長29人中選1位有幾種選法？29種共有多少種選法用乘法原理30×29=870(種)11例-6（書上第132頁例5）難，略去解:我們先嘗試理解題目。取出1張，可以有幾種幣值：1角2角1元4張2張3張共9張1角2角1元共3種幣值取出2張，可以有幾種幣值：2角4角2元3角1元2角1元1角共6種幣值取出9張，可以有幾種幣值：3元8角共1種幣值這是最大值這是最小值1角1角2角4張2張可以有幾種幣值：1角至8角共8種幣值1元3張可以有幾種幣值：1元至3元共3種幣值共24種幣值再加單獨取1種，計11種共24+11=35種幣值12例-7（書上第132頁例6）例6從1到300的正整數(shù)中，完全不含有數(shù)字3的有多少個？解:

在這一系列數(shù)字中有一位數(shù)字1、2、4、5、6、7、8、9有二位數(shù)字10、11、12、13、99有三位數(shù)字100、101、102、300一位數(shù)8種二位數(shù)8種9種9×8=72(種)有三類數(shù)字三位數(shù)2種9種9種9×