流體力學第二章

第二章流體靜力學流體靜力學研究流體在靜止狀態(tài)下的力學規(guī)律靜止：受平衡力作用下的運動狀態(tài)絕對靜止、相對靜止、勻速直線運動本章研究的問題靜止液體壓強分布規(guī)律物體所受的總壓力、壓力中心、壓力體慣性力作用下液體的相對平衡思考1擋水墻的靜水壓強按什么規(guī)律分布?擋水墻所受的總壓力是多少?思考2珠穆朗瑪峰頂上的大氣壓力、密度、溫度為多少?思考3海面下108m深處的水壓強是多少?§2-1靜止流體的受力本節(jié)研究的問題什么是應力?靜止流體的應力有什么特征?1．質(zhì)量力和表面力質(zhì)量力：某種力場對流體的作用力單位質(zhì)量力是單位質(zhì)量的流體所受到的力場作用力，記作f.在重力場中，單位質(zhì)量力f就等于重力加速度g.表面力：周圍物體作用在流體微團表面的力。

作用在單位面積上的表面力稱為應力.有切應力和正應力兩種。

☆質(zhì)量力作用于流體體積內(nèi)的每一質(zhì)點，是遠距離作用力，是空間點和時間的函數(shù)。☆表面力作用于流體周界的表面上，源于分子間的相互作用，是表面點和時間的函數(shù)。重力、慣性力、電磁力屬質(zhì)量力，壓力、粘性力屬表面力。

問題：表面張力、浮力屬什么類型？下一頁ΔFΔPΔTAΔAVτn法向應力周圍流體作用的表面力切向應力作用在流體上的表面力如上圖所示，在流體中取出被表面積為A的封閉曲面所包圍的某部分流體體積V，則周圍流體必然有力作用在這個體積V的表面積A上。在表面積A上圍繞點a取一微元面積ΔA，周圍流體作用在其上的表面力為ΔF，則a點的法向應力和切向應力的數(shù)學表達式分別為

法向應力P和切向應力τ的單位為Pa（N/m2）。上一頁2．靜止流體的應力特征特征一:流體靜止時，切應力為零。特征二:靜止的流體不能承受拉應力，只能承受壓應力（壓強），

任一點各個方向的壓強相等。特征三:有勢力場中，兩種流體交界面必為等壓面。特征四:流體靜壓強的方向必然重合于受力面的內(nèi)法線方向。證明：任一點各個方向的壓強值相等證明當圖中的四面體縮成一點時,四個面上的壓應力相等.pypxpzpn作用在ACD面上的流體靜壓強作用在ABC面上的流體靜壓強作用在BCD面上的靜壓強作用在ABD和上的靜壓強微元四面體受力分析現(xiàn)在來分析作用于微元四面體ABCD上各力的平衡關系。由于靜止流體中沒有切應力，所以作用在微元四面體四個表面上的表面力只有垂直于各個表面的壓強。因為所取微元四面體的各三角形面積都是無限小的，所以可以認為在無限小表面上的壓強是均勻分布的。設作用在ACD、ABD、ABC和BCD四個面上的流體靜壓強分別為px、py、pz和pn，pn與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ，則作用在各面上流體的總壓力分別為：（dAn為BCD的面積）假定作用在流流體上的單位質(zhì)量力為，它在各坐標軸上的分量分別為fx、fy、fz，則作用在微元四面體上的總質(zhì)量力為：它在三個坐標軸上的分量為：

由于流體的微元四面體處于平衡狀態(tài)，故作用在其上的一切力在任意軸上投影的總和等于零。

在x軸方向上力的平衡方程為：(2-1)因為:則上式變成或dx趨于0時，第三項為無窮小，可以略去，故得：同理可得:所以因為n的方向完全可以任意選擇，從而證明了在靜止流體中任一點上來自各個方向的流體靜壓強都相等。但是，靜止流體中深度不同的點處流體的靜壓強是不一樣的，而流體又是連續(xù)介質(zhì)，所以流體靜壓強僅是空間點坐標的連續(xù)函數(shù)，即

一、流體平衡微分方程式在靜止流體中任取一邊長為dx，dy和dz的六面體流體微團，作用在該六面體的上表面力只有靜壓強。設六面體中心點處的靜壓強為p，則作用在六個平面中心點上的靜壓強可按泰勒（G.I.Taylor）級數(shù)展開，例如：在垂直于X軸的左、右兩個平面中心點上的靜壓強分別為：§2-2靜止流體微分方程略去二階以上無窮小量后，分別等于：p微元平行六面體x方向的受力分析

作用在流體微團上的外力除靜壓強外，還有質(zhì)量力。若流體微團的平均密度為ρ，則質(zhì)量力沿三個坐標軸的分量為：

靜止狀態(tài)下的微元平行六面體的流體微團的平衡條件是：作用在其上的外力在三個坐標軸上的分力之和都等與零。對于x軸，則為整理即得：（2-2）同理得（2-3）

寫成矢量形式這就是靜止流體平衡微分方程式，又稱歐拉平衡微分方程式（1755年，歐拉首先推導）。

歐拉平衡方程的物理意義：在靜止流體中，某點單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力與靜壓強的合力相平衡。歐拉平衡方程的適用范圍：靜止或相對靜止狀態(tài)的可壓縮和不可壓縮流體。歐拉平衡方程是流體靜力學最基本的方程，流體靜力學的其他計算公式都是從此方程組推導出來的。在推導流體靜力學的計算公式時，一般不從上述方程出發(fā)，而是從下述的壓強差公式來進行推導的。把式（2-2）與（2-3）兩邊分別乘以dx，dy，dz，然后相加，得（2-4）

此式稱為壓強差公式。它表明：在靜止流體中，空間點的坐標增量為dx、dy、dz時，相應的流體靜壓強增加dp，壓強的增量取決于質(zhì)量力。積分（2-4）即可得靜止流體壓強p的分布式。

二、流體平衡條件

對于不可壓縮均質(zhì)流體，密度ρ＝常數(shù)，可將式（2-4）寫成

上式的左邊是全微分，它的右邊也必須是某個函數(shù)的全微分。由于（2-5）

所以

（2-6）即質(zhì)量力的分量等于函數(shù)的偏導數(shù)，因此，稱為力勢函數(shù)（若某一坐標函數(shù)對個坐標的偏導數(shù)分別等于力場的力在對應坐標軸上的投影，則稱該坐標函數(shù)為力的勢函數(shù)）。存在力勢函數(shù)的質(zhì)量力稱為有勢力，重力、電磁力、慣性力等是有勢力。

流體平衡條件：不可壓均質(zhì)流體只有在有勢力的作用下才能保持靜止平衡。質(zhì)量力的向量形式：對重力：則：證：在交界面上的兩點A、B，其靜壓差為dp，勢差為dπ則：dp=ρ1dπ=ρ2dπ

∵ρ1≠ρ2≠0∴dp=dπ=0

等壓面就是等勢面。（P=常數(shù)，π=常數(shù)，dP=dπ=0）。有勢力場中，兩種流體交界面必為等壓面（等勢面）?！?-3靜止液體的壓強分布

工程實際中，液體ρ=常數(shù),質(zhì)量力只有重力。取Z軸為海拔高度方向，則壓強與高度的關系當z=const時，p=const， ——等壓面是一個水平面同一種液體中，p隨z的增加而變小壓強隨液深（淹深）線性增加。帕斯卡定律（1650年）：自由面上的壓強p0的任何變化，都會等值的傳遞到液體中的任何一點。用開口管測壓強，液柱高度為用真空管測壓強，液柱高度為根據(jù)，可以定義位置高度（位置水頭）z：點距離基準面的高度。壓強高度（壓強水頭）：壓強的度量流體壓強按計量基準的不同可區(qū)分為絕對壓強和相對壓強。以完全真空時的絕對零壓強(p＝0)為基準來計量的壓強稱為絕對壓強。以當?shù)卮髿鈮簭姙榛鶞蕘碛嬃康膲簭姺Q為相對壓強，也稱計示壓強或表壓強。當自由液面上的壓強是當?shù)卮髿鈮簭妏a時，有：

（2-8）或（2-9）式中p—流體的絕對壓強，Pa；

pe—流體的相對壓強，Pa。因為pe可以由壓強表直接測得，所以又稱計示壓強。當流體的絕對壓強低于當?shù)卮髿鈮簭姇r，就說該流體處于真空狀態(tài)。例如水泵和風機的吸入管中，凝汽器、鍋爐爐膛以及煙囪的底部等處的絕對壓強都低于當?shù)卮髿鈮簭姡@些地方的計示壓強都是負值，稱為真空或負壓強，用符號pv表示，則

（2-10）如以液柱高度表示，則(2-11)

式中hv稱為真空高度。在工程中，例如汽輪機凝汽器中的真空，常用當?shù)卮髿鈮簭姷陌俜謹?shù)來表示，即：（2-12）式中B通常稱為真空度。真空絕對壓強相對壓強/計示壓強絕對壓強絕對壓強、計示壓強和真空之間的關系常用壓強單位與換算：1mmH2O=9.807Pa（4℃時，1mm水柱產(chǎn)生的壓強）1Torr=1mmHg=133.3Pa（1托，0℃時，1mm水銀產(chǎn)生的壓強）1atm=101325Pa（1個標準大氣壓）1at=1kgf/cm2=98065Pa（1個工程大氣壓，海拔200m處）1bar=105Pa（1巴，常用于氣象）1psi=1磅力/英寸2=6887Pa（英制單位）§2-4液柱式測壓計U形管：P－Pa=ρ’gh2－ρgh1

Π形管：p1=p0+ρg(Δh+x)p2=p0+ρgx

p1－p2=ρgΔh

傾斜微壓計P1－P2=ρ’g(Δh+lsinθ)∵A0l=AΔh

∴P1－P2=ρ’g(sinθ+A0/A)l定義:傾斜系數(shù)K＝ρ’(sinθ+A0/A)則P1－P2＝Kgl例題例2-3復式壓差計測氣體管道的壓強差點1的壓強pA點2的壓強PA－ρ2(Z2－Z1)g

點3的壓強PA－ρ2(Z2－Z1)g+ρ1(Z2－Z3)g所以：PA－PB=ρ2(Z2－Z1+Z4－Z3)g－ρ1(Z2－Z3)g

點4的壓強PA－ρ2(Z2－Z1)g+ρ1(Z2－Z3)g－ρ2(Z4－Z3)g=PB當P=Pa時，杯和管的水銀面平齊，P<Pa時，杯的水銀面上升Δh，測管液面下降hpa=p+ρ汞(h+Δh)g例2-4杯式水銀真空計求杯口氣壓P的真空度§2-5靜止大氣的壓強分布本節(jié)研究國際標準大氣的壓強、密度、溫度隨海拔高度的變化國際標準大氣:國際上約定的(海平面上的)大氣狀況.基準大氣參數(shù)：450（緯度）海平面z=0，T0=15℃，p0=101325Pa，

ρ0=1.225kg/m3，滿足理想氣體狀態(tài)方程p=ρRT，氣體常數(shù)R＝287Nm/kgK。地面上的大氣分為對流層（0～11km）和同溫層（11～50km）。對流層：高度為z=0～11000m在對流層內(nèi),溫度隨高度增加而線性減少T=T0－βZ=T0－0.0065ZT0=288K,β=0.0065K/m，則：當z1=11000m時，P1=0.0031P0,T1=216.5K,由狀態(tài)方程算得ρ1=0.2968ρ0例：喜馬拉雅山頂，z=8848m，

T=288－0.0065×8848=230.5K,!如按：P＝P0－ρgz=101325-1.225

×8848＝-104851Pa同溫層

高度為Z=11000～50000m在同溫層內(nèi),溫度為常數(shù)T1=216.5K習題2-32-72-8§2-6靜止液體作用在平面壁和曲面

壁上的總壓力靜止液體對固體壁面的合力、合力作用點（壓力中心）壓力體的概念

垂直平面壁形心：面的形心就是截面圖形的幾何中心。壓力中心：淹沒面積上的壓力合力（總壓力）的作用點。壓力中心永遠在形心之下，面在液體中下降的越深，壓力中心就越靠近面的形心。靜面矩（靜矩，面積矩）慣性矩慣性積xCyxyCCxydAO

傾斜平面壁結(jié)論：平板所受的總壓力的大小F等于平板形心的壓強乘以板的面積，其方向垂直于平板。對于微元dA，左邊受水壓力，右邊受大氣壓力式中，為平板對x軸的靜面矩。C點為形心，hc是形心C的液深（淹深）?？倝毫：

壓力中心求合力作用點D的坐標xD，yD總壓力F對x軸、y軸的矩等于所有微元上的壓力對該軸的矩。Jxy=Jcxy+xcycA，Jx=Jcx+y2cA

Jxy為面積A對x、y兩軸的慣性積，Jx為為面積A對x軸的慣性矩。設形心C的坐標為xc，yc,。根據(jù)平行移軸原理有：慣性積Jcxy可正可負，故xd可能大于xc，也可能小于xc。而Jcx＞0，故yd

＞yc，即壓力中心總在形心的下方。

平行移軸原理：任何平面圖形對某軸的慣性矩等于它對該軸的形心軸的慣性矩與圖形面積乘以兩軸之距的平方的和，任何平面圖形對兩條相垂直的軸的慣性積等于它對平行于該兩軸的形心軸的慣性積與面積乘以兩對平行軸間距的乘積之和。yxdAO(A)yx0y0CyCy0證明：靜止液體作用在水平面上的總壓力

由于水平面是水平放置的，壓強分布是均勻分布的，那么僅有液體作用在底面為A、液深為h的水平面的總壓力：F=ρghA

總壓力的作用點是水平面面積的形心。

可見，僅由液體產(chǎn)生作用在水平平面上的總壓力同樣只與液體的密度、平面面積和液深有關。靜水奇象靜水奇象如圖所示，四個容器裝有同一種液體，根據(jù)式（F=ρghA），液體對容器底部的作用力是相同的，而與容器的形狀無關，這一現(xiàn)象稱為靜水奇象。換句話說，液體作用在容器上的總壓力不要和容器所盛液體的重量相混淆。工程上可以利用這一現(xiàn)象對容器底部進行嚴密性檢查。例題例2-6一塊寬為B，傾角α的平板，沒入水中的長度為L.總壓力:壓力中心:例題例2-7單位寬度的平板將渠道上下游的水隔開，此平板可繞固定鉸軸O轉(zhuǎn)動，O至板底B的距離設為S，上、下游的水深為H和h。求證:為保證此平板閘門不會自動開啟,必有:證明上下游的濕水長度

L=H/sinθ,l=h/sinθ上下游的總壓力力F和f對O取矩整理得例題圖示的單位寬度平板閘門，已知h=1.5m,α=600,水的總壓力F的大小及作用點位置.解:板AB之長L=h/sinα,

f1=ρgHL,f2=0.5ρghL，F(xiàn)=f1+f2FDB=f1L/2+f2L/3DB=(f1L/2+f2L/3)/F曲面壁總壓力在x方向的分量總壓力在z方向的分量V稱為壓力體的體積.V——曲面、水平面，過曲面周邊的（無數(shù)條）鉛直線圍成的空間的體積。壓力體與受壓面在同一側(cè)的叫做實壓力體，液體壓力向下；壓力體與受壓面不在同一側(cè)的叫做虛壓力體，液體壓力向上。

壓力體舉例如圖巨石擋水

FZ=ρg(Vebcf

－Veba)=ρgVabcf壓力體總是自液面往下，并覆蓋整個邊界；但作用力的方向可向上也可向下。

分析浸沒在液體中的球的壓力體。分析下圖中所示的壓力體：例2-9求三個油蓋的壓力如圖示,水箱壁面有三個半球形蓋,已知R=0.5m，H=2.5m，h=0.75m，求三個半球該所受的靜水總壓力.解：蓋1，F(xiàn)x=0蓋2蓋3習題2-142-162-192-21§2-7

液體的相對靜止1．液體隨容器作等加速直線運動fx=－a

fz=－gdp=ρ(－adx－gdz)等壓面方程:dp=0,adx+gdz=0積分得:z=-ax/g+const自由面是等壓面:z0=-ax/g壓強分布:p=ρ(-ax-gz)+p0=p0+ρg(z0－z)

問題：＝？液體對底板壓力＝？液體對前后側(cè)板壓力＝？2．液體隨容器作等角速度旋轉(zhuǎn)運動fy=ω2rsinθ=ω2yfx=ω2rcosθ=ω2xfz=-gdp=ρ(ω2xdx+ω2ydy－gdz)等壓面方程：ω2xdx+ω2ydy－gdz=0積分得：自由面方程：壓強分布：例2-11離心鑄造機用離心鑄造機鑄造車輪,鐵水密度為ρ,已知h,D,ω,求鐵水對于圓平面A-A的總壓力解：壓強分布面A-A上,z=-h，鐵水總壓力為例題一個圓桶,底面半徑R=0.1m,高H=0.3m,內(nèi)盛深h=0.2m的液體,若使桶和液體以角速度ω旋轉(zhuǎn).求:1.液體開始被拋出時所需的ω;2.當液面最低點降至圓筒底面時所需的ω.解1.旋轉(zhuǎn)拋物面所圍的體積等于同高圓柱體體積的一半.0.5(H-h1)A=(H-h)A式中,A為桶的底面積.得h1=0.1m當z=H－h(huán)1=0.2m時，r=R=0.1m2.當液面最低點降至圓筒底面時

z=H=0.3m,r=R=0.1m解習題2-172-232-312-8浮體與潛體的穩(wěn)定性一、浮力的原理如圖2-27所示，有一物體沉沒在靜止的液體中，它受到的靜水總壓力P可以分解成水平分力px、py和垂直分力pz。先確定水平分力。對于浸沒于液體中的物體，可以找到一個母線平行于x軸的水平外切柱面與物體相切的封閉曲線BCFD，該曲線將物體分成左右兩部分，作用于物體上沿著x方向的水平分力px就是這兩部分的外部曲面上的水平分力Px1與Px2之和，它們的大小各為相應曲面在垂直于軸的垂直投影面上的水壓力。而這兩部分在此垂直面上的投影面完全重合，故Px1與Px2大小相等，方向相反，因此Px=0。同理可得作用于物體上沿著y方向的水平分力Py=0。也就是浸沒于液體中的物體在各水平方向的總壓力為零。Pz1JKABCDEFPx2PzPx1Pz2圖2-27浮力原理再確定垂直分力。作該物體的垂直外切柱面，與物體相切得封閉曲線ACED，將物體分成上下兩部分，液體作用在上部分表面上的總壓力的垂直分力Pz1等于壓力體ABEKJ的液體重量，方向垂直向下，即Pz1=ρgVABEKJ液體作用在下部分表面上的總壓力的垂直分力Pz2等于壓力體AFEKJ的液體重量，方向垂直向上，即Pz2=-ρgVAFEKJ液體作用于整個物體上的總壓力的垂直分力Pz是上下兩部分的外部曲面上的垂直分力的合力。即Pz=Pz1+Pz2==-ρg(VAFEKJ-VABEKJ)=-ρgVAFEB負號表示方向向上。上面的分析結(jié)果同樣適用于漂浮在液面上的物體。綜上所述，液體作用在沉沒或漂浮物體上的總壓力的方向垂直向上，大小等于物體所排開液體的重量，該力又稱為浮力，作用線通過壓力體的幾何中心，又稱浮心，這就是著名的阿基米德原理。從上面的分析可以看出：浮力的存在就是物體表面上作用的液體壓強不平衡的結(jié)果。一切浸沒于液體中或漂浮于液面上的物體都受到兩個力作用：一個是垂直向上的浮力，其作用線通過浮心；另一個是垂直向下的重力G，其作用線通過物體的重心。對浸沒于液體中的均質(zhì)物體，浮心與重心重合，但對于浸沒于液體中的非均質(zhì)物體或漂浮于液面上的物體重心與浮心是不重合的。

根據(jù)重力G與浮力Pz的大小，物體在液體中將有三種不同的存在方式：1．重力G大于浮力Pz，物體將下沉到底，稱為沉體；2．重力G等于浮力Pz，物體潛沒于液體中，稱為潛體；3．重力G小于浮力Pz，物體會上浮，直到部分物體露出液面，使留在液面以下部分物體所排開的液體重量恰好等于物體的重力為止，稱為浮體。阿基米德原理對于沉體、潛體和浮體都是正確的。利用浮力原理測量液體相對密度如圖所示，比重計浮在純水（相對密度s=1.0）中時，儀器上有一個參考刻度位于水面處；當比重計浮在相對密度s較大的液體中時，由于排開液體體積較少，參考高度將高出水面某個高度△h。如果比重計在純水中淹沒的體積是V，那么在密度較大的液體中淹沒的體積應為V-A△h，比重計受到的浮力為由此得二、潛體的穩(wěn)定性重力與浮力相等，是浮體和潛體維持平衡的必要條件。如果要求浮體