復(fù)變函數(shù)的積分上課用

第三章復(fù)變函數(shù)的積分本章介紹復(fù)變函數(shù)的積分概念，解析函數(shù)積分的主要性質(zhì).重點(diǎn)是Cauchy積分定理、Cauchy積分公式、Cauchy(高階)導(dǎo)數(shù)公式.1§3.1復(fù)變函數(shù)的積分1積分的概念2積分存在條件及性質(zhì)3積分實(shí)例21.積分的概念

設(shè)C為平面上給定的一條連續(xù)曲線,如果選定C的兩個可能方向中的一個作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線。如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,關(guān)于實(shí)變函數(shù)積分定義.3

簡單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P沿此方向前進(jìn)時,鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.

與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:以后把兩個端點(diǎn)中的一個作為起點(diǎn),另一個作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.4((56關(guān)于積分定義的說明:72.積分存在的條件及積分性質(zhì)8從形式上可以看成是公式9復(fù)變函數(shù)的積分與實(shí)函數(shù)的積分有類似的性質(zhì).估值不等式10例1解因此113.積分的計算參數(shù)方程求法12例2解積分路徑的參數(shù)方程為13例3解積分路徑的參數(shù)方程為14重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心、半徑無關(guān).15例4解直線方程為16解例5(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x17(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x18y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為19注意1注意220§3.2

Cauchy積分定理1.Cauchy積分定理2.復(fù)合閉路定理3.典型例題211.Cauchy積分定理首先介紹高等數(shù)學(xué)中的Green定理:22柯西積分定理說明：該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。23試著證明

Cauchy積分定理:由Green公式24改進(jìn)的Green定理:1825年Cauchy建立該定理時，對u,v加了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件；Gaursat

去掉了導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的假設(shè)。25Cauchy積分定理的證明:由改進(jìn)的Green公式26注意2

若曲線C是區(qū)域D的邊界,注意1

定理中的C可以不是簡單曲線.27

注意3

定理的條件必須是“單連通區(qū)域”.注意4

定理不能反過來用.28解例1根據(jù)Cauchy積分定理,有29例2解根據(jù)Cauchy積分定理得30312.復(fù)合閉路定理那末32證明A1A2A3A4C1C2EFGIH33A1A2A3A4C1C2EFGIH34當(dāng)n為其它值時，可同樣證明。35特殊情況：閉路變形原理由復(fù)合閉路原理這就是閉路變形原理36解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).說明：373.典型例題例1解依題意知,38根據(jù)復(fù)合閉路原理,39例2解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合原理,40例3解41故這一結(jié)果很重要。42§3.3Cauchy積分公式

1問題的提出2柯西積分公式3高階導(dǎo)數(shù)公式4典型例題431.問題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個值.44452.Cauchy積分公式Cauchy積分公式對于f(z),若C圍成的點(diǎn)集為多連通域,則成立否?把C換成該多連通域的內(nèi)外邊界,上式也成立.z046例1解由Cauchy積分公式47例2解由Cauchy積分公式48關(guān)于Cauchy積分公式的說明:把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.（這是解析函數(shù)的一個重要特征）(2)公式不但提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)493.高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.50例3解51524.典型例題例4解由Cauchy積分公式53例5解根據(jù)Cauchy積分公式知,54例6解55例6解56由復(fù)合閉路定理,得例6解57例7解58根據(jù)復(fù)合閉路原理59于是60例8解由Cauchy積分定理得由Cauchy積分公式得6162例4解63根據(jù)復(fù)合閉路原理和高階導(dǎo)數(shù)公式,6465§3.4解析函數(shù)的原函數(shù)1原函數(shù)的概念2積分公式661.原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系:67那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:證68根據(jù)Cauchy積分定理，可以得到由此結(jié)論可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),即：6970(證明略,下面要用到)712.Newton-Leibniz公式說明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類似的方法去計算.72證根據(jù)Cauchy積分定理,73例1解例2解74例3解75例4解利用分部積分法可得76

本章主要內(nèi)容有向曲線復(fù)積分積分存在的條件及計算積分的性質(zhì)Cauchy積分定理原函數(shù)的概念復(fù)合閉路定理Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式積分公式及計算77注意1.復(fù)積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式;

3.復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計算.78第三章完習(xí)題:P99:1,2,5,6;7,9,18,22,30(3),3179練習(xí)：80解當(dāng)時,解答81利用柯西積分公式82因此由柯西積分公式得83841793.7.14生于諾丁漢，1841.5.31卒于劍橋G.Green(格林)簡介

童年在父親的磨坊干活；同時自修數(shù)學(xué)、物理；32歲，出版了小冊子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)中的應(yīng)用》，其中有著名的Green公式。父親去世后，1833年以自費(fèi)生的身份進(jìn)入劍橋大學(xué)科尼斯學(xué)院學(xué)習(xí)，1837年獲學(xué)士學(xué)位，1839年聘為劍橋大學(xué)教授。在數(shù)學(xué)物理方面有出色成就。他是第一個沿歐洲大陸的研究方法前進(jìn)英國數(shù)學(xué)家，其工作開創(chuàng)了龐大的劍橋物理學(xué)派。Stokes,Thomson,Maxwell等851642.12.25生于伍爾索普，I.Newton簡介

1661年進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，自己研究Descartes,Copernicus,Kepler,Galileo,Barrow等的著作。1665年劍橋鬧鼠疫回鄉(xiāng)兩年，微積分、萬有引力、光譜分析等發(fā)明都萌芽于此。1667年獲碩士學(xué)位，1669年接替Barrow擔(dān)任教授。1671年發(fā)布“流數(shù)術(shù)”小冊子，1687年出版《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》等著作，1703年皇家學(xué)會會長，1705年授予爵士稱號；晚年研究神學(xué)，1727.3.20去世。861646.7.1生于萊比錫；G.W.Leibniz簡介

1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)法律；1663年《論個體原則方面的形而上學(xué)爭論》獲學(xué)士學(xué)位；1664年《論法