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第6-3講布爾代數(shù)1.布爾代數(shù)2.原子3.Stone表示定理4.
課堂練習(xí)5.第6-3講作業(yè)11、布爾代數(shù)(1)定理1若a,b是布爾代數(shù)中任意兩個元素,則(a’)’=a;(ab)’=a’b’;(ab)’=a’b’定義1布爾格<A,>誘導(dǎo)的代數(shù)系統(tǒng)<A,,,’>叫布爾代數(shù)。證:(1)按定義,a與a’互補,所以a’的補元是a,即(a’)’=a。(2)可直接驗證ab的補元是(a’b’):(ab)(a’b’)=(aba’)(abb’)(分配律)=(1b)(a1)=11=1(ab)(a’b’)=(aa’b’)(ba’b’)=(0b’)(a’0)=00=0(3)可仿照(2)證21、布爾代數(shù)(2)定義3具有有限個元素的布爾代數(shù)叫有限布爾代數(shù)。定義2設(shè)<A,,,’>和<B,,,’>是兩個布爾代數(shù),如果存在雙射f:AB,對任意a,bA,有f(ab)=f(a)f(b)
f(ab)=f(a)f(b)f(a’)=f’(a)則稱<A,,,’>和<B,,,’>同構(gòu)。關(guān)于有限布爾代數(shù)有如下重要結(jié)論:對任一正整數(shù)n,必存在含有2n個元素的布爾代數(shù)。任一有限布爾代數(shù)的元素的個數(shù)必為2n,n為正整數(shù)。元素個數(shù)相同的布爾代數(shù)都是同構(gòu)的。32、原子
(1)定義4設(shè)格<A,>具有全下界0,如果元素a(0)A蓋住0,則稱a是原子。例如,右圖所示格中,元素d,e是原子。
顯然,如果a,b皆為原子,ab,則ab=0。為了證明上述關(guān)于有限布爾代數(shù)的結(jié)論,先引入原子的概念。42、原子
(2)定理2設(shè)有限格<A,>具有全下界0,若b0,則至少存在一個原子a,使得ab。
證:如果b本身為原子,因bb,命題得證。如果b不是原子,按蓋住的定義,必存在b1A,使0<b1<b,若b1為原子,命題得證。否則,必存在b1A,使0<b2<b1<b,因為A是有限集合,經(jīng)過上述有限的步驟之后,必可找到一個原子bi,使0<bi...<b2<b1<b證畢。53、Stone表示定理
(1)引理1在布爾格中,bc’=0當(dāng)且僅當(dāng)bc。證:如果bc’=0,則(bc’)c=0c=c(1)另一方面,(bc’)c=(bc)(c’c)=(bc)1=bc(2)由(1)、(2)式得
bc=c再根據(jù)格的性質(zhì)8可知bc。
反之,如果bc,則bc’cc’(格的保序性),即bc’0,因0是全下界,要上式成立,只能是bc’=0。63、Stone表示定理
(2)引理2設(shè)<A,,,’>是有限布爾代數(shù),若bA,且b0,又設(shè)a1,a2,…,ak是A中滿足ajb(j=1,2,…,k)的所有原子,則b=a1a2…ak,并且這種表示是唯一的。證:令c=a1a2…ak
因ajb(0jk),所以cb。下面證明bc。根據(jù)引理1,只須證bc’=0。用反證法,假設(shè)bc’0,根據(jù)定理2,存在原子a,使abc’。根據(jù)格的性質(zhì)8,bc’b,bc’c’。
再由傳遞性得:
ab,ac’。因a是原子,且ab,所以a{a1,a2,…,ak},故ac。由ac’和ac可得ac’c,從而a0,與a是原子矛盾。最后由cb和bc得:b=c=a1a2…ak。73、Stone表示定理
(3)引理2設(shè)<A,,,’>是有限布爾代數(shù),若bA且b0,又設(shè)a1,a2,…,ak是A中滿足ajb(j=1,2,…,k)的所有原子,則b=a1a2…ak,并且這種表示是唯一的。證(續(xù)):下面證明表示的唯一性。設(shè)b有另一表達式:b=aj1aj2…ajt,其中ajr(0rt)是原子。于是有
ajrb(0rt)因為已設(shè)a1,a2,…,ak是A中所有滿足ai
b的不同原子,所以tk。問題轉(zhuǎn)化為證明t=k。假設(shè)t<k,則至少存在一個aj0{a1,a2,…,ak},使得aj0ajx(0xt)。因aj0(aj1aj2…ajt)=aj0(a1a2…aj0…ak)即(aj0aj1)(aj0aj2)...(aj0ajt)=(aj0a1)(aj0a2)...(aj0aj0)...(aj0ak)亦即00...0=00...aj00...0那么得aj0=0,與aj0是原子相矛盾,故必有t=k。83、Stone表示定理
(4)引理3設(shè)<A,>是布爾格,a為原子,b0,則ab和ab’二式有且僅有一個成立。證:因aba,若a為原子,b也是原子,則ab=0。即a(b’)’=0,根據(jù)引理1,ab’。
如b不是原子,則ab=a,根據(jù)格的性質(zhì)8,ab。下面證明二式僅有一個成立。假設(shè)ab和ab’同時成立,則abb’,即a=0,與a是原子矛盾。
93、Stone表示定理
(5)定理3(Stone表示定理)設(shè)<A,,,’>是有限布爾格<A,>所誘導(dǎo)的有限布爾代數(shù),S是<A,>中所有原子的集合,則<A,,,’>和<(S),,,~>同構(gòu)。證明線索:(1)作映射f:A(S),當(dāng)a=0時,f(a)=;當(dāng)a0時,f(a)=Si,Si表示所有滿足xa的原子x的集合。然后證明f是雙射。(2)證明f是同構(gòu)映射:f(ab)=f(a)f(b)f(ab)=f(a)f(b)f(a’)=f’(a)103、Stone表示定理
(6)定理3的推論:推論1有限布爾格的元素的個數(shù)必等于2n,其中n是布爾格中所有原子的個數(shù)。(這是因為|A|=|(S)|=2|S|)推論2元素的個數(shù)相同的有限布爾代數(shù)是同構(gòu)的。(這是因為任何有限布爾代數(shù)都與它的原子集合構(gòu)成的冪集代數(shù)<(S),,,~>同構(gòu)。)
問題:四個元素的鏈?zhǔn)遣紶柎鷶?shù)嗎?答:不是布爾代數(shù)。因為鏈的中間兩個元素沒有補元,鏈僅僅是分配格,不是有補格。114、課堂練習(xí)練習(xí)1設(shè)<S,,,’>是布爾
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