D3-3函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

第三節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性第三章2023/2/4高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

定理2023/2/4高等數(shù)學(xué)證應(yīng)用拉氏定理,得2023/2/4高等數(shù)學(xué)例1解注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來(lái)判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來(lái)判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性．定理中的閉區(qū)間換成其它有限或無(wú)限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.2023/2/4高等數(shù)學(xué)單調(diào)區(qū)間求法問(wèn)題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)．定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．方法:2023/2/4高等數(shù)學(xué)例2.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)說(shuō)明:單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除駐點(diǎn)外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).例如,2)如果函數(shù)在某駐點(diǎn)兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào),

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)例3證注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性.例如,2023/2/4高等數(shù)學(xué)例4.

證明時(shí),成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)*證明令則從而即2023/2/4高等數(shù)學(xué)練習(xí)：習(xí)題3.3題3（1）（2），題4（1）2023/2/4高等數(shù)學(xué)2-0+單調(diào)減少單調(diào)增加列表如下：2023/2/4高等數(shù)學(xué)2023/2/4高等數(shù)學(xué)曲線凹凸與拐點(diǎn)問(wèn)題:如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方2023/2/4高等數(shù)學(xué)曲線凹凸的判定定理3.3.22023/2/4高等數(shù)學(xué)定義2023/2/4高等數(shù)學(xué)例5.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說(shuō)明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得拐點(diǎn)的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號(hào),則點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)例6.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)例7解2023/2/4高等數(shù)學(xué)例8.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)思考與練習(xí)上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè)P953(3),(4);4(2);6

(3)

;

;第五節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)有位于一直線的三個(gè)拐點(diǎn).1.求證曲線證明：備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)令得從而三個(gè)拐點(diǎn)為因?yàn)樗匀齻€(gè)拐點(diǎn)共線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/2/4高等數(shù)學(xué)證明:當(dāng)時(shí)，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.機(jī)動(dòng)