ch3期望效用理論

第三講期望效用理論學(xué)習(xí)要點1.風(fēng)險資產(chǎn)的選擇標(biāo)準(zhǔn)2.VNM期望效用函數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用3.VNM期望效用函數(shù)的問題及推廣風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)奈特(Knight.F)《風(fēng)險、不確定性和利潤》中關(guān)于風(fēng)險和不確定性的解釋：不確定性是指發(fā)生結(jié)果尚未不知的所有情形，也即那些決策的結(jié)果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后決策者才知道其決策結(jié)果的一類問題。即知道未來世界的可能狀態(tài)(結(jié)果)，但對于每一種狀態(tài)發(fā)生的概率不清楚。風(fēng)險是指那些涉及已知概率或可能性形式出現(xiàn)的隨機問題，但排除了未數(shù)量化的不確定性問題。即對于未來可能發(fā)生的所有事件，以及每一事件發(fā)生的概率有準(zhǔn)確的認(rèn)識。但對于哪一種事件會發(fā)生卻事先一無所知。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)由于對有些事件的客觀概率難以得到，人們在實際中常常根據(jù)主觀概率或者設(shè)定一個概率分布來推測未來的結(jié)果發(fā)生的可能性，因此學(xué)術(shù)界常常把具有主觀概率或設(shè)定概率分布的不同結(jié)果的事件和具有客觀概率的不同結(jié)果的事件同時視為風(fēng)險。風(fēng)險與不確定性有區(qū)別，但在操作上引入主觀概率或設(shè)定概率分布的概念后二者的界線就模糊了，幾乎成為一個等同概念。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)一個人面臨不確定結(jié)果做決策時，可以概念化為一個隨機變量。隨機變量的均值、標(biāo)準(zhǔn)差等統(tǒng)計概念也會用于決策過程。隨機變量是能用數(shù)字準(zhǔn)確記錄下隨機事件的不同結(jié)果的變量，表示隨機變量取不同值時的概率的函數(shù)f(x)稱為隨機變量的概率密度函數(shù)。隨機變量的期望記為E(x)。若x是有n種結(jié)果的離散變量，則E(x)=∑ni=1xif(xi)

；若x是連續(xù)變量則E(x)=∫∞-∞xf(x)dx。，若x是有n種結(jié)果的離散變量，則var(x)=∑ni=1[xi-E(x)]2

f(xi)

；若x是連續(xù)變量，則var(x)=∫∞-∞[xi-E(x)]2f(x)dx。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)概率論知識回顧：若離散型隨機變量X的概率分布為P(X

i)=πi，i=1,2,...,n，則隨機變量X的期望值為E(X)=π1X1+π2X2+???+πnXn隨機變量X的方差為σ2(X)=π1[X1?E(X)]2+π2[X2?E(X)]2+???+πn[Xn?E(X)]2變量X的標(biāo)準(zhǔn)差為σ(X)=[σ2(X)]1/2風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮三種資產(chǎn)，時期0的投資成本均為1000元，時期1的收益取決于狀態(tài)的好壞，好狀態(tài)和壞狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為1/2。時期0投資成本時期1投資收益πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)1-100012001050資產(chǎn)2-10001600500資產(chǎn)3-100016001050資產(chǎn)3無論在何種狀態(tài)下收益都大于等于資產(chǎn)1和資產(chǎn)2，資產(chǎn)3狀態(tài)占優(yōu)于(state-by-statedominance)資產(chǎn)1和資產(chǎn)2。理性投資者會選擇資產(chǎn)3而不會選擇資產(chǎn)1和資產(chǎn)。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)如果不存在資產(chǎn)3，投資者在資產(chǎn)1和資產(chǎn)2間該如何選擇？在好狀態(tài)出現(xiàn)時資產(chǎn)2的收益高于資產(chǎn)1；在壞狀態(tài)出現(xiàn)時資產(chǎn)2的損失高于資產(chǎn)1。根據(jù)投資收益/損失的絕對量大小，投資者無法在資產(chǎn)1和資產(chǎn)2間做出選擇。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)計算資產(chǎn)收益率有助于投資決策，三種資產(chǎn)投資收益率比較時期1投資收益率πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)120%5%資產(chǎn)260%-50%資產(chǎn)360%5%風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)資產(chǎn)1的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R1)=(1/2)20+(1/2)5=12.5σ(R1)=[(1/2)(20?12.5)2+(1/2)(5?12.5)2]1/2=7.5資產(chǎn)2的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R2)=(1/2)60+(1/2)(?50)=5σ(R2)=[(1/2)(60?5)2+(1/2)(?50?5)2]1/2=55資產(chǎn)3的期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差E(R3)=(1/2)60+(1/2)5=32.5σ(R3)=[(1/2)(60?32.5)2+(1/2)(5?32.5)2]1/2=27.5風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)三種資產(chǎn)期望收益率與標(biāo)準(zhǔn)差比較時期1投資收益率E(R)σ(R)πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)120%5%12.57.5資產(chǎn)260%-50%555資產(chǎn)360%5%32.527.5與資產(chǎn)2相比，資產(chǎn)1的期望收益率更高而標(biāo)準(zhǔn)差更小，資產(chǎn)1均值-方差占優(yōu)(mean-variancedominance)于資產(chǎn)2。另外，資產(chǎn)3均值-方差占優(yōu)于資產(chǎn)2。在資產(chǎn)1與資產(chǎn)3間無法根據(jù)期望收益率和標(biāo)準(zhǔn)差做出選擇，不過，資產(chǎn)3狀態(tài)占優(yōu)于資產(chǎn)1。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮另外兩種資產(chǎn)時期1投資收益率E(R)σ(R)πg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)45%3%41資產(chǎn)58%2%53資產(chǎn)4和資產(chǎn)5之間不存在均值-方差占優(yōu)。在這種情形下，WilliamSharpe建議采用夏普比率[Sharperatios=E(R)/σ(R)]比較兩種資產(chǎn)的優(yōu)劣。風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)考慮另外兩種資產(chǎn)時期1投資收益率E(R)σ(R)E/σπg(shù)oodstate=0.5πbadstate=0.5資產(chǎn)45%3%414資產(chǎn)58%2%531.67資產(chǎn)之間不存在均值-方差占優(yōu)時，夏普比率可用于比較兩種資產(chǎn)的優(yōu)劣。資產(chǎn)4夏普比率高于資產(chǎn)5，資產(chǎn)4優(yōu)于資產(chǎn)5風(fēng)險資產(chǎn)選擇標(biāo)準(zhǔn)CriteriaforChoiceOverRiskyProspects1.State-by-statedominanceisthemostrobustcriterion,butoftencannotbeapplied.2.Mean-variancedominanceismorewidely-applicable,butcansometimesbemisleadingandcannotalwaysbeapplied.3.TheSharperatiocanalwaysbeapplied,butrequiresaveryspecificassumptionaboutconsumerattitudestowardsrisk.Weneedamorecarefulandcomprehensiveapproachtocomparingrandomcashflows.不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價格均為100元的股票，如果兩只股票的未來價格在各個狀態(tài)下都相同，投資哪只股票對投資者而言是無差異的。時期0股票價格時期1股票價格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100120100不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價格均為100元的股票，如果股票2的未來價格在各個狀態(tài)下都高于股票1(狀態(tài)占優(yōu))，投資者通常選擇的是股票2。時期0股票價格時期1股票價格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-100250105不確定性下的理性決策原則投資者考慮買進(jìn)兩只當(dāng)期價格均為100元的股票，如果股票2的未來價格在好狀態(tài)時高于股票1而在壞狀態(tài)時低于股票1，投資者應(yīng)該選擇哪只股票？時期0股票價格時期1股票價格pπg(shù)oodstate=ππbadstate=1-π股票1-100120100股票2-10013090如果好狀態(tài)出現(xiàn)的概率大，投資者一般選擇股票2；如果壞狀態(tài)出現(xiàn)的概率大，投資者一般選擇股票1不確定性下的理性決策原則

好狀態(tài)出現(xiàn)概率π的大小影響著股票的期望價格E(p)=πpg+(1?π)pb期望值最大化標(biāo)準(zhǔn)是不確定性下投資決策的一個重要原則。期望值標(biāo)準(zhǔn)最先由法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家布萊士·帕斯卡提出。BlaisePascal(France,1623-1662)不確定性下的理性決策原則數(shù)學(xué)期望收益最大化準(zhǔn)則是指使用不確定性下各種可能行為結(jié)果的預(yù)期值比較各種行動方案優(yōu)劣。這一準(zhǔn)則有其合理性，它可以對各種行為方案進(jìn)行準(zhǔn)確的優(yōu)劣比較，同時這一準(zhǔn)則還是收益最大準(zhǔn)則在不確定情形下的推廣。問題：是否數(shù)學(xué)期望最大化準(zhǔn)則是一最優(yōu)的不確定性下的行為決策準(zhǔn)則？不確定性下的理性決策原則考慮一個投幣游戲，如果第一次出現(xiàn)正面的結(jié)果，可以得到1元；第一次反面，第二次正面得2元；前兩次反面，第三次正面得4元；……；如果前n-1次都是反面，第n次出現(xiàn)正面得2n-1元。問：游戲的參加應(yīng)先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？不確定性下的理性決策原則該游戲的數(shù)學(xué)期望值：E(.)=1×1/2+2×1/4+???+2n-1×1/2n=∞但實驗的結(jié)果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本(門票)僅為2-3元。圣彼德堡悖論(SaintPetersburyParadox)：面對無窮的數(shù)學(xué)期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價格？不確定性下的理性決策原則DanielBernoulli(1700-1782)是出生于瑞士名門的著名數(shù)學(xué)家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學(xué)院研究投幣游戲。其在1738年發(fā)表《對機遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風(fēng)險度量新理論”。貝努利指出人們在投資決策時不是用“錢的數(shù)學(xué)期望”來作為決策準(zhǔn)則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關(guān)。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。不確定性下的理性決策原則人們關(guān)心的是最終財富的效用而不是財富的價值量，而且財富增加所帶來的邊際效用(貨幣的邊際效用)是遞減的。伯努利選擇的道德期望函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即對投幣游戲的期望值的計算應(yīng)為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計算：其中α>0為一個確定值。不確定性下的理性決策原則Crammer(1728)采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進(jìn)行了分析。假定u(x)=x1/2，則不確定性下的理性決策原則因此，期望收益最大化準(zhǔn)則在不確定情形下可能導(dǎo)致不可接受的結(jié)果。而貝努利提出的用期望效用標(biāo)準(zhǔn)取代期望收益的方案，可能為不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據(jù)期望效用標(biāo)準(zhǔn)，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。VNM期望效用函數(shù)期望效用理論是不確定性選擇理論中最為重要的價值判斷標(biāo)準(zhǔn)。期望效用函數(shù)作為對不確定性條件下經(jīng)濟主體決策者偏好結(jié)構(gòu)的刻畫，具有廣泛的用途。不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態(tài)本身的選擇或隨機變化。因此不確定下的選擇對象被人們稱為彩票(Lottery)。VNM期望效用函數(shù)簡單彩票(x,y,π)以π的概率提供收益x、以1?π的概率提供收益y。簡單博彩的另外一個表示方法L(x,π；y,1-π)。probabilityπprobability1?πxyVNM期望效用函數(shù)[x，y

；1]～x說明抽獎的概念同樣適合于確定性財富。某一確定的擁有x，相當(dāng)于抽獎的中簽率為100%，其價值為x。因此，確定商品空間是未定商品空間的一個子集。[x，y；

π]～[y，x

；1-π]則表明同樣一張抽獎有兩種表示形式。消費者不介意獎被描述的次序。VNM期望效用函數(shù)設(shè)想消費者參加一次抽獎(lottery)，所有可能產(chǎn)生的結(jié)果為C，假定C的結(jié)果是有限的，用i=1，???，N來標(biāo)示這些結(jié)果，每一結(jié)果發(fā)生的概率為(pi)i?N。這樣，可將該簡單抽獎記為：L(C1,???,CN;p1,???,pN),Ci?C，pi

≥0，∑pi=1VNM期望效用函數(shù)比簡單彩票更為復(fù)雜的是復(fù)合彩票(compoundlottery)，其抽獎結(jié)果是眾多的簡單抽獎。復(fù)合抽獎(x,(y,z,τ),π)的結(jié)局是以π的概率提供支付x、以1-π的概率提供抽獎(y,z,τ).π1?πxyτ1-τzVNM期望效用函數(shù)[

[x，y；p2]，y；p1]～[x，y；p1p2]是復(fù)合抽獎原理的體現(xiàn)，它說明經(jīng)濟主體只關(guān)心抽獎結(jié)果最終的概率分布，而不在乎抽獎(彩票)的構(gòu)成形式。p11-p1p21-p2yyx

p1p21-p1p2x

yVNM期望效用函數(shù)一個結(jié)果多于兩種的簡單彩票[x

,y,z

;π,(1?π)τ，(1?π)(1-τ)]可以用一個只有兩種結(jié)果的復(fù)合彩票[x

,

[y，z；τ]

；π]表示。π1?πxyτ1-τzπxyz(1?π)τ(1?π)(1-τ)VNM期望效用函數(shù)復(fù)合博彩可以表示為：L=pL1+(1-p)L2，其中：L1:(a1,p1;a2,p2;a3,p3)，L2:(a1,q1;a2,q2;a3,q3)由全概率公式，可以得到L=(a1,pp1+(1-p)q1;a2,pp2+(1-p)q2;a3,pp3+(1-p)q3)

任何一個復(fù)合博彩都可以轉(zhuǎn)換為一個簡單博彩。VNM期望效用函數(shù)在不確定性經(jīng)濟中，偏好關(guān)系建立在不同的概率分布之間。不確定條件下的偏好關(guān)系應(yīng)滿足以下三條行為公理：行為公理1：

理性選擇滿足的選擇完備性、反身性和傳遞性公理。行為公理2：獨立性公理行為公理3：阿基米德公理VNM期望效用函數(shù)(1)完備性(completeness):?x、y?

C，x

?

y、y?

x

和x

～

y

中有一種關(guān)系成立。完備性假定保證了消者具備選別判斷的能力。(2)自返性(reflexivity):?x

?

C則有x

?

x。自返性保證了消費者對同一商品的選好具有明顯的一貫性。(3)傳遞性(transitivity):?x、y、z?

C，x

?

y、y?z則有x

?

z。如果x

?

y、y?z則有x

?

z。傳遞性保證了消費者在不同商品之間選好的首尾一貫性。VNM期望效用函數(shù)(4)獨立性(Independence):對于所有的x，y，z?

C，λ?

(0，1)，x?y意味著λx+(1-λ)z?

λy+(1-λ)z。獨立性公理的含義是，在兩個隨機事件之外，同時引入一個額外的不確定的隨機事件或消費計劃不會改變經(jīng)濟行為主體原有的偏好。獨立性公理是不確定性條件下選擇理論的一個核心公理。它導(dǎo)致不確定條件下選擇理論同確定條件下偏好選擇理論的差別。VNM期望效用函數(shù)(4)如果偏好關(guān)系滿足對任意博彩L1，L2，L3,以及任意的p，0<p<1,如果L1?L2，那么必定有pL1+(1-p)L3?pL2+(1-p)L3，則稱偏好關(guān)系滿足獨立性公理。利用博彩L1，L2，L3構(gòu)造新博彩y1=pL1+(1-p)L3，y2=pL2+(1-p)L3。如果L1?L2，那么y1?y2在推導(dǎo)不確定條件下的決策理論中，獨立性公理起到很大作用。然而，理性決策者的偏好關(guān)系是否滿足獨立性公理，卻一直是一個有爭議的問題，如阿萊悖論不滿足獨立性公理。VNM期望效用函數(shù)(5)阿基米德公理(theArchimedeanaxiom):對于所有的x，y，z?

C，如果x?y?z，那么就會存在λ，μ

?

(0，1)，使得λx+

(1-λ)z?y?μx+(1-μ)z。含義：即使x非常好而z非常壞，總可以尋找他們的適當(dāng)組合，比任何一個中間狀態(tài)的y好或者壞。經(jīng)濟中不存在無限好或無限差的消費計劃。VNM期望效用函數(shù)定理：在集合C中，如果存在一種理性偏好關(guān)系滿足獨立性公理和阿基米德公理，那么就存在一個期望效用函數(shù)U(c)表示該偏好。其中期望效用函數(shù)U(c)對一件抽獎商品的期望效用表示為對抽獎結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。如果一個隨機變量c取ci時對應(yīng)的概率為pi，參與者確定得到的效用為u(ci)，那么該隨機變量給參與者帶來的效用表示為U(c)=E(u(ci))=∑pi?u(ci)VNM期望效用函數(shù)考慮包括現(xiàn)在和未來兩期的消費決策。令u0(c0)表示參與者現(xiàn)在這個時期消費的效用函數(shù)，由于不存在不確定性，u0(c0)是一個確定性的效用函數(shù)。未來的決策是帶概率的不確定性決策，未來消費帶來的期望效用函數(shù)為E(u1(ci))=∑pi?u1(ci)。假設(shè)一個時期得到的效用不依賴于另一個時期的消費，消費者的決策問題為maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi?u1(ci)VNM期望效用函數(shù)參與者期望效用函數(shù)為U(c)=u0(c0)+∑pi?u1(ci)，考慮兩個消費計劃消費計劃A：現(xiàn)在消費1單位，未來兩種狀態(tài)下都消費1單位；消費計劃B：現(xiàn)在消費1單位，未來兩種狀態(tài)是一種狀態(tài)消費3單位另一種狀態(tài)消費0單位。1111/21/21301/21/2消費計劃A消費計劃BVNM期望效用函數(shù)將vN-M效用函數(shù)U(z)=U(x,y,π)=πu(x)+(1?π)u(y)進(jìn)行仿射變換得到V(z)=αU(z)+β

v(x)=αu(x)+β和

v(y)=αu(y)+βV(x,y,π)=αU(x,y,π)+β

=α[πu(x)+(1?π)u(y)]+πβ+(1?π)β

=π[αu(x)+β]+(1?π)[αu(y)+β]

=πv(x)+(1?π)v(y).

這表明表示同一偏好關(guān)系的vNM效用函數(shù)不是唯一的。VNM期望效用函數(shù)假設(shè)一個時期得到的效用不依賴于另一個時期的消費，消費者的決策問題為maxU(c)=u0(c0)+E(u1(ci))=u0(c0)+∑pi?u1(ci)假設(shè)一個時期得到的效用依賴于另一個時期的消費，現(xiàn)在消費某種商品過多導(dǎo)致未來消費該商品的欲望下降，消費者的決策問題可表示為maxU(c)=u0(c0)+

ρE(u1(ci))=u0(c0)+

ρ∑pi?u1(ci)其中ρ為時間偏好系數(shù)VNM期望效用函數(shù)下面哪一個效用函數(shù)具有期望效用函數(shù)的性質(zhì)?A.u(c1,c2,π)=a[π?c1+(1-π)?c2]+b(a>0)B.u(c1,c2,π)=π?c1+(1-π)?c22C.u(c1,c2,π)=π?ln(c1)+(1-π)?ln(c2)+25參考答案：如果效用函數(shù)u(c1,c2,π)滿足u(c1,c2,π)=a[π?v(c1)+(1-π)?v(c2)]+b，就可以認(rèn)為u(c1,c2,π)具有期望效用函數(shù)的性質(zhì)。因此A是標(biāo)準(zhǔn)效用函數(shù)的仿射變換、B不具有期望效用函數(shù)性質(zhì)、C是標(biāo)準(zhǔn)的期望效用函數(shù)。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用一：最優(yōu)保險購買水平假設(shè)擁有初始財富是m的經(jīng)濟個體是風(fēng)險厭惡者，即u′(m)>0，u′′(m)<0。經(jīng)濟個體面臨著兩種自然狀態(tài)，在狀態(tài)1(不發(fā)生災(zāi)害)下的財富為y1=m，在狀態(tài)2(發(fā)生災(zāi)害)下的財富為y2=m-L，并且發(fā)生災(zāi)害的概率為p。保險公司可以為災(zāi)害提供保險，保費率為π。如果投保人預(yù)先交付保費πq，那么災(zāi)害發(fā)生時可以獲得保險賠款q。因此，如果個體購買保險，其期望收益為E(y)=(1-p)y1+py2=(1-p)(m-πq)

+p(m-L-πq+q)VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投保人的期望效用函數(shù)為E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)

?u(m-πq)

+p?u(m-L-πq+q)投保人的預(yù)算約束

不購買保險(m，m-L)

購買保險(m-πq，m-L-πq+q)預(yù)算約束線為y2=-(1-π)/π?(y1-m)+m-Ly2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投保人的最優(yōu)決策為maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)?(y1-m)+π?y2=(1-π)?m+π?

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用最優(yōu)投保水平q*滿足一階條件即由預(yù)算線和一階條件，可以得到最優(yōu)投保水平q*。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用思考1：如果經(jīng)濟個體是風(fēng)險偏好型的(u′′(m)>0)，且保費是公平的，那么他的最優(yōu)投保決策是什么？思考2：如果是風(fēng)險中性的(u′′(m)=0)，且保費是公平的，又會出現(xiàn)什么情況？提示：公平保費指使保險公司期望收入為零的保費。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用風(fēng)險偏好投保人的最優(yōu)決策為maxE[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)s.t.(1-π)?(y1-m)+π?y2=(1-π)?m+π?

(m-L)其中y1=m-πq，y2=m-L-πq+qy2y1mm-Lm-L-πq+qm-πqVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用max(1-p)u(m-πq)+pu(m-L-πq+q)一階導(dǎo)數(shù)-(1-p)πu′(m-πq)+p(1-π)u′(m-L-πq+q)二階導(dǎo)數(shù)-(1-p)π2u′′(m-πq)+p(1-π)2u′′(m-L-πq+q)>0二階導(dǎo)數(shù)恒大于零就意味者一階導(dǎo)數(shù)是單增的。對于公平保費，恒成立π=p

，把此式代入一階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，得到：(1-p)p[-u′(m-πq)+u′(m-L-πq+q)]特別的，取q=0時，上式小于零，這就意味著消費者增加投保只會降低其效用，所以消費者的最優(yōu)選擇是不投保，即q*=0，VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于風(fēng)險中性者，其效用函數(shù)為u(m)=m，所以他購買保險的期望效用為：E[u(y)]=(1-p)u(y1)+pu(y2)=(1-p)?(m-πq)+p?(m-L-πq+q)對于公平保費，π=p恒成立，把此式代入上式中，得：E[u(y)]=m-pL從而投保人的效用為常數(shù)，這就說明，無論投保人是否購買保險，以及購買多少，對他而言，是沒有區(qū)別的。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用應(yīng)用二：最優(yōu)風(fēng)險投資規(guī)模假設(shè)某風(fēng)險規(guī)避的投資者擁有w萬元的財富，

即其效用函數(shù)滿足u′(w)>0，u′′(w)<0。他打算在一種風(fēng)險資產(chǎn)上投資x萬元。這種資產(chǎn)在“好”的結(jié)果下的回報率是rgood，在“壞”的結(jié)果下的回報率是rbad，其中rgood>0，rbad<0。因此，投資者的財富在好和壞的結(jié)果中分別是：wgood=(w-x)+x(1+rgood)=w+xrgood

wbad=(w-x)+x(1+rbad)=w+xrbad假設(shè)好的結(jié)果發(fā)生的概率是π，壞的結(jié)果發(fā)生的概率是(1-

π)。那么投資者的最優(yōu)投資決策是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用投資x萬元風(fēng)險資產(chǎn)的期望效用為U(x)=πu(w+xrg)+(1-π)u(w+xrb)投資者要選擇使這個表達(dá)式最大化的x

，對x求導(dǎo)得：U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb對于x的二階導(dǎo)數(shù)是：

U′′(x)=πu′′(w+xrg)r2g+(1-π)u′′(w+xrb)r2b如果投資者是風(fēng)險規(guī)避者，那他的效用函數(shù)就是凹的，這意味著U′′(x)<

0。因此預(yù)期效用的二階導(dǎo)數(shù)一定為負(fù)，從而預(yù)期效用也是x的凹函數(shù)。特別的，取

x=0時，有：U′(x)=πu′(w)rg+(1-π)u′(w)rb=u′(w)

[πrg+(1-π)rb]VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用x=0時，U′(x)=

u′(w)

[πrg+(1-π)rb]當(dāng)πrg+(1-π)rb>0時，U′(0)>0。當(dāng)投資者在風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行一些投資時，會提高他的效用，所以他的最優(yōu)投資決策必然包含風(fēng)險投資，在這種情況下，令U′(x)=πu′(w+xrg)rg+(1-π)u′(w+xrb)rb=0即可解得最優(yōu)風(fēng)險投資數(shù)量x*。當(dāng)πrg+(1-π)rb<0時，U′(0)<0。當(dāng)投資者在風(fēng)險資產(chǎn)進(jìn)行一些投資時，會降低他的效用，所以他的最優(yōu)投資決策必然不包含風(fēng)險投資。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用思考：如果對投資者的風(fēng)險投資按照稅率t征稅，那么該投資者的最優(yōu)投資決策又是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果對投資者的風(fēng)險投資按照稅率t征稅，那么他的稅后報酬就是(1-t)rg和(1-t)rb

，因此，決定他最佳風(fēng)險投資x的一階條件將是：U′(x)=π?

u′(w+x(1-t)rg)?(1-t)rg+(1-π)?u′(w+x(1-t)rb)?

(1-t)rb=0化簡得π?u′(w+x(1-t)rg)rg+(1-π)?u′(w+x(1-t)rb)rb=0用

x*表示沒有稅收，即當(dāng)t=0時的最大化問題的解，用x表示有稅收時的最大化問題的解，令x=x*/(1-t)

π?u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rg)?rg+(1-π)?u′(w+[x*/(1-t)]

(1-t)rb)?rb=π?u′(w+x*rg)?rg+(1-π)?u′(w+x*rb)?rb=0x*是不征稅時的最優(yōu)解。征稅后，投資者在風(fēng)險資產(chǎn)上的投資會增加為征稅前的1/(1-t)

倍。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用進(jìn)一步思考：如果對投資者的風(fēng)險投資在取得收益率rgood時按照稅率t征稅，在取得收益率rbad時按照補貼率率s財政補貼，那么該投資者的最優(yōu)投資決策又是什么？VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用為加快上海具有全球影響力的科技創(chuàng)新中心建設(shè)，促進(jìn)“大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新”，引導(dǎo)社會資本加大對種子期、初創(chuàng)期科技型企業(yè)投入力度，上海市科學(xué)技術(shù)委員會會同財政局、發(fā)改委2015年12月制定了《上海市天使投資風(fēng)險補償管理暫行辦法》。風(fēng)險補償，是指對投資機構(gòu)投資種子期、初創(chuàng)期科技型企業(yè)，最終回收的轉(zhuǎn)讓收入與退出前累計投入該企業(yè)的投資額之間的差額部分，給予以一定比例的財務(wù)補償。上海市風(fēng)險補償?shù)臉?biāo)準(zhǔn)為對投資機構(gòu)投資種子期科技型企業(yè)項目所發(fā)生的投資損失，可按不超過實際投資損失的60%給予補償。對投資機構(gòu)投資初創(chuàng)期科技型企業(yè)項目所發(fā)生的投資損失，可按不超過實際投資損失的30%給予補償。每個投資項目的投資損失補償金額不超過300萬，單個投資機構(gòu)每年度獲得的投資損失補償金額不超過600萬元。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用補償金套取漏洞方案?先成立風(fēng)投公司A，再找人成立個兩創(chuàng)業(yè)公司B、C，A給B投資1000萬，除正常開支100萬之外，B用剩下的900萬買下C，實際錢回到自己手里，三個月后B經(jīng)營不善倒閉，再找政府補貼60%，600萬到手，凈利潤50%。元芳，此事你怎么看?VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果對投資者的風(fēng)險投資在取得收益率rg時按照稅率t征稅，在取得收益率rb時按照補貼率率s取得財政補貼，那他的稅后報酬就是(1-t)rg和(1-s)rb

，因此，決定他最佳風(fēng)險投資x的一階條件將是：U′(x)=π?u′(w+x(1-t)rg)?(1-t)rg+(1-π)?u′(w+x(1-s)rb)?

(1-s)rb=0VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于消費計劃的兩期模型來說，效用函數(shù)u(c)=u(c0,c1)可簡化為u(c)=u(c0,c1)=u(c0)+βu(c1),其中β是時間偏好參數(shù)。如果消費計劃是不確定，即帶有風(fēng)險，記為c和c′。則偏好函數(shù)取效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望值，即預(yù)期效用函數(shù)E[u(c)]和E[u(c′)]，進(jìn)行比較，即有c?c′?E[u(c)]≥

E[u(c′)]這里，E(·)是取概率平均值的簡寫。~~~~~~~~~VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用對于不確定的消費計劃，有c=(c0,c1)，因為c0發(fā)生在0時期是確定的，風(fēng)險只發(fā)生在1時期。因此，對于消費計劃的兩期模型來說，預(yù)期效用函數(shù)為：E[u(c)]=u(c0)+βu(c1),在t=1時期，可能會出現(xiàn)不同的狀態(tài)，所以對于一個消費計劃來說，屆時能夠消費的量對應(yīng)于不同的狀態(tài)是不一樣的。所以，一個消費計劃是指在不同狀態(tài)下指定的消費商品的單位數(shù)。~~~~VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用記c1(ω)為t=1時期狀態(tài)ω下的消費單位數(shù)。假設(shè)只有5種可能的狀態(tài)，標(biāo)記為ω1,

ω2,ω3,

ω4,

ω

5，下表列出了消費計劃：到t=1時期，在狀態(tài)ω1下消費2個單位，在狀態(tài)ω2下消費3個單位，等。所以，消費計劃是一個向量，列示出在不同狀態(tài)下的消費的單位數(shù)。因為t=1時期所實現(xiàn)的消費是不確定的，所以，t=1時期的消費c1是一個隨機變量。但對應(yīng)于各個不同的狀態(tài)，消費的單位數(shù)是預(yù)先計劃好的，所以稱之為“消費計劃”。ω1ω2ω3ω4ω5c1（ω

）23180VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用假如到t=1時期可能出現(xiàn)兩種情況：經(jīng)濟繁榮或者經(jīng)濟衰退，兩種情況出現(xiàn)的概率都是50%。對于李四來說，未來的不確定的資源是這樣的：如果經(jīng)濟繁榮，則w1up=100元，如果經(jīng)濟衰退，w1down=25元。我們分別用c1up和c1down來標(biāo)記在經(jīng)濟繁榮和經(jīng)濟衰退時該消費者的消費量。如果李四沒有任何金融手段來優(yōu)化他的消費計劃，就只能是c1up=w1up=100元和c1down=w1down=25元。但這樣的消費計劃不見得是效用最大的最優(yōu)計劃。如果市場有金融工具，李四就可以利用來優(yōu)化自己的消費。VNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用假如現(xiàn)在金融市場提供兩種基本證券：繁榮證券和衰退證券。進(jìn)一步假設(shè)，到t=1時期，如果經(jīng)濟繁榮，則繁榮證券的價值為1元而衰退證券的價值為0；如果經(jīng)濟衰退，則繁榮證券的價值為0而衰退證券的價值為1元?，F(xiàn)在，即t=0時期，每份繁榮證券的價格為φup，而每份衰退證券的價格為φdown。到t=1時期，該個體可以獲得的資源稟賦相當(dāng)于現(xiàn)在t=0時期擁有一個投資組合，這個投資組合由100份繁榮證券和25份衰退證券組成。因為到t=1時期，如果經(jīng)濟繁榮，這個投資組合價值為100；如果衰退，組合的價值為25元。正好提供給李四t=1時期的資源稟賦。這個投資組合現(xiàn)在的市場價值為100φup+25φdownVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用如果李四想在t=1時期自由地配置在不同狀態(tài)下的消費來優(yōu)化自己的效用，可以把所持有的這個投資組合在市場上賣掉，利用得到的貨幣資金重新構(gòu)筑一個新的投資組合，這個新的投資組合由c1up份繁榮證券和c1down份衰退證券組成。這樣，到t=1時期，如果經(jīng)濟繁榮，這個投資組合的價值為c1up

，如果經(jīng)濟衰退，這個投資組合的價值為c1down

，正好可以分別提供c1up和c1down的消費量。但是請注意，現(xiàn)在這個新的投資組合的市場價值應(yīng)該和原來那個投資組合的市場價值相等，即有：c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdowVNM期望效用函數(shù)的應(yīng)用針對這個問題，消費計劃的優(yōu)化模型應(yīng)是：max?[u(c1up)

+u(c1down

)]s.t.c1upφup+c1downφdown=100φup+25φdown可以推出優(yōu)化關(guān)系u’(

c1up)

=u’(c1down)

φup/φdown如果φup

=φdown，可以推出c1up

=c1down=62.5。如果φup

>φdown

，可以推出c1up<c1down

。意思是，要在經(jīng)濟繁榮是獲得與經(jīng)濟衰退時同樣的消費量，現(xiàn)在投資于繁榮證券的數(shù)額要比較大，這意味著經(jīng)濟繁榮時消費比較昂貴。如果φup

<φdown

，可以推出c1up>c1down

。這意味著經(jīng)濟繁榮時消費比較便宜。阿萊(Allais)悖論獨立性公理在實際心理學(xué)測試中經(jīng)常失效，最有名的例子就是阿萊(Allais)悖論。假設(shè)有以下兩組事件，需要做出判斷：A1：肯定得到100萬元A2：以10%的概率得到500萬元，89%的概率得到100萬元，1%的概率得不到A3：以10%的概率得到500萬元，90%的概率得不到A4：以11%的概率得到100萬元，以89%的概率得不到。阿萊(Allais)悖論對上面的例子，大多數(shù)人在A1和A2中會選擇A1，在A3和A4中會選擇A3。但這樣就違反了獨立性公理。A1~0.11×100+0.89×100A2~0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100A1?A2意味著0.11×100+0.89×100?0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×100阿萊(Allais)悖論如認(rèn)為A1?A2，則必然有1?(1/11×0+10/11×500)那么根據(jù)獨立性公理：0.11×100+0.89×0?0.11×(1/11×0+10/11×500)+0.89×0而這等價于A4?A3，這與實際情況相矛盾了。任意博彩L1，L2，L,以及任意的P，0<P<1,如果L1?L2，那么必定有PL1+(1-P)L?PL2+(1-P)L，則稱偏好關(guān)系滿足獨立性公理。阿萊(Allais)悖論法國經(jīng)濟學(xué)家莫里斯·菲力·夏爾·阿萊(1911.5－2010.10)主要研究領(lǐng)域為巿場理論與資源的效率分配，是1988年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的得主。阿萊“因為市場理論和最大效率理論方面”對經(jīng)濟學(xué)所作出的貢獻(xiàn)，獲得1988年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。他提出了許多市場經(jīng)濟模型，重新系統(tǒng)地闡述了一般均衡理論和最大效益理論。阿萊(Allais)悖論阿萊認(rèn)為，從瓦爾拉的一般均衡模型到德布魯?shù)囊话憔饽Ｐ途俣ㄒ粋€所有物品都集中在一起進(jìn)行交換的市場，而且市場價格對所有市場參加者都是共同的、給定的，然后通過唯一的一輪交易作一次性移動，經(jīng)濟從不均衡狀態(tài)過渡到均衡狀態(tài)。這些假定都是不現(xiàn)實的，他稱之為“單市場經(jīng)濟模型”。針對這些缺陷，他提出“多市場經(jīng)濟模型”，它假定導(dǎo)向均衡的交換以不同的價格連續(xù)發(fā)生，并且在任何給定時點上，不同經(jīng)營者作用的價格不必是同一的，在“可分配剩余”的驅(qū)動下，每一次交易都趨近均衡。阿萊的“多市場經(jīng)濟模型”較之于“單市場經(jīng)濟模型”更接近現(xiàn)實，更一般化，即涵蘊了存在競爭和不存在競爭的所有可能的市場形態(tài)，而且能如同描述西方國家經(jīng)濟那樣，描述東方國家經(jīng)濟和發(fā)展中國家的經(jīng)濟，而且其描述是動態(tài)的。由于阿萊把私人分散的、自由尋求和實現(xiàn)剩余看作是實現(xiàn)最大效率狀態(tài)的基本的途徑，因此在政策主張上極力反對凱恩斯主義的政府干預(yù)。阿萊(Allais)悖論概率匹配悖論把20個紅球和10個黑球一起放入一個袋子，隨機地從袋子中取出一個球再放回去，猜測所取出的球是紅色的，還是黑色的，猜中的話可以得到10元獎勵。在重復(fù)猜獎中，實驗發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)個體趨向于2/3的時間選擇猜紅球，1/3的時間猜黑球。很顯然這不是最優(yōu)的，最優(yōu)選擇應(yīng)該是總是猜紅球。阿萊(Allais)悖論偏好反轉(zhuǎn)悖論考慮兩個選擇問題：（1）設(shè)想你可以得到2萬人民幣的財富和一個選擇權(quán)，你可以選擇:(a)額外再得到5千人民幣，(b)25%的概率額外再得到2萬人民幣，75%的概率沒有額外收入。（2）設(shè)想你可以得到4萬人民幣的財富和一個選擇權(quán)，你可以選擇:(a)放棄1萬5千人民幣，(b)75%的概率放棄2萬人民幣，25%的概率沒有額外損失。在試驗中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)個體在面對問題（1）時會選擇(a)；在面對問題（2）時會選擇(b)。但事實上這兩個選擇問題所產(chǎn)生的回報是相同的，是100%的概率得到2萬5千人民幣，還是25%的概率得到4萬人民幣，75%的概率得到2萬人民幣。阿萊(Allais)悖論Ellsberg悖論在密閉的缸I中有50個紅球R和50個黑球B，在缸II中有100個不知道比例的紅球與黑球?？紤]兩個摸球游戲：(1)個體從缸中摸到兩個紅球時可以贏得100元，個體可以選擇從缸I中摸RI或從缸II中摸RII；(2)個體從缸中摸到兩個黑球時可以贏得100元，個體可以選擇從缸I中摸BI或從缸II中摸BII。實驗發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)個體會選擇RI和BI，但這與偏好的理性選擇行為是不一致的。從邏輯上講，個體在RI和RII中更偏愛RI，等價于在BI和BII中更偏愛BII，因此如果絕大多數(shù)個體選擇RI的話，應(yīng)該只有很少的個體會選擇BI才對，這說明真實經(jīng)濟中個體決策中存在非理性的成分。預(yù)期效用理論的修正由阿萊悖論等各種試驗引發(fā)的新的期望效用理論，如前景理論、遺憾理論、加權(quán)的期望效用理論、非線性的期望效用理論等等行為金融學(xué)和非線性經(jīng)濟學(xué)對期望效用的新的解釋。對預(yù)期效用理論模型進(jìn)行修正或改進(jìn)。這方面的工作大致分為兩個方面：一是對原有理論的修正，二是對原有理論的替代。修正模型—擴展性效用模型(generalizedutilitymodel)、預(yù)期比率模型(expectationquotientmodel)、非傳遞性效用模型(non-transitivityutilitymodel)、非可加性效用模型(non-additivityutilitymodel)。替代模型—前景理論。前景理論的形成，是人們在不斷改良人們的收益和風(fēng)險偏好關(guān)系的基礎(chǔ)上，不斷演變而成。它經(jīng)過了弗里德曼和薩維奇、馬柯維茨等學(xué)者對效用函數(shù)的擴展，最終由卡納曼和特維斯基在總結(jié)馬柯維茨和阿萊的工作基礎(chǔ)上，構(gòu)造了前景理論。預(yù)期效用理論的修正期望效用函數(shù)假定投資者僅關(guān)注實際收益以及達(dá)到這些收益的累積概率，而對不確定性何時明確化漠不關(guān)心。AgeneralizationofexpectedutilitythatmakesthisdistinctionisproposedbyDavidKrepsandEvanPorteus,“TemporalResolutionofUncertaintyandDynamicChoiceTheory,”EconometricaVol.46(January1978):pp.185-200.預(yù)期效用理論的修正Tomodelpreferencesforthetemporalresolutionofuncertainty,considertwoassets.Bothassetspayoff$100nextyearforsure.Andbothassetspayoff$225withprobability?and$25withprobability?twoyearsfromnow.Butforasset1,thepayofftwoyearsfromnowisrevealedoneyearfromnow,whereasforasset2,thepayofftwoyearsfromnowdoesnotgetrevealeduntilthebeginningofthesecondyear.預(yù)期效用理論的修正Asset1Asset2??10010025225t=1t=0t=2Asset1

hasearlyresolutionofuncertainty.??10022525t=0t=1t=2Asset2haslateresolutionofuncertainty.預(yù)期效用理論的修正KrepsandPorteusallowtheinvestor’sutilityfunctiontotaketheform

E0[u(p1)]+E0{[E1(u(p2))]γ},

wherep1andp2arethepayoffsoneandtwoyearsfromnow,

E0andE1areexpectedvaluesbasedoninformationpossessedtodayandoneyearfromnow,andtheparameterγissuchthat:

ifγ=1theinvestorhasexpectedutility

ifγ>1theinvestorprefersearlyresolution(asset1)

ifγ<1theinvestorpreferslateresolution(asset2)預(yù)期效用理論的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”??10010025225t=1t=0t=2E1(u(p2))dependsonthestate:

EG1(u(p2))=(225)1/2=15andEB1(u(p2))=(25)1/2=5

E0{[E1(u(p2))]γ}=(?)15γ+(?)5γE0(u(p1))=(?)1001/2

+(?)1001/2預(yù)期效用理論的修正Letu(p)=p1/2andcallthestatethatleadstothe225payofftwoyearsfromnowthe“goodstate”andthestatethatleadstothe25payofftwoyearsfromnowthe“badstate.”

??22525100t=0t=1t=2E1(u(p2))=(1/2)(225)1/2+(1/2)(25)1/2=10

E0{[E1(u(p2))]γ}=10γ

E0(u(p1))=100預(yù)期效用理論的修正forasset1,utilitytodayisU1=10+?15γ

+?5γ,

forasset2,utilitytodayisU2=10+10γ.

γU1U2110.0010.00expectedutility1.544.6441.62prefersearlyresolution0.511.7311.78preferslateresolution預(yù)期效用理論的修正預(yù)期效用理論的修正前景理論認(rèn)為投資者偏好不是定義在實際收益而是定義在相對某種基準(zhǔn)的損益上，使得損失被賦予了更大的效用權(quán)重.

DanielKahneman(NobelPrize2002)andAmosTversky,“ProspectTheory