自動(dòng)控制第五章

1例繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖的步驟⑴化G(s)為尾1標(biāo)準(zhǔn)型⑵順序列出轉(zhuǎn)折頻率⑶確定基準(zhǔn)線(xiàn)0.2慣性環(huán)節(jié)0.5一階復(fù)合微分1振蕩環(huán)節(jié)基準(zhǔn)點(diǎn)斜率慣性環(huán)節(jié)-20dB/dec復(fù)合微分+20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)-40dB/dec復(fù)合微分+40dB/dec⑷疊加作圖一階二階w=0.2

慣性環(huán)節(jié)-20w=0.5

一階復(fù)合微分+20w=1

振蕩環(huán)節(jié)-40最小轉(zhuǎn)折頻率之左的特性及其延長(zhǎng)線(xiàn)例4

已知Bode圖，確定G(s)。解解法Ⅰ解法Ⅱ截止頻率：3最小相位（角）系統(tǒng)——

僅在左半s平面存在開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)或帶純延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)非最小相角系統(tǒng)由L(w)不能唯一確定G(s)★最小相角系統(tǒng)由L(w)可以唯一確定G(s)最小相位系統(tǒng)非最小相位系統(tǒng)第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析45第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判據(jù)第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據(jù)第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據(jù)6第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的基本任務(wù)之一。系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)

1)、勞斯判據(jù)——是一種代數(shù)判據(jù)2)、奈奎斯特判據(jù)——用開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是一種幾何判據(jù).3)、玻德判據(jù)——用開(kāi)環(huán)玻德圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可判斷穩(wěn)定的程度7第一節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定的基本概念一、穩(wěn)定的概念如果系統(tǒng)受到擾動(dòng)，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性。否則，稱(chēng)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。8

系統(tǒng)穩(wěn)定性是表示系統(tǒng)在去掉外在作用后自己恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的能力。因此，線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的固有屬性。這種固有的穩(wěn)定性，只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)而與初始條件及外作用無(wú)關(guān)。9二、穩(wěn)定的數(shù)學(xué)條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的所有閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部，

或所有閉環(huán)極點(diǎn)均嚴(yán)格位于左半s平面。必要性：充分性：10根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的定義，若,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

第二節(jié)勞斯穩(wěn)定判斷

要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道特征根實(shí)部的符號(hào)。解特征方程，求出全部根，可直接判斷。但對(duì)高階系統(tǒng)，求根很困難。因?yàn)橄到y(tǒng)特征方程的根與特征方程的系數(shù)有唯一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，可根據(jù)特征方程的的各項(xiàng)系數(shù)直接判斷其根的穩(wěn)定性。

——代數(shù)判斷，古爾維茨穩(wěn)定判據(jù)，勞斯穩(wěn)定判據(jù)。11系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件特征方程的各項(xiàng)系數(shù)存在并同號(hào)一、勞斯判據(jù)的必要條件

特征方程12例不穩(wěn)定不穩(wěn)定可能穩(wěn)定勞斯（Routh）判據(jù)勞斯表勞斯表第一列元素均大于零時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)就是特征方程中正實(shí)部根的個(gè)數(shù)

二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列中第一列所有元素的符號(hào)一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定e13三、二階至四階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件二階系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：各項(xiàng)系數(shù)大于零勞斯表14勞斯表三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：（1）各項(xiàng)系數(shù)大于零

（2）15勞斯表四階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:

(1)各項(xiàng)系數(shù)大于零(3)(2)16四、特殊情況

（1）勞斯陣列中，某一行的第一列為零可用一個(gè)很小的正數(shù)ε來(lái)代替零元素例：17第一列元素值符號(hào)有兩次變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定特征方程在[s]平面的右半平面內(nèi)有兩個(gè)根，判斷穩(wěn)定性，判斷右半平面根數(shù)。

(2)勞斯陣列中某一行的元素均為零表明存在著一些大小相等，徑向位置相反的根，即存在著一些大小相等、符號(hào)相反的實(shí)根和（或）共軛虛根。所以，系統(tǒng)要么不穩(wěn)定，要么臨界穩(wěn)定。a、取元素為零的前一行，以其系數(shù)組成輔助多項(xiàng)式。b、輔助多項(xiàng)式對(duì)s求導(dǎo)，以其系數(shù)代替全為零值的一行。c、由輔助多項(xiàng)式求取各對(duì)稱(chēng)根。18121620006168/3160在S右半平面上沒(méi)有特征根19令得兩對(duì)大小相等的，符號(hào)相反的根另外一對(duì)根顯然系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。6168/3160

為保證系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，常希望系統(tǒng)特征根與S平面上虛軸之間有一定的距離a。設(shè)一個(gè)新變量，以代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個(gè)的方程，應(yīng)用勞斯判據(jù)。21例要求閉環(huán)系統(tǒng)的特征根全部位于垂線(xiàn)s=-1左側(cè)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的特征方程以代入上式，整理得22勞斯判據(jù)的應(yīng)用

例

某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示，判定系統(tǒng)能否穩(wěn)定，若能穩(wěn)定，試確定相應(yīng)開(kāi)環(huán)增益K的范圍。解依題意有系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定與開(kāi)環(huán)穩(wěn)定之間沒(méi)有直接關(guān)系

23例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右，

(1)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)(K,x)的范圍;(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1之左的K值范圍。解.(1)24(2)當(dāng)x=2時(shí)，確定使全部極點(diǎn)均位于s=-1之左的K值范圍。當(dāng)x=2時(shí)，進(jìn)行平移變換：25系統(tǒng)穩(wěn)定性：(1)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是其自身的屬性，與輸入類(lèi)型、形式無(wú)關(guān)。(2)系統(tǒng)穩(wěn)定與否，只取決于閉環(huán)極點(diǎn)，與閉環(huán)零點(diǎn)無(wú)關(guān)。閉環(huán)零點(diǎn)影響系數(shù)Ci

，會(huì)改變動(dòng)態(tài)性能，但不影響穩(wěn)定性。(3)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其開(kāi)環(huán)是否穩(wěn)定沒(méi)有直接關(guān)系。26第三節(jié)奈氏穩(wěn)定判據(jù)

用解出微分方程的根或者用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)都是不方便的。另外，他們雖能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，卻不能看出穩(wěn)定的程度如何，元件參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響。

頻率判據(jù)是利用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并可求出穩(wěn)定裕度。

奈氏判據(jù)建立在幅角原理上，并引入輔助函數(shù)建立開(kāi)環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關(guān)系；根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)奈奎斯特圖形包圍（-1，0j），判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性2728一、幅角原理設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為ReImReIm29ReImReIm二、輔助函數(shù)30左圖所示，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

由于D(s)的階次一般高于M(s)，所以F(s)的分子分母階次相等，n階。三、奈氏穩(wěn)定判據(jù)三種描述1、輔助函數(shù)方法F(s)的分子分母階次相等，即穩(wěn)定的充要條件：2、開(kāi)環(huán)奈氏圖是否包含（-1，0w）穩(wěn)定不穩(wěn)定3、開(kāi)環(huán)奈氏圖與單位圓交點(diǎn)根據(jù)輔助函數(shù)或者開(kāi)環(huán)奈氏圖判斷閉環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定性以上準(zhǔn)則基于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定作為先決條件，研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)閉環(huán)也可能穩(wěn)定，需要借助開(kāi)環(huán)奈氏圖包圍（-1，0j）點(diǎn)的圈數(shù)進(jìn)行判斷。幅角原理驗(yàn)證31例單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為32不穩(wěn)定不穩(wěn)定§奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

Z=P-2N

P——開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)

Z——閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)（Z=0穩(wěn)定）

N——開(kāi)環(huán)奈氏曲線(xiàn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)注：逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)33例

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)穩(wěn)定條件勞斯判據(jù)驗(yàn)證：解：34例

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)35“交警站崗”例

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)36閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！注意問(wèn)題2.N的最小單位為二分之一1.當(dāng)[s]平面虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無(wú)窮小的圓??；[G]平面對(duì)應(yīng)要補(bǔ)充大圓弧Z:在右半s平面中的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)P:在右半s平面中的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)N:開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)37例

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：開(kāi)環(huán)曲線(xiàn)不包圍（-1，0jw）第四節(jié)玻德穩(wěn)定判據(jù)A:B:Bode圖：A：零分貝線(xiàn)B：相頻-180度A:B:A:增益交界頻率相位交界頻率AB閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：

38穩(wěn)定裕度的定義：截止頻率相角裕度：距離的相位差的物理意義系統(tǒng)在方面的穩(wěn)定儲(chǔ)備量幅值相角一般要求相角交界頻率幅值裕度39解法I：由幅相曲線(xiàn)求(1)令試根得§穩(wěn)定裕度的計(jì)算例4，求相角裕度和幅值裕度相角裕度40令得幅值裕度41由L(w):得解法II：由Bode圖求42例，求解.作L(w)求43整理得求wg解出44(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)例

已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)以上研究是在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定情況下研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定：4546已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：例

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)Bode圖如圖所示，求G(s)。解依題有求K:47⑴⑵⑶⑷48非最小相角系統(tǒng)——

在右半s平面存在開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)或帶純延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)★非最小相角系統(tǒng)未必不穩(wěn)定非最小相角系統(tǒng)由L(w)不能唯一確定G(s)★最小相角系統(tǒng)由L(w)可以唯一確定G(s)★非最小相角系統(tǒng)相角變化的絕對(duì)值一般比最小相角系統(tǒng)的大§最小相角系統(tǒng)和非最小相角系統(tǒng)課程小結(jié)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定有誤！注意問(wèn)題2.N的最小單位為二分之一1.當(dāng)[s]平面虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)，奈氏路徑要從其右邊繞出半徑為無(wú)窮小的圓??；[G]平面對(duì)應(yīng)要補(bǔ)充大圓弧Z:在右半s平面中的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)P:在右半s平面中的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)N:開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)GH(jw)包圍[G]平面(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)50對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)（bode）51開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件：

開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)：

謝謝！52第四章作業(yè)小結(jié)存在問(wèn)題：1）直尺作圖；按照對(duì)數(shù)坐標(biāo)指作圖2）半對(duì)數(shù)坐標(biāo)錯(cuò)誤4）4-1（2）nyquist圖是單調(diào)減函數(shù)3）