2023年數(shù)列知識點總結(jié)和題型歸納總結(jié)

高三總復(fù)習(xí)----數(shù)列一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列;數(shù)列中的每個數(shù)都叫這個數(shù)列的項。記作,在數(shù)列第一個位置的項叫第1項（或首項），在第二個位置的叫第2項,……，序號為的項叫第項(也叫通項）記作;數(shù)列的一般形式：,,,……,,……，簡記作。例:判斷下列各組元素能否構(gòu)成數(shù)列（1）a,－3,-1,1,b,５，7,9;(2）202３年各省參與高考的考生人數(shù)。（２)通項公式的定義：假如數(shù)列的第n項與ｎ之間的關(guān)系可以用一個公式表達，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式。例如:①:1,２,３,４,5，…②:…數(shù)列①的通項公式是＝(7,），數(shù)列②的通項公式是=()。說明：①表達數(shù)列,表達數(shù)列中的第項,=表達數(shù)列的通項公式;②③不是每個數(shù)列都有通項公式。例如,1,１.4,1.４1，1．414，……（3）數(shù)列的函數(shù)特性與圖象表達:序號:１234５6項：456789上面每一項序號與這一項的相應(yīng)關(guān)系可當(dāng)作是一個序號集合到另一個數(shù)集的映射。從函數(shù)觀點看,數(shù)列實質(zhì)上是定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從1開始依次取值時相應(yīng)的一系列函數(shù)值……，,……．通常用來代替,其圖象是一群孤立點。例:畫出數(shù)列的圖像.（4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分:有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；②按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列（遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？(1)1,2，３,４,5,6，…(2)１0,９,8，7,6,5,…(3）1,0,1,０,1,0，…(4）a,ａ,ａ,a,ａ,…(５）數(shù)列{}的前項和與通項的關(guān)系：例:已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式練習(xí)：１．根據(jù)數(shù)列前4項,寫出它的通項公式:(1)１，3，5,7……;（2),，,；(3）,,，。（4)9，９９，9９9,9９99…(5）7，7７，777,７777,…(6）8,８8,888，8８88…2.數(shù)列中，已知（1）寫出,，,，；(２）是否是數(shù)列中的項？若是,是第幾項?3.(2023京春理14，文15）在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的記錄數(shù)據(jù)如下表.觀測表中數(shù)據(jù)的特點,用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白(_____)內(nèi)。４、由前幾項猜想通項：根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，在空格及括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和數(shù)，寫出點數(shù)的通項公式．（1）（1）（4）（7）（）（）5．觀測下列各圖，并閱讀下面的文字,像這樣，１0條直線相交，交點的個數(shù)最多是(），其通項公式為.2條直線相交，最多有1個交點3條直線相交，最多有3個交點4條直線相交，最多有6個交點Ａ．40個B.４52條直線相交，最多有1個交點3條直線相交，最多有3個交點4條直線相交，最多有6個交點二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義:一般地，假如一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表達。用遞推公式表達為或。例：等差數(shù)列,題型二、等差數(shù)列的通項公式：;說明:等差數(shù)列（通?？煞Q為數(shù)列）的單調(diào)性:為遞增數(shù)列,為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。例:1.已知等差數(shù)列中，等于（）A.1５B.3０C．3１Ｄ.642.是首項，公差的等差數(shù)列,假如，則序號等于（A)66７(B）6６8（C)669(Ｄ)6703.等差數(shù)列,則為為（填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）題型三、等差中項的概念：定義：假如,，成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項。其中，，成等差數(shù)列即：(）例:1.（１4全國I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若，,則(）A．B． C.D．2．設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列,前三項的和為１2,前三項的積為48，則它的首項是（)A.1Ｂ.2C．4D.８題型四、等差數(shù)列的性質(zhì)：(1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項;（2)在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列；（３)在等差數(shù)列中，對任意,,，；(4)在等差數(shù)列中，若,,，且,則;題型五、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(是等差數(shù)列)遞推公式：例：１.假如等差數(shù)列中，,那么（A)１4（B）21（C）2８(D)35２.（2023湖南卷文）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和,已知,，則等于(）A.１3Ｂ．35C.49D.6３3.（2０2３全國卷Ⅰ理）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則=4.(2０23重慶文）（2)在等差數(shù)列中，，則的值為()(Ａ）5（B)6(C）８（D)105．若一個等差數(shù)列前3項的和為34,最后3項的和為14６，且所有項的和為39０，則這個數(shù)列有()Ａ．13項? B.12項 ?C.11項 ? ?D.10項6.已知等差數(shù)列的前項和為，若7.（2０23全國卷Ⅱ理)設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若則８.(20２3全國）已知數(shù)列｛bｎ｝是等差數(shù)列,ｂ１=1,b1＋b2+…＋b10=10０.(Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項bｎ；９.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其前10項的和，則其公差等于()C.Ｄ.10.（2０23陜西卷文)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則11．(20２3全國)設(shè){an｝為等差數(shù)列，Ｓｎ為數(shù)列{ａｎ｝的前n項和，已知Ｓ7＝7,S15＝75，Tn為數(shù)列{}的前ｎ項和，求Tn。12.等差數(shù)列的前項和記為，已知=1\*GB3①求通項；=2\*GＢ3②若=2４2,求１３．在等差數(shù)列中，（1）已知;(２)已知；(3)已知題型六.對于一個等差數(shù)列:(1)若項數(shù)為偶數(shù),設(shè)共有項，則①偶奇;②；（2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項,則①奇偶；②。題型七．對與一個等差數(shù)列，仍成等差數(shù)列。例:1．等差數(shù)列{an｝的前ｍ項和為3０,前２m項和為10０,則它的前3A.１３0?? B．1７０ ?C.210? D.2602.一個等差數(shù)列前項的和為48，前2項的和為60，則前３項的和為。3．已知等差數(shù)列的前10項和為10０,前100項和為10,則前11０項和為4.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,＝5．（2０2３全國II）設(shè)Ｓn是等差數(shù)列｛ａn}的前n項和，若＝,則=A． Ｂ.C． Ｄ．題型八．判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=１＼*GＢ3①定義法:是等差數(shù)列=２\＊GB3②中項法：是等差數(shù)列＝3\*ＧB3③通項公式法:是等差數(shù)列=4\*GB3④前項和公式法:是等差數(shù)列例：1．已知數(shù)列滿足,則數(shù)列為(）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列Ｃ.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷２．已知數(shù)列的通項為,則數(shù)列為（)A．等差數(shù)列B.等比數(shù)列C．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項和,則數(shù)列為(）A．等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷４.已知一個數(shù)列的前n項和,則數(shù)列為（）Ａ．等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷5.已知一個數(shù)列滿足,則數(shù)列為（）A.等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列Ｄ．無法判斷６.數(shù)列滿足＝８，（)＝１\*GB3①求數(shù)列的通項公式;7.（１４天津理,2)設(shè)Sn是數(shù)列{ａn}的前n項和，且Sn=n2，則｛an}是()A．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列? B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C．等差數(shù)列，并且也是等比數(shù)列 ? D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列題型九.數(shù)列最值(１），時,有最大值；，時，有最小值；（2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函數(shù)的最值;可用二次函數(shù)最值的求法（）；②或者求出中的正、負分界項,即：若已知,則最值時的值（）可如下擬定或。例:1.等差數(shù)列中,，則前項的和最大。2．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知=1\*GＢ3①求出公差的范圍,=2\*GB3②指出中哪一個值最大,并說明理由。3.（12上海)設(shè){ａn｝(n∈N*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，且S5<S6,S6＝S７＞Ｓ8，則下列結(jié)論錯誤的是()A.ｄ<0?B.ａ7＝0Ｃ.S9＞S5 ?D.S６與S7均為Sｎ的最大值4.已知數(shù)列的通項（），則數(shù)列的前30項中最大項和最小項分別是5．已知是等差數(shù)列,其中，公差。(1)數(shù)列從哪一項開始小于0?（２)求數(shù)列前項和的最大值,并求出相應(yīng)的值.６.已知是各項不為零的等差數(shù)列,其中，公差，若,求數(shù)列前項和的最大值.7.在等差數(shù)列中，，，求的最大值.題型十.運用求通項.1．?dāng)?shù)列的前項和．（１）試寫出數(shù)列的前5項；（2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3)你能寫出數(shù)列的通項公式嗎?２.已知數(shù)列的前項和則３.設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn=2ｎ2，求數(shù)列的通項公式;4.已知數(shù)列中,前和＝1＼*GB3①求證:數(shù)列是等差數(shù)列=2\*ＧB3②求數(shù)列的通項公式5．（２023安徽文)設(shè)數(shù)列的前ｎ項和,則的值為（)（A)１5(B)16（C)4９（D）6４等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，假如一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表達,即:：。一、遞推關(guān)系與通項公式在等比數(shù)列中,,則在等比數(shù)列中,,則3.(2023重慶文)在等比數(shù)列{ａn｝中，ａ2=8，a１＝６4，，則公比q為()（Ａ）2? (B)3 ? (C）4 (D）８4.在等比數(shù)列中，,，則＝5．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項,前三項和為21,則（)A33B72C84Ｄ１89二、等比中項:若三個數(shù)成等比數(shù)列,則稱為的等比中項,且為是成等比數(shù)列的必要而不充足條件.例：1．和的等比中項為（）2.(2023重慶卷文)設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項和=(）A. B． C.??D．三、等比數(shù)列的基本性質(zhì),1.（1)（2)（3）為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的相應(yīng)項成等比數(shù)列.(４）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是各項不為零的常數(shù)列．例：1．在等比數(shù)列中,和是方程的兩個根，則()2.在等比數(shù)列，已知,，則＝３.在等比數(shù)列中，=１\*GB３①求＝2＼*GB3②若4.等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且（）A.12B．10Ｃ．8D．２+5.（202３廣東卷理)已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時,()A.B.C．D.2.前項和公式例:1.已知等比數(shù)列的首相,公比，則其前n項和2.已知等比數(shù)列的首相，公比，當(dāng)項數(shù)n趨近與無窮大時,其前n項和3.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為,已,求和４.(2023年北京卷）設(shè)，則等于()Ａ. ?B．Ｃ. Ｄ．5.(2023全國文，２１)設(shè)等比數(shù)列{an｝的前n項和為Sｎ，若Ｓ３＋S6＝2S9,求數(shù)列的公比q;6.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,前n項和為Sn,若Sn+1,Ｓ?ｎ，Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為.3.若數(shù)列是等比數(shù)列,是其前n項的和，，那么,,成等比數(shù)列．例：1.(20２3遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{}的前ｎ項和為，若=3，則=A.2B.C．D．3２．一個等比數(shù)列前項的和為48，前２項的和為60,則前３項的和為（）A．83B．10８Ｃ.７５D.63３.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且4．等比數(shù)列的鑒定法(１）定義法：為等比數(shù)列;（2)中項法：為等比數(shù)列;（3)通項公式法:為等比數(shù)列;（４)前項和法:為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。例:1.已知數(shù)列的通項為,則數(shù)列為（)A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷2.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列為（）A．等差數(shù)列B.等比數(shù)列Ｃ.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3.已知一個數(shù)列的前n項和,則數(shù)列為(）A.等差數(shù)列Ｂ.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D．無法判斷5.運用求通項.例：1．（2023北京卷）數(shù)列{ａn}的前n項和為Ｓn,且a1=1，,n=１，2，３,……，求a２，a３,a4的值及數(shù)列{ａn}的通項公式.2.（2023山東卷)已知數(shù)列的首項前項和為,且,證明數(shù)列是等比數(shù)列．四、求數(shù)列通項公式方法(1).公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項例：1已知等差數(shù)列滿足:,求;已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式；3.數(shù)列滿足=８,（）,求數(shù)列的通項公式;已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式；設(shè)數(shù)列滿足且，求的通項公式已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,,求數(shù)列的通項公式已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式;已知數(shù)列滿足(),求數(shù)列的通項公式;已知數(shù)列滿足且（)，求數(shù)列的通項公式；已知數(shù)列滿足且（），求數(shù)列的通項公式；１２．?dāng)?shù)列已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項公式=（２）累加法１、累加法合用于:若,則兩邊分別相加得例:1．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式(3)累乘法合用于:若，則兩邊分別相乘得，例：1.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。已知數(shù)列滿足,,求。3.已知,，求。待定系數(shù)法合用于解題基本環(huán)節(jié)：擬定設(shè)等比數(shù)列，公比為列出關(guān)系式比較系數(shù)求,解得數(shù)列的通項公式解得數(shù)列的通項公式例：1.已知數(shù)列中，,求數(shù)列的通項公式。（2023,重慶,文,14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項＿＿＿___＿＿___＿___3.(２02３.福建.理22.本小題滿分14分)已知數(shù)列滿足求數(shù)列的通項公式;4.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解:設(shè)5.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解:設(shè)6.已知數(shù)列中,,，求7．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解:設(shè)8．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。遞推公式為（其中ｐ,q均為常數(shù)）。先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s,t滿足9．已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。(5)遞推公式中既有分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。(2０２3北京卷)數(shù)列{aｎ}的前n項和為Sn,且a1=1，,n=1,2，３，……，求a２,a3,a4的值及數(shù)列{ａn}的通項公式．2.（2023山東卷）已知數(shù)列的首項前項和為,且，證明數(shù)列是等比數(shù)列.3.已知數(shù)列中，前和＝１\*GB3①求證：數(shù)列是等差數(shù)列=2\*GB３②求數(shù)列的通項公式4.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),且前ｎ項和滿足，且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式。（6）倒數(shù)變換法合用于分式關(guān)系的遞推公式,分子只有一項例：１.已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。(7）對無窮遞推數(shù)列消項得到第與項的關(guān)系例:1.（2０２3年全國I第15題,原題是填空題）已知數(shù)列滿足,求的通項公式。２．設(shè)數(shù)列滿足，．求數(shù)列的通項;五、數(shù)列求和１．直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。公比含字母時一定要討論(理)無窮遞縮等比數(shù)列時,例:1.已知等差數(shù)列滿足,求前項和2.等差數(shù)列{an}中，ａ１=１，ａ3＋ａ5＝１4，其前ｎ項和Sn=100,則ｎ＝(）A．９B．１0C.１1Ｄ．12３.已知等比數(shù)列滿足，求前項和４.設(shè)，則等于()?A. B．Ｃ. D．２．錯位相減法求和:如：例:1．求和2.求和：3．設(shè)是等差數(shù)列,是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,且，,（Ⅰ）求,的通項公式;(Ⅱ）求數(shù)列的前n項和．3.裂項相消法求和:把數(shù)列的通項拆成兩項之差、正負相消剩下首尾若干項。常見拆項: