平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法

平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)法第一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日目錄基本概念A(yù)RMA模型建模流程第二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)時(shí)間序列：設(shè)時(shí)間序列來自一個(gè)隨機(jī)過程，如果此隨機(jī)過程的隨機(jī)特征不隨時(shí)間變化，則我們稱過程是平穩(wěn)的。實(shí)際應(yīng)用中一般要求平穩(wěn)性為“寬平穩(wěn)”。基本概念第三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日寬平穩(wěn)：基本概念第四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日如果時(shí)間序列式平穩(wěn)的，我們就可以用具有確定參數(shù)方程將時(shí)間序列模型化。并且利用以往的序列對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。ARMA模型是一個(gè)研究平穩(wěn)時(shí)間序列的模型基本概念第五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲序列：序列由獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量構(gòu)成。對(duì)所有都有基本概念第六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日白噪聲序列式最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列，在不同點(diǎn)上的協(xié)方差為0。該特性稱之為“無(wú)記憶性”，意味著人們無(wú)法根據(jù)其過去的特點(diǎn)推斷其未來的特點(diǎn)，其變化沒有規(guī)律可循。在時(shí)間序列的分析中，當(dāng)模型的殘差序列為白噪聲序列時(shí)，可認(rèn)為模型達(dá)到了較好的效果，剩余的殘差中已沒有可提取的信息?；靖拍畹谄唔?yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)①自相關(guān)函數(shù)過程的第j階自相關(guān)系數(shù)即，自相關(guān)函數(shù)記為ACF(j)。基本概念第八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日②偏自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)系數(shù)度量了消除中間滯后項(xiàng)影響后兩滯后變量之間的相關(guān)關(guān)系。偏自相關(guān)函數(shù)記為PACF(j)基本概念第九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日③自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的聯(lián)系2階以上的偏自相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式較為復(fù)雜，這里不再給出。可自行查閱相關(guān)書籍。基本概念第十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日ARMA模型自回歸移動(dòng)平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡(jiǎn)記為ARMA模型），由因變量對(duì)它的滯后值以及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動(dòng)平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動(dòng)平均過程（ARMA）。ARMA模型第十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日AR（p）模型自回歸（AR）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日MA（q）模型移動(dòng)平均（MA）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日ARMA（p,q）模型將AR模型與MA模型連起來：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日AR、MA模型的相互轉(zhuǎn)化結(jié)論一：平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)MA(∞)過程，可采用遞歸迭代法完成轉(zhuǎn)化結(jié)論二：特征方程根都落在單位圓外的MA(q)過程具有可逆性平穩(wěn)性和可逆性的概念在數(shù)學(xué)語(yǔ)言上是完全等價(jià)的，所不同的是，前者是對(duì)AR過程而言的，而后者是對(duì)MA過程而言的。ARMA模型第十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日以上三個(gè)模型都要滿足一下條件：第一，平穩(wěn)性。序列時(shí)平穩(wěn)的。第二，殘差符合白噪聲。第三，AR的平穩(wěn)與MA的可逆ARMA模型第十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日ARIMA模型將ARMA模型推廣到非平穩(wěn)的序列，就是ARIMA模型。非平穩(wěn)的序列通過若干次處理，如：取對(duì)數(shù)，差分等可化為平穩(wěn)的序列。經(jīng)過d階差分后得到平穩(wěn)序列的ARMA(p,q)模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型ARMA模型第十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日ARIMA的建模流程圖：建模流程原始序列周期帶周期成分不帶周期成分平穩(wěn)差分白噪聲結(jié)束ARMA模型第十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日周期性檢驗(yàn)：譜分析譜分析方法把時(shí)間序列看成是由多種不同頻率的規(guī)則波（正弦波或余弦波）迭加而成。在頻率域上比較不同頻率波的方差大小，從而找出波動(dòng)的主要周期。對(duì)某一時(shí)間序列的譜分析，有兩種方法：

一是功率譜分析，

二是最大熵譜分析。建模流程第十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日功率譜分析在時(shí)域中,如果假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)間函數(shù)自相關(guān)系數(shù)為

則功率譜與自相關(guān)系數(shù)

通過傅里葉變換可建立如下關(guān)系：建模流程第二十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日功率譜估計(jì)法第一步，計(jì)算樣本自相關(guān)系數(shù)：建模流程第二十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日功率譜估計(jì)法第二步，計(jì)算功率譜：建模流程第二十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日的最大值即為主要周期。功率譜在分析時(shí)間序列的周期時(shí)存在如下問題：(1)功率譜不能兼顧高頻和低頻段的需要;(2)某些短周期振動(dòng)易在一些周期長(zhǎng)度為它們整數(shù)倍的長(zhǎng)周期中表現(xiàn)出來,又混在長(zhǎng)周期中;(3)所取樣本較短時(shí),不利于譜的分辯,可能得出的周期與實(shí)際有偏離。建模流程第二十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日SPSS中的功率譜分析：觀察譜周期圖；做Fisher峰值檢驗(yàn)；有效的峰值處就是周期；建模流程第二十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日平穩(wěn)性檢驗(yàn)一般地，以時(shí)間序列數(shù)據(jù)為依據(jù)的實(shí)證研究工作都必須假定有關(guān)的時(shí)間序列時(shí)平穩(wěn)的，否則回導(dǎo)致謬誤回歸問題的出現(xiàn)。先給出兩種非平穩(wěn)序列現(xiàn)象：d階單整和協(xié)整，這兩類非平穩(wěn)序列經(jīng)過變換可以達(dá)到平穩(wěn)。建模流程第二十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日d階單整：是指非平穩(wěn)序列經(jīng)過d階差分后可以達(dá)到平穩(wěn)。協(xié)整：若兩個(gè)或多個(gè)非平穩(wěn)的變量序列，其線性組合后的序列呈平穩(wěn)，則稱這些序列見有協(xié)整關(guān)系。建模流程第二十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日先來看一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)過程：

為白噪聲序列可以看出：期望是常數(shù)，方差卻隨時(shí)間變化，是非平穩(wěn)過程。建模流程第二十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日單位根過程：其中，是一個(gè)平穩(wěn)過程，且

，可見，隨機(jī)游動(dòng)過程是單位根過程的一個(gè)特例。建模流程第二十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日單位根檢驗(yàn)：目前使用比較廣泛的是Dickey-FullerTest（DF檢驗(yàn)）是Dickey和Fuller在20世紀(jì)70年代到20世紀(jì)80年代的一系列文章中建立起來的。他是基于參數(shù)的最小二乘估計(jì)，在單位根過程中，有給定樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，易操作，可應(yīng)用于多種不同形式。建模流程第二十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日單位根檢驗(yàn)：1987年Engle提出了ADF(AugmentedDickey-Fuller)檢驗(yàn)以修正DF檢驗(yàn)中自相關(guān)問題，并指出具有高階自相關(guān)的序列應(yīng)用ADF檢驗(yàn)。ADF檢驗(yàn)方法加入了漂移項(xiàng)與實(shí)踐趨勢(shì)項(xiàng)，更具科學(xué)性。建模流程第三十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日DF檢驗(yàn)的假設(shè)：假設(shè)模型·樣本觀測(cè)值來自模型因此，在原假設(shè)成立時(shí)，服從一個(gè)隨機(jī)游動(dòng)過程；在備擇假設(shè)成立時(shí)，服從一個(gè)平穩(wěn)的一階自回歸模型。建模流程第三十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日在原假設(shè)成立的條件下，參數(shù)

的最小二乘估計(jì)為：T為樣本容量。建模流程第三十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日接下來構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：和其中建模流程第三十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于上述兩種檢驗(yàn)Dickey和Fuller分別給出了檢驗(yàn)的臨界值，對(duì)于給定的樣本容量T和顯著性水平α，將樣本觀察值帶入兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，和臨界值對(duì)比，如果統(tǒng)計(jì)量大于臨界值，則拒絕原假設(shè)即認(rèn)為服從平穩(wěn)的一階自回歸模型。建模流程第三十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日利用Eviews做單位根檢驗(yàn)：建模流程第三十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日前面通過周期性檢驗(yàn)確定周期，通過單位根檢驗(yàn)判斷序列是否平穩(wěn)。對(duì)平穩(wěn)的序列畫出ACF和PACF圖，判斷是不是白噪聲。如果不是白噪聲序列，則根據(jù)ACF和PACF圖嘗試給ARMA模型進(jìn)行初步定階。建模流程第三十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日自相關(guān)圖與偏自相關(guān)圖：根據(jù)自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)畫成的圖，可以簡(jiǎn)單直觀的從圖中讀出粗略信息。下面介紹幾種序列的大致圖形。建模流程第三十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程第三十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程第三十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程第四十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程第四十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程第四十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程平穩(wěn)的時(shí)間序列其自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖應(yīng)該很快的落入95%的置信區(qū)間。第四十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程拖尾與結(jié)尾：首先拖尾與結(jié)尾都是針對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列。拖尾：是一種衰減的趨勢(shì)，很快落入?yún)^(qū)間內(nèi)，通常呈衰減的正弦波或指數(shù)形式。截尾：在某一階后突然變得很小。第四十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程模型理論上的ACF理論上的PACF白噪聲序列全為0全為0AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾（不截尾）拖尾（不截尾）第四十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程截尾性檢驗(yàn)：對(duì)于自相關(guān)系數(shù)對(duì)每一個(gè)時(shí)，計(jì)算，取

或，考察滿足或第四十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程如果時(shí)都明顯不為0，而

均近似于0，并滿足上述不等式相應(yīng)的比例，則可近似的判定是階截尾，平穩(wěn)的時(shí)間序列為MA(q)模型。第四十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程截尾性檢驗(yàn)：對(duì)于偏自相關(guān)系數(shù)類似地，可考察可近似判定為階截尾，平穩(wěn)的時(shí)間序列為AR(p)模型。第四十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程以上給出了兩種定階的方法，一種簡(jiǎn)便但偏主觀，一種復(fù)雜但較客觀。無(wú)論哪種定階方法都不是一蹴而就的，都需要反復(fù)的分析與嘗試。如：每做完一次模型的建立，都需要進(jìn)行殘差分析，看看殘差是否是白噪聲序列。如果不是，說明模型沒有提取完所有的序列信息。第四十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程利用信息準(zhǔn)則定階：信息準(zhǔn)則法在模型的選擇中起到很重要的作用，可以用于ARMA(p,q)模型的定階，實(shí)際上就是ARMA(p,q)模型的篩選。這里給出兩種準(zhǔn)則：AIC準(zhǔn)則和BIC準(zhǔn)則。第五十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程

第五十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程

第五十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日建模流程利用準(zhǔn)則的決策矩陣：從中選出AIC(p,q)最小的最為最終ARMA(p,q)模型MA(0)MA(1)……MA(q)AR(0)AIC(0,0)AIC(0,1)