正弦交流電路和向量法

4.1正弦量的基本概念4.2正弦量的有效值4.3正弦量的相量表示法4.4正弦電路中的電阻元件4.5正弦電路中的電感元件4.6正弦電路中的電容元件4.7基爾霍夫定律的相量形式4.8復阻抗、復導納及其等效變換4.9RLC串聯(lián)電路4.10RLC并聯(lián)電路4.11正弦交流電路的相量分析法4.12正弦交流電路的功率4.13功率因數(shù)的提高4.14諧振第4章正弦交流電路4.1正弦量的基本概念正弦交流電：電壓、電流均隨時間按正弦函數(shù)規(guī)律變化

1.振幅值（最大值）

正弦量瞬時值中的最大值,叫振幅值,也叫峰值。用大寫字母帶下標“m”表示,如Um、Im等。4.1.1正弦交流電的三要素（一）4.1.1正弦交流電的三要素（二）2.角頻率ω

角頻率ω表示正弦量在單位時間內(nèi)變化的弧度數(shù),即(4.2)4.1.1正弦交流電的三要素（三）4.1.1正弦交流電的三要素（四）圖4.2初相不為零的正弦波形3.初相

4.1.1正弦交流電的三要素（五）圖4.2初相不為零的正弦波形4.1.1正弦交流電的三要素（六）相位：ωt+θ

初相θ：

t=0時的相位

正弦量零值：負值向正值變化之間的零點

若零點在坐標原點左側(cè)，θ>0

若零點在坐標原點右側(cè)，θ<04.1.1正弦交流電的三要素（七）圖4.3幾種不同計時起點的正弦電流波形

在選定的參考方向下,已知兩正弦量的解析式為u=200sin(1000t+200°)V,i=-5sin(314t+30°)A,試求兩個正弦量的三要素。解

(1)u=200sin(1000t+200°)=200sin(1000t-160°)V所以電壓的振幅值Um=200V,角頻率ω=1000rad/s,初相θu=-160°。例4.2（一）例4.2（二）

(2)i=-5sin(314t+30°)=5sin(314t+30°+180°)=5sin(314t-150°)A所以電流的振幅值Im=5A,角頻率ω=314rad/s,初相θi=-150°。

已知選定參考方向下正弦量的波形圖如圖4.4所示,試寫出正弦量的解析式。解：例4.3（一）例4.3（二）圖4.4例4.3圖

兩個同頻率正弦量的相位之差,稱為相位差,用字母“φ”表示。設(shè)兩正弦量：4.1.2相位差（一）4.1.2相位差（二）φ12=θ1-θ2>0且|φ12|≤π弧度U1達到振幅值后，U2需經(jīng)過一段時間才能到達，U1越前于U2(2)φ12=θ1-θ2<0且|φ12|≤π弧度U1滯后U2(3)φ12=θ1-θ2=0,稱這兩個正弦量同相(4)φ12=θ1-θ2=π,稱這兩個正弦量反相

(5)φ12=θ1-θ2=,稱這兩個正弦量正交4.1.2相位差（三）圖4.5同頻率正弦量的幾種相位關(guān)系

例4.4（一）已知求u和i的初相及兩者間的相位關(guān)系。例4.4（二）解所以電壓u的初相角為-125°,電流i的初相角為45°。表明電壓u滯后于電流i170°。

分別寫出圖4.6中各電流i1、

i2的相位差,并說明i1與i2的相位關(guān)系。例4.5（一）例4.5（二）圖4.6例4.5圖例4.5（三）解

(a)由圖知θ1=0,θ2=90°,φ12=θ1-θ2=-90°,表明i1滯后于i290°。

(b)由圖知θ1=θ2,φ12=θ1-θ2=0,表明二者同相。例4.5（四）(c)由圖知θ1-θ2=π,表明二者反相。(d)由圖知θ1=0,,表明i1越前于。已知例4.6（一）試分析二者的相位關(guān)系。例4.6（二）解u1的初相為θ1=120°,u2的初相為θ2=-90°,u1和u2的相位差為φ12=θ1-θ2=120°-(-90°)=210°考慮到正弦量的一個周期為360°,故可以將φ12=210°表示為φ12=-150°<0,表明u1滯后于u2150°。思考題

1、已知則Im=_____A，ω=_____rad/s，f=_____Hz，T=_____s，θi=_____弧度。

2、一個工頻正弦電壓的最大值為311V，在t=0時的值為－220V，試求它的解析式。

3、三個正弦量i1、i2和

i3的最大值分別為1A、2A和3A。若i3的初相角為60°，i1較i2超前30°，較i3滯后150°，試分別寫出這三個電流的解析式（設(shè)正弦量的角頻率為ω

）。4.2正弦量的有效值4.2.1有效值的定義（一）交流電的有效值是根據(jù)它的熱效應(yīng)確定的。交流電流i通過電阻R在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流電流I通過同一電阻R在相同時間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等,則這個直流電流I的數(shù)值叫做交流電流i的有效值,用大寫字母表示,如I、

U等。4.2.1有效值的定義（二）1、測量交流電壓，交流電流的儀表所指示的數(shù)字，電氣設(shè)備銘牌上的額定值都指的有效值。

2、定義交流電流I通過電阻R在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量和直流I通過同一電阻R在相同時間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量相等，則這個直流電流I的數(shù)值叫做交流I的有效值4.2.1有效值的定義（三）交流電通過同樣的電阻R，在一個周期內(nèi)所產(chǎn)生熱量：根據(jù)定義，這兩個電流所產(chǎn)生的熱量應(yīng)相等，即一個周期內(nèi)直流電通過電阻R所產(chǎn)生的熱量為：

4.2.2正弦量的有效值例4.7電容器的耐壓值為250V,問能否用在220V的單相交流電源上？

解：因為220V的單相交流電源為正弦電壓,其振幅值為311V,大于其耐壓值250V,電容可能被擊穿,所以不能接在220V的單相電源上。各種電器件和電氣設(shè)備的絕緣水平（耐壓值）,要按最大值考慮。例4.8一正弦電壓的初相為60°,有效值為100V,試求它的解析式。

解因為U=100V,所以其最大值為則電壓的解析式為思考題

1、用電流表測得一正弦交流電路中的電流為10A，則其最大值Im=_____A。

2、一正弦電壓的初相為60°，在t=T/2時的值為－465.4V，試求它的有效值和解析式。4.3正弦量的相量表示法

4.3.1復數(shù)及四則運算（一）1.復數(shù)

4.3.1復數(shù)及四則運算（二）2.復數(shù)的四種形式復數(shù)的代數(shù)形式

(2)復數(shù)的三角形式(3)復數(shù)的指數(shù)形式(4)復數(shù)的極坐標形式解A1的模（在第四象限）輻角

(在第二象限)則A2的極坐標形式為A2的模例4.9A1=5-36.9°則A1的極坐標形式為輻角寫出復數(shù)A1=4-j3,A2=-3+j4的極坐標形式。例4.10寫出復數(shù)A=10030°的三角形式和代數(shù)形式。解：三角形式A=100（cos30°+jsin30°）

代數(shù)形式A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j503.復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加減法設(shè)則

4.3.1復數(shù)及四則運算（三）圖4.9復數(shù)相加減矢量圖4.3.1復數(shù)及四則運算（四）(2)復數(shù)的乘除法例4.11

求復數(shù)A=8+j6,B=6-j8之和A+B及積A·B。解：

A+B=（8+j6)+(6-j8)=14-j2A·B=(8+j6)(6-j8)=10/36.9°·10/-53.1°=100/-16.2°圖4.10正弦量的復數(shù)表示4.3.2正弦量的相量表示法例4.12（一）

已知同頻率的正弦量的解析式分別為i=10sin(ωt+30°),,寫出電流和電壓的相量,并繪出相量圖。解由解析式可得

相量圖如圖4.11所示。例4.12（二）圖4.11例4.12圖例4.13（一）已知工頻條件下,兩正弦量的相量分別為試求兩正弦電壓的解析式。解由于所以例4.13（二）思考題（一）

1、寫出下列各正弦量對應(yīng)的向量，并繪出向量圖。思考題（二）2、寫出下列向量對應(yīng)的解析式（f=50Hz)。思考題（三）

3、已知如圖4.12所示，判斷下列表達式的正誤。4.4正弦電路中的電阻元件4.4.1電阻元件上電壓與電流的關(guān)系（一）圖4.13純電阻電路電阻元件上電流和電壓之間的瞬時關(guān)系4.4.1電阻元件上電壓與電流的關(guān)系（二）2)電阻元件上電流和電壓之間的大小關(guān)系若其中則4.4.1電阻元件上電壓與電流的關(guān)系（三）3)電阻元件上電流和電壓之間的相位關(guān)系圖4.14電阻元件上電流與電壓之間的關(guān)系4.4.2電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系關(guān)聯(lián)參考方向下若則

1、瞬時功率：交流電路中,任一瞬間,元件上電壓的瞬時值與電流的瞬時值的乘積叫做該元件的瞬時功率,用小寫字母p表示,即4.4.3電阻元件的功率（一）

2、平均功率：工程上都是計算瞬時功率的平均值,即平均功率,用大寫字母P表示。周期性交流電路中的平均功率就是其瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值,即4.4.3電阻元件的功率（二）4.4.3電阻元件的功率（三）功率的單位為瓦(W）,工程上也常用千瓦（kW）,即例4.14（一）一電阻R=100Ω,R兩端的電壓

求(1)通過電阻R的電流IR和iR。

(2)電阻R接受的功率PR。

(3)作的相量圖。例4.14（二）所以

(3)相量圖如圖4.16所示。解(1)因為圖4.16例4.14圖例4.14（三）一只額定電壓為220V,功率為100W的電烙鐵,誤接在380V的交流電源上,問此時它接受的功率為多少？是否安全？若接到110V的交流電源上,它的功率又為多少？解由電烙鐵的額定值可得當電源電壓為380V時,電烙鐵的功率為此時不安全,電烙鐵將被燒壞。當接到110V的交流電源上,此時電烙鐵的功率為此時電烙鐵達不到正常的使用溫度。例4.15（一）例4.15（二）解由電烙鐵的額定值可得當電源電壓為380V時,電烙鐵的功率為此時不安全,電烙鐵將被燒壞。例4.15（三）當接到110V的交流電源上,此時電烙鐵的功率為此時電烙鐵達不到正常的使用溫度。思考題（一）

1、以知電阻R=10Ω，關(guān)聯(lián)參考方向下，通過電阻的電流i=1.41sin(t+60)A。求（1）uR及UR。（2）電阻接受的功率P。

2、一電阻R接到f=50Hz，的電源上，接受的功率為200W。求（1）電阻值R。（2）電流。（3）作電流、電壓向量圖。

3、在圖4.17所示電路中，將R=100Ω的電阻接到一正弦電源上，若端電壓的最大值為311V。試求電流表和電壓表的讀數(shù)。圖4.17思考題3圖思考題（二）

4.5正弦電路中的電感元件

4.5.1電感元件上電壓和電流的關(guān)系（一）

1、瞬時關(guān)系4.5.1電感元件上電壓和電流的關(guān)系（二）4.5.1電感元件上電壓和電流的關(guān)系（三）XL稱為感抗,當ω的單位為1/s，L的單位為H時，XC的單位為Ω。

電感元件上電壓較電流超前90°圖4.19電感元件上電流和電壓的波形圖

3.相位關(guān)系4.5.1電感元件上電壓和電流的關(guān)系（四）4.5.2電感元件上電壓和電流的相量關(guān)系（一）

關(guān)聯(lián)參考下圖4.20電感元件電流和電壓的相量圖4.5.2電感元件上電壓和電流的相量關(guān)系（二）1、瞬時功率設(shè)通過電感元件的電流為則4.5.3電感元件的功率（一）圖4.21電感元件的功率曲線4.5.3電感元件的功率（二）2、平均功率4.5.3電感元件的功率（三）4.5.3電感元件的功率（四）3、無功功率我們把電感元件上電壓的有效值和電流的有效值的乘積叫做電感元件的無功功率,用ＱL表示。QL>0,表明電感元件是接受無功功率的。無功功率的單位為“乏”（var）,工程中也常用“千乏”（kvar）。

1kvar=1000var

已知一個電感L=2H,接在的電源上,求(1)XL。(2)通過電感的電流iL。(3)電感上的無功功率QL。（1）（2）（3）解例4.16已知流過電感元件中的電流為

測得其無功功率QL=500var,求：

(1)XL和L。(2)電感元件中儲存的最大磁場能量WLm。解

(1)(2)例4.17思考題（一）

1、判斷下列表達式的正（√）誤（×）：（選定電感元件的電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向）（1）uL=ωLIL（）（2）UL=ωLIL（）（3）

uL=ω

LiL

（）

（4）（）

2、已知L=0.1H。試求XL

和并繪出電壓、電流向量圖。

3、已知f=50Hz，求XL和L。

4、一電感L=0.127H，求（1）電流IL。（2）有功功率PL。（3）無功功率QL。思考題（二）

4.6正弦電路中的電容元件1、瞬時關(guān)系關(guān)聯(lián)參考方向下圖4.22純電容電路4.6.1電容元件上電壓和電流的關(guān)系（一）2、大小關(guān)系設(shè)4.6.1電容元件上電壓和電流的關(guān)系（二）4.6.1電容元件上電壓和電流的關(guān)系（三）其中XC稱為容抗,當ω的單位為1/s，C的單位為F時，XC的單位為Ω圖4.23電容元件上電流和電壓的波形圖3、相位關(guān)系4.6.1電容元件上電壓和電流的關(guān)系（四）4.6.2電容元件上電壓與電流的相量關(guān)系圖4.25電容元件功率曲線4.6.3電容元件的功率（一）1、瞬時功率2、平均功率4.6.3電容元件的功率（二）4.6.3電容元件的功率（三）3、無功功率：我們把電容元件上電壓的有效值與電流的有效值乘積的負值,稱為電容元件的無功功率,用QC表示。即QC<0表示電容元件是發(fā)出無功功率的,QC和QL一樣,單位也是乏（var）或千乏(kvar)。

已知一電容C=50μF,接到220V,50Hz的正弦交流電源上,求

(1)XC(2)電路中的電流IC和無功功率ＱＣ。

(3)電源頻率變?yōu)?000Hz時的容抗。例4.18（一）例4.18（二）解

(1）(2)(3)一電容C=100μF,接于的電源上。求(1)流過電容的電流IC。(2)電容元件的有功功率PC和無功功率QC。(3)電容中儲存的最大電場能量WCm。(4)繪電流和電壓的相量圖。

例4.19（一）解：（1）例4.19（二）（2）（3）例4.19（三）(4)相量圖如圖4.26所示。圖4.26例4.19圖例4.19（四）電路電壓和電流的大小關(guān)系相位關(guān)系阻抗功率相量關(guān)系電阻R感抗容抗總結(jié)思考題（一）

1、判斷下列表達式的正（√）誤（×）：（電容元件的電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向）（）（）（）（）思考題（二）

2、一電容C=31.8F，外加電壓為在電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向時，求XC、、iC、QC，并作出相量圖。思考題（三）3、一高壓電纜的電容C=10F，外加電壓為求在關(guān)聯(lián)參考方向下的電流及儲存的最大電場能量。4.7基爾霍夫定律的相量形式目的與要求理解KCL、KVL的向量形式重點與

難點重點：KCL、KVL的向量形式

難點：KCL、KVL的向量形式4.7.1相量形式的基爾霍夫電流定律4.7.2相量形式的基爾霍夫電壓定律

圖4.27例4.20圖例4.20（一）如圖4.27（a）、(b)所示電路中,已知電流表A1、A2、A3都是10A,求電路中電流表A的讀數(shù)。例4.20（二）解設(shè)端電壓(1)選定電流的參考方向如圖(a)所示,則(與電壓同相)（滯后于電壓90°）例4.20（三）電流表A的讀數(shù)為。注意:這與直流電路是不同的,總電流并不是20A。(2)選定電流的參考方向如圖(b)所示,則例4.20（四）電流表A的讀數(shù)為10A。由KVL所以電壓表V的讀數(shù)為例4.20（五）

選定i、u1、u2

、u3的參考方向如圖(b)所示,則(滯后于電流90°)由KCL電流表A的讀數(shù)為50V。

如圖4.28（a）、(b)所示電路中,電壓表V1、V2、V3的讀數(shù)都是50V,試分別求各電路中V表的讀數(shù)。例4.21（一）圖4.28例4.21例4.21（二）解：設(shè)電流為參考相量,即a）選定i、u1、u2、u的參考方向如圖(a)所示,則(與電流同相)（超前于電流90°）4.8復阻抗、復導納及其等效變4.8.1復阻抗與復導納（一）1、復阻抗1）4.8.1復阻抗與復導納（二）

Z是一個復數(shù),所以又稱為復阻抗,|Z|是阻抗的模,φ為阻抗角。復阻抗的圖形符號與電阻的圖形符號相似。復阻抗的單位為Ω。Z稱為該電路的阻抗2）Z的實部為R,稱為“電阻”,Z的虛部為X,稱為“電抗”,它們之間符合阻抗三角形。圖4.30阻抗三角形4.8.1復阻抗與復導納（三）2、復導納復阻抗的倒數(shù)叫復導納,用大寫字母Y表示,即在國際單位制中,Y的單位是西門子,用“S”表示,簡稱“西”。由于Z=R+jX,所以4.8.1復阻抗與復導納（三）4.8.1復阻抗與復導納（五）

復導納Y的實部稱為電導,用G表示;復導納的虛部稱為電納,用B表示,由上式可知復導納的極坐標形式為|Y|為復導納的模,φ′為復導納的導納角,所以有4.8.1復阻抗與復導納（六）4.8.1復阻抗與復導納（七）3、復阻抗與復導納的關(guān)系圖4.29正弦交流電路的復阻抗4.8.2復阻抗與復導納的等效變換（一）1、將復阻抗等效為復導納4.8.2復阻抗與復導納的等效變換（二）2、將復導納等效為復阻抗已知加在電路上的端電壓為u=311sin(ωt+60°)V,通過電路中的電流為求|Z|、阻抗角φ和導納角φ′。解電壓的相量為例4.22

如圖4.31(a)所示,已知電阻R=6Ω,X=8Ω,試求其等效復導納。解由已知條件由式(4.53)可知例4.23

1、判斷下列敘述的正誤（1）電路中的電壓一定越前電流為φ角。

（2）同一電流中的阻抗角和導納角

相差180°。

（3）電路的導納角等于總電流的初相角與總電壓的初相角，即φ=θi-θu.

思考題（一）思考題（二）2、已知電路的端電壓，通過的電流為，求Y和導納角φ′

3、由G、B組成的并聯(lián)電路，其復導納，將其等效變換為復阻抗，求Z。

i=10sin(ωt+60°)A4.9RLC串聯(lián)電路電壓與電流的關(guān)系4.9.1電壓與電流的關(guān)系1.電感性電路:XL>XC

此時X>0,UL>UC。阻抗角φ>0。

2.電容性電路:XL<XC

此時X<0,UL<UC。阻抗角φ<0。

3.電阻性電路:XL=XC

此時X=0,UL=UC。阻抗角φ=0。4.9.2電路的性質(zhì)（一）圖4.33RLC串聯(lián)電路的相量圖4.9.2電路的性質(zhì)（二）圖4.34多阻抗串聯(lián)4.9.3阻抗串聯(lián)電路（一）4.9.3阻抗串聯(lián)電路（二）

有一RLC串聯(lián)電路,其中R=30Ω,L=382mH,C=39.8μF,外加電壓試求

(1)復阻抗Z,并確定電路的性質(zhì);(2);;

(3)繪出相量圖。例4.24（一）例4.24（二）所以此電路為電感性電路。解（1）(2)例4.24（三）(3)相量圖如圖4.35所示。圖4.36例4.25圖例4.24（四）

用電感降壓來調(diào)速的電風扇的等效電路如圖4.36(a)所示,已知R=190Ω,XL1=260Ω,電源電壓U=220V,f=50Hz,要使U2=180V,問串聯(lián)的電感LX應(yīng)為多少？例4.25（一）例4.25（二）圖4.36例4.25圖解以為參考相量,作相量圖如圖4.36(b)所示。例4.25（三）例4.25（四）例4.26（一）圖4.37(a)所示RC串聯(lián)電路中,已知要使輸出電壓滯后于輸入電壓30°,求電阻R。圖4.37例4.26圖解以為參考相量,作電流、電壓相量圖,如圖4.37(b)所示。已知輸出電壓滯后于輸入電壓（注意不為阻抗角）,由相量圖可知:總電壓滯后于電流,即阻抗角φ=-60°。所以例4.26（二）思考題（一）１、判斷下列表達式的正誤，如下圖1所示。思考題（二）2、圖2所示為RC串聯(lián)電路，已知R=10Ω，

求XC。3.圖3所示的RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω，L=318.5mH,C=53μF接于f=50HZ的電源上，。求（1）復阻抗Z，并確定電路的性質(zhì)。（2）及端電壓（3）繪電壓、電流相量圖。思考題（三）

4.10RLC并聯(lián)電路圖4.41并聯(lián)電路4.10.1阻抗法分析并聯(lián)電路（一）圖4.42并聯(lián)電路的相量圖4.10.1阻抗法分析并聯(lián)電路（二）

兩條支路并聯(lián)的電路如圖4.43所示。已知R=8Ω，XL=6Ω

，XC=10Ω

，端電壓求各支路電流及總電流,并畫出相量圖。解選的參考方向如圖所示。例4.27（一）例4.27（二）圖4.43例4.27圖圖4.44例4.27相量圖例4.27（三）圖4.45RLC并聯(lián)電路4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（一）4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（二）4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（三）其中為電阻支路的“電導”;為電感支路的“感納”;為電容支路的“容納”。B=BC-BL稱為“電納”,利用電納也可判斷電路的性質(zhì):4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（四）4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（五）

(1)B>0,即BC>BL。這時IL<IC,總電流越前于端電壓,電路呈電容性,如圖4.46（a）所示。

(2)B<0,即BC<BL。這時IL>IC,總電流滯后于端電壓,電路呈電感性,如圖4.46（b）所示。

(3)B=0,即BC=BL。這時IL=IC,總電流與端電壓同相,電路呈電阻性,如圖4.46（c）所示。圖4.46RLC并聯(lián)電路相量圖4.10.2導納法分析并聯(lián)電路（六）例4.28（一）

圖4.45所示為RLC并聯(lián)電路,已知端電壓為并聯(lián)電路的復導納Y;(2)各支路的電流和總電流(3)繪出相量圖。

例4.28（二）解選u、i、iR、iL、iC的參考方向如圖所示。

例4.28（三）(3)相量圖如圖4.47所示。圖4.47例4.28相量圖例4.28（四）圖4.48多阻抗并聯(lián)4.10.3多阻抗并聯(lián)（一）4.10.3多阻抗并聯(lián)（二）

圖4.49所示并聯(lián)電路中,已知端電壓試求(1)總導納Y;(2)各支路電流、和總電流。解選u、

i、i1、

i2的參考方向如圖所示。圖4.49例4.29圖例4.29（一）由已知例4.29（二）

1.在圖1所示的RLC并聯(lián)電路中，判斷下列表達式的正（√）誤（×）思考題（一）2.圖1所示的RLC并聯(lián)電路中，已知R=3Ω，XL=4Ω，XC=8Ω，則電路的性質(zhì)為

性。思考題（二）思考題（三）3.圖2所示并聯(lián)電路中，R1=50Ω，R2=40ΩR3=80Ω，L=52.9mH,C=24μF,接到電壓為上，試求各支路電流和總電流。4.11正弦交流電路的相量分析法圖4.52網(wǎng)孔電流法4.11.1網(wǎng)孔電流法（一）4.11.1網(wǎng)孔電流法（二）圖4.52所示電路中,已知

解選定各支路電流、、和網(wǎng)孔電流、的參考方向如圖所示,選定繞行方向和網(wǎng)孔電流的參考方向一致。列出網(wǎng)孔方程為例4.30（一）例4.30（二）其中4.11.2節(jié)點法

圖4.52所示電路中已知數(shù)據(jù)同例4.30,試用節(jié)點法求各支路電流。

解以b點為參考節(jié)點,各支路電流參考方向如圖所示例4.31（一）例4.31（二）正弦交流電路的重要用途是傳輸能量。選定二端電路的電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，設(shè)電壓超前電流角θ。4.12

正弦交流電路的功率和功率因數(shù)二端電路瞬時功率(instantaneouspower)4.12.1二端電路平均功率和功率因數(shù)一個周期內(nèi)p>0的時間長，即電路吸收功率多于釋放功率，即存在耗能元件的作用。瞬時功率的分解：t

i0upUIcosUIcos(2t)p有時為正,有時為負p>0,電路吸收功率p<0，電路發(fā)出功率平均功率(averagepower)其中端電壓與端電流之間的相位差為cosθ稱為功率因數(shù)。功率因數(shù)是衡量交流設(shè)備作功情況的一個重要數(shù)，θ越小，功率因數(shù)越大。當θ＝0時，為純電阻電路，cosθ＝1，在大多工業(yè)設(shè)備中是電感性負載，如電動機，使相位差θ<=90，則功率因數(shù)很低。平均功率實際上是電阻消耗的功率，即為有功功率，代表電路實際消耗的平均功率，它不僅與電壓和電流有效值有關(guān)，而且與cos有關(guān)，這是交流和直流的很大區(qū)別，主要由于存在儲能元件產(chǎn)生了阻抗角。當負載所需功率P一定及供電電壓U一定時，負載的功率因數(shù)越低，電源供給負載的電流越大，則使輸電線上的損耗增加，線路電壓降增大。功率因數(shù)調(diào)整電費辦法（要求大于0.85或0.9），用電戶負載的功率因數(shù)實際上達不到要求，則可采用在負載上并聯(lián)電容的方法。串聯(lián)后使負載工作電壓變化，則不能串聯(lián)。例4-15

有一臺20kW交流電動機接在50Hz，380V電源上，交流電動機的等效電路可看作由R與L串聯(lián)構(gòu)成，在正常工作時功率因數(shù)為0.5，試計算（1）線路電流；（2）當并聯(lián)一電容C＝580μF時，求負載功率、線路電流和整個電路的功率因數(shù)。解：并聯(lián)電容后由于電容的平均功率為零，且不變，則總功率不變，P=20kW在對二端電路計算平均功率時，也可根據(jù)能量守恒定律，因電容、電感不消耗功率，則電路平均功率就等于電路中所有電阻上所消耗的功率之和，可表示為：為反映電感或電容元件與電源之間的能量交換規(guī)模，定義無功功率為電感或電容的瞬時功率的最大值。單位：var(乏)，或稱無功伏安。4.12.2二端電路的無功功率(reactivepower)二端電路瞬時功率t0UIcos(1-cos2t)

UIsin

sin2t瞬時功率的分解UIcos(1-cos2t)為不可逆分量，相當于電阻元件消耗的功率。UIsin

sin2t為可逆分量，周期性交變，相當于電抗吸收的瞬時功率，與外電路周期性交換。pR——電阻分量消耗的瞬時功率（≧0）pX——電抗分量吸收的瞬時功率

電抗元件吸收無功，在平均意義上不做功。Q=UIsin,Q的大小反映網(wǎng)絡(luò)與外電路間交換能量的最大速率。無功功率的物理意義:交流電在通過純電阻的時候，電能都轉(zhuǎn)成了熱能，而在通過純?nèi)菪曰蛘呒兏行载撦d的時候，并不做功。也就是說沒有消耗電能，即為無功功率。當然實際負載不可能為純?nèi)菪载撦d或者純感性負載，一般都是混合性負載，這樣電流在通過它們的時候，就有部分電能不做功，就是無功功率.所謂無功功率就是不消耗電能的用電設(shè)備所消耗的功率。如將電容器接入交流電路中，電路對電容器充放電，則有電流，充電時電容儲存電能，放電時電容把電能還給電源，則電容本身不消耗電能，但卻有功率（功率等于電壓乘以電流），即為無功功率。電容雖然不消耗電能，但因有電流，則電力線路上會消耗電能（電線都有電阻），對供電的電源變壓器則是一種負擔，因變壓器的容量（能提供的功率）是有限的，無功功率會占用變壓器的容量，使正常供電受到限制。同樣，把一只電感器接入交流電路，也會產(chǎn)生無功功率。不過電容器使電流相位超前，而電感器使電流相位滯后，它們的作用正好相反，可以相互抵消。一般用電設(shè)備是電感性的，如電動機，產(chǎn)生感性無功功率，不但使電力線白白消耗電能，增加電力線路負擔，更白白占用電源變壓器容量，是有害的。若在電動機上并聯(lián)電容，使感性負載與容性負載的作用抵消，對電力線路和變壓器來說就沒有無功功率的影響了。無功補償裝置就是配套的電容器（由許多只電容器并聯(lián)而成），由自動控制設(shè)備自動接入電路。

《辭?！分袩o功功率的解釋：具有電感和電容的交流電路中，電感的磁場或電容的電場在一個周期內(nèi)的一部分時間內(nèi)從電源吸收能量，另一部分時間內(nèi)將能量返回電源。在整個周期內(nèi)平均功率為零，也就是沒有能量消耗。但能量是在電源和電感或電容之間來回交換的。能量交換率的最大值叫做無功功率。

R、L、C元件的有功功率和無功功率PR=UIcos=UIcos0=UI=I2R=U2/RQR=UIsin=UIsin0=0對電阻，u,i同相，故Q=0，即電阻只吸收(消耗)功率，不發(fā)出功率。純電阻：純電感：電感不消耗有功，且QL>0。PC=UIcos=Uicos(-90)=0QC=UIsin=UIsin(-90)=-UI電容不消耗有功且QC<0。*電感、電容的無功功率具有互相補償?shù)淖饔肞L=UIcos=UIcos90=0QL=UIsin=UIsin90=UI純電容：視在功率S(apparentpower)視在功率并不代表電路實際的吸收功率，它反映電氣設(shè)備的容量。單位：VA（伏安）不用W，以示區(qū)別）復功率負載+_有功，無功，視在功率的關(guān)系：RjX+_+_oo+_功率三角形例4-16電路中端電壓有效值為220V，求各負載及全電路的P，Q，S和功率因數(shù)。解：全電路的等效阻抗為

4.13功率因數(shù)的提高功率因數(shù)低會引起下述的不良后果。

(1)電源設(shè)備的容量不能得到充分的利用。

(2)增加了線路上的功率損耗和電壓降。4.13.1提高功率因數(shù)的意義圖4.59功率因數(shù)的提高4.13.2提高功率因數(shù)的方法（一）并聯(lián)電容后有并聯(lián)電容前有由圖4.59（b）可以看出又知代入上式可得4.13.2提高功率因數(shù)的方法（二）即因為所以代入式4.73可得(4.73)(4.74)4.13.2提高功率因數(shù)的方法（三）

如圖4.60所示為一日光燈裝置等效電路,已知P=40W,U=220V,I=0.4A,f=50Hz,求

(1)此日光燈的功率因數(shù);(2)若要把功率因數(shù)提高到0.9,需補償?shù)臒o功功率QC及電容量C各為多少？圖4.60例4.35圖例4.35（一）解

(1)因為所以

(2)由cosφ1=0.455得φ1=63°,tanφ1=1.96。由cosφ2=0.9得φ2=26°,tanφ2=0.487。利用式(4.74)可得所以例4.35（二）一個含有LC元件的無源諧振電路，接入正弦交流電源時，電路可能出現(xiàn)諧振（resonance）。諧振可作為信號源振蕩器，電視和收音機的選頻電路。4.14

諧振電路諧振：接入正弦交流電源時，若端電壓與輸入電流同相位，電路呈現(xiàn)電阻性?；蛘f是端口輸入阻抗的虛部為零。4.14.1串聯(lián)諧振當滿足一定條件(對RLC串聯(lián)電路，使L=1/C)，電路呈純電阻性，端電壓、電流同相，電路的這種狀態(tài)稱為諧振。RjL+_諧振：一、諧振(resonance)的定義串聯(lián)諧振：二、使RLC串聯(lián)電路發(fā)生諧振的條件1.L、C

不變，改變w

。2.電源頻率不變，改變L或C(常改變C