幕指對函數(shù)模型增長的差異性

幕指對函數(shù)模型增長的差異性第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日問題提出

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性如何？

2.利用這三類函數(shù)模型解決實(shí)際問題，其增長速度是有差異的，我們怎樣認(rèn)識這種差異呢？第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日探究（一）：特殊冪、指、對函數(shù)模型的差異

對于函數(shù)模型：y=2x,y=x2,y=log2x,

其中x>0.思考1:觀察三個(gè)函數(shù)的自變量與函數(shù)值對應(yīng)表,這三個(gè)函數(shù)增長的快慢情況如何？

第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日xY=2xY=x21.1490.61.01.80.041.5160.36Y=log2x-2.322212.64.84910.5666.06311.5686.761.962.21.40.22.6393.4824.5953.43.243.01.766-0.73700.4850.8481.1381.3791.585第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyo1124y=2xy=x2y=log2x都是增函數(shù)但增長速度不同第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日x012345678y=2x1248163264128256y=x201491625364964思考2:對于函數(shù)模型y=2x和y=x2，觀察下列自變量與函數(shù)值對應(yīng)表：

當(dāng)x>0時(shí)，你估計(jì)函數(shù)y=2x和y=x2的圖象共有幾個(gè)交點(diǎn)？第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考:根據(jù)圖象，不等式log2x<2x<x2和log2x<x2<2x成立的x的取值范圍分別如何？思考:上述不等式表明，這三個(gè)函數(shù)模型增長的快慢情況如何？xyo1124y=2xy=x2y=log2x第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日

11.10E+12xY=2xY=x20102016009001004001.05E+06102401.15E13E+1525001.07E+0930 40506070 1.18E+21第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日

隨著X的增大，函數(shù)Y=X2與函數(shù)Y=2X的增長速度相比較，幾乎微不足道，所謂“指數(shù)爆炸”，真是名副其實(shí)；而Y=log2X增長速度越來越慢，最后圖像幾乎與X軸平行。由教材P100圖3.2-6及上表可知：第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日探究（二）：一般冪、指、對函數(shù)模型的差異思考1:對任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:當(dāng)a>1，n>0時(shí)，在區(qū)間(0,+∞)上,ax與xn的大小關(guān)系應(yīng)如何闡述？第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考3:隨著x的增大,ax增長速度的快慢程度如何變化?xn增長速度的快慢程度如何變化？思考4:當(dāng)x充分大時(shí),ax(a>1)與xn(n>0)誰的增長速度相對較快？ax越來越快，xn增長速度可能越快或越慢ax的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于xn的增長速度第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考5:一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長的快慢情況是如何變化的？

一般地，在區(qū)間（0,+∞）上，無論n比a大多少，盡管在x一定的變化范圍內(nèi)，ax

會小于xn

但由于ax的增長速度快于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有ax>xn第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考4:對任意給定的a>1和n>0，在區(qū)間(0,+∞)上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?（圖）思考5:隨著x的增大,logax增長速度的快慢程度如何變化?xn增長速度的快慢程度如何變化？思考6:當(dāng)x充分大時(shí),logax(a>1)與xn(n>0)誰的增長速度相對較快？第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考7:一般地，對數(shù)函數(shù)=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)在區(qū)間(0,+∞)上，其增長的快慢情況如何是如何變化的？xyo1y=logaxy=xn第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日一般地，在區(qū)間（0,+∞）上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸與x軸平行，盡管在x一定的變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn

但由于logax的增長速度慢于xn的增長，因此總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí)，就會有l(wèi)ogax

<xn第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日小結(jié)：對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，隨著X的增大，指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于冪函數(shù)的增長速度，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于冪函數(shù)的增長速度。即總存在一個(gè)x0，使x>x0時(shí)，

ax,logax,xn三者的大小為

ax>xn>logax,第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日思考9:

指數(shù)函數(shù)y=ax

(0<a<1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(0<a<1)和冪函數(shù)y=xn(n<0),在區(qū)間(0,+∞)上衰減的快慢情況如何？隨著X的增大，對數(shù)函數(shù)的衰減速度越來越快，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于指數(shù)函數(shù)的衰減速度，冪函數(shù)的衰減速度越來越慢，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于指數(shù)函數(shù)的衰減速度，即必有：當(dāng)x>x0時(shí),,xn>

ax

>logax第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日xyo1y=axy=xny=logaX

第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日理論遷移

例在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度y(°C)隨著時(shí)間t(分鐘)的變化情況，由微機(jī)處理后顯示出如下圖象，下面的哪些說法是正確的？yot5101、前4分鐘溫度增加的速度越來越快2、前4分鐘溫度增加的速度越來越慢3、4分鐘后溫度保持勻速增加。4、4分鐘后溫度保持不變。2與4對第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日對于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)，對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，隨著X的增大，