2023年自考線性代數(shù)經(jīng)管類講義

自考高數(shù)線性代數(shù)課堂筆記行列式線性代數(shù)學的核心內容是：研究線性方程組的解的存在條件、解的結構以及解的求法。所用的基本工具是矩陣，而行列式是研究矩陣的很有效的工具之一。行列式作為一種數(shù)學工具不僅在本課程中極其重要,并且在其他數(shù)學學科、乃至在其他許多學科(例如計算機科學、經(jīng)濟學、管理學等)都是必不可少的。1．１行列式的定義?(一）一階、二階、三階行列式的定義(1)定義：符號叫一階行列式,它是一個數(shù),其大小規(guī)定為：。注意:在線性代數(shù)中,符號不是絕對值。

例如,且;(２)定義：符號叫二階行列式，它也是一個數(shù),其大小規(guī)定為:所以二階行列式的值等于兩個對角線上的數(shù)的積之差。（主對角線減次對角線的乘積)?例如(3）符號叫三階行列式，它也是一個數(shù),其大小規(guī)定為

例如＝0

三階行列式的計算比較復雜,為了幫助大家掌握三階行列式的計算公式,我們可以采用下面的對角線法記憶方法是:在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對角線叫主對角線，把右上角到左下角的對角線叫次對角線，這時，三階行列式的值等于主對角線的三個數(shù)的積與和主對角線平行的線上的三個數(shù)的積之和減去次對角線三個數(shù)的積與次對角線的平行線上數(shù)的積之和。?例如:?(1)??=1×5×９+2×６×7+3×4×8-3×5×7－1×6×8－２×4×9=0

（2）?

(3）?

（2)和（3)叫三角形行列式,其中(２)叫上三角形行列式，（３)叫下三角形行列式,由(2）（3）可見,在三階行列式中，三角形行列式的值為主對角線的三個數(shù)之積,其余五項都是0,例如

??

例1ａ為什么值時，

HYPERＬＩNK""\ｔ"_blaｎｋ"［答疑編號10０１0１0１：針對該題提問］?解由于

所以８-3a=０,時

例2當x取何值時，?HYPERＬIＮK""＼ｔ＂＿ｂlank"[答疑編號10０１0１02：針對該題提問]?解：

??

解得0<x<９?所以當0＜x＜9時，所給行列式大于0。?（二）n階行列式?符號:

它由ｎ行、n列元素（共個元素)組成，稱之為n階行列式。其中，每一個數(shù)稱為行列式的一個元素，它的前一個下標i稱為行標,它表達這個數(shù)在第ｉ行上;后一個下標j稱為列標,它表達這個數(shù)在第ｊ列上。所以在行列式的第ｉ行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起見,我們用(i,ｊ)表達這個位置。n階行列式通常也簡記作。

ｎ階行列式也是一個數(shù),至于它的值的計算方法需要引入下面兩個概念。（１)在n階行列式中，劃去它的第ｉ行和第ｊ列,余下的數(shù)按照本來相對順序組成的一個（n－1)階行列式叫元素的余子式，記作例如,在三階行列式??中,的余子式表達將三階行列式劃去第1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對位置組成的二階行列式,所以

相似地,的余子式表達將三階行列式劃去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列式。所以??例１若，求:?（1）

HYPERLIＮＫ""\t"_ｂlaｎk＂[答疑編號１0010103:針對該題提問]

（2)

HYＰERＬIＮK""\ｔ"＿blanｋ"［答疑編號1００1０１04：針對該題提問]?(3）?HYＰＥRLINK"＂\ｔ＂_ｂlａnk"[答疑編號１0０1010５：針對該題提問]

(4）

ＨYＰERLINK""＼ｔ"＿blａnｋ"[答疑編號１0010１06：針對該題提問]?解(1）?（２）?（3)?（4)

（２）符號叫元素的代數(shù)余子式

定義：（系數(shù)其實是個正負符號)例2求例1中的代數(shù)余子式?(1）?ＨYPERＬINK"＂\t"_ｂｌａnk＂[答疑編號10010107：針對該題提問]

(2)?HＹPERLINK""\ｔ"_bｌａnk＂[答疑編號１0０1０１08:針對該題提問]

（３)

HＹPERLＩNK""\t"_ｂlank"[答疑編號1０0１０109：針對該題提問]?（４）?HＹPERLINK"＂\t"_bｌａnk"［答疑編號10010１1０:針對該題提問］

解:(１)

（2)

（3）?

(４)

(假如符號是奇數(shù)，等于相反數(shù);假如是偶數(shù),等于原數(shù)）

例3若

計算(以上兩組數(shù)相等）?HYPERＬIＮK""\t"＿blaｎk"[答疑編號10０10111:針對該題提問]

解：?

??由于

??與例３的結果比較，發(fā)現(xiàn)

?這一結果說明：三階行列式等于它的第一列的元素與相應的代數(shù)余子式的積的和,這一結果可以推廣到ｎ階行列式作為定義。

定義：n階行列式?

即規(guī)定ｎ階行列式的值為它的第一列的元素與相應代數(shù)余子式的積的和，上面結果中由于?

所以有

?特別情形??

例4計算下列行列式?(1）

HＹＰEＲLＩNK＂"＼t"_blａnk"[答疑編號１００1０１12：針對該題提問］?

?由本例可見四階上三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積

（2）

HＹPERLINK"＂＼ｔ＂＿ｂlank"[答疑編號１001011３:針對該題提問]?

?

可見五階上三角形行列式的值仍等于它的主對角線各數(shù)之積

一般地可推得?

即任意n階上三角形行列式的值等于它的主對角線各數(shù)之積?同理有

１.2行列式按行（列)展開?在1.1節(jié)講n階行列式的展開時,是把按其第一列展開而逐步把行列式的階數(shù)減少以后,再求出其值。事實上,行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值。?現(xiàn)在給出下面的重要定理，其證明從略。定理1.2.1（行列式展開定理)n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與其相應的代數(shù)余子式的乘積之和,即

（i＝１,2,…,n)(1．8)

或（j=1,２，…，ｎ）（１.9）?其中,是元素在D中的代數(shù)余子式。定理１．２.1（行列式展開定理）n階行列式等于它的任意一行(列)的各元素與其相應的代數(shù)余子式的乘積之和,即?(i=1，2，…,n）（1.8）

或（ｊ=１,2,…，n）(1.9)

其中，是元素在D中的代數(shù)余子式。?(１．８）式稱為Ｄ按第ｉ行的展開式,(1.9）式稱為D按第j列的展開式，這里i，j＝1,2,…?上述展開定理也可以表達成（i=1，２,…，n)

（j=1,2,…,n)這兩個展開式中的每一項都由三部分組成:元素和它前面的符號以及它后面的余子式，三者缺一不可！特別容易忘掉的是把元素（特別是）謄錄下來。?根據(jù)定理1.2.1知道,凡是含零行（行中元素全為零）或零列（列中元素全為零)的行列式，其值必為零。?特別情形

(1)??（2）

例5計算

HYPEＲLINＫ""\ｔ"＿blaｎk"［答疑編號10010２01：針對該題提問]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展開（解題技巧）

?

?可見四階下三角形行列式的值也等于它的主對角線各數(shù)之積

例５的結果可推廣為我們稱這種行列式為下三角行列式(可任意取值的元素在主對角線的下面）。?例6計算?HＹＰＥRLIＮK""\t"_ｂlanｋ"[答疑編號１001０202：針對該題提問］?解:由于第2行含０最多，所以應按第二行展開??

??

?例7計算

HYPEＲLINK"＂\ｔ＂_blank"[答疑編號10010２03：針對該題提問]

解:將按第6行展開得

?

?例8計算?(1）?HＹPERＬIＮＫ＂"＼t"_blank＂[答疑編號1001０20４:針對該題提問]

解：按第４行展開???(２)

HYPＥRＬINK""＼t＂_ｂlaｎk"[答疑編號1０0102０5：針對該題提問］

解：將D按第一行展開

?（重新分組后得出)1．3行列式的性質與計算

由于n階行列式是n！項求和，并且每一項都是n個數(shù)的乘積,當n比較大時,計算量會非常大，例如，10!=３6２8８00。所以對于階數(shù)較大的行列式很難直接用定義去求它的值，這時運用行列式的性質可以有效地解決行列式的求值問題。下面我們來研究行列式的性質,并運用行列式的性質來簡化行列式的計算。??1.3.1行列式的性質?將行列式D的第一行改為第一列,第二行改為第二列……第n行改為第n列,仍得到一個n階行列式，這個新的行列式稱為D的轉置行列式，記為或。即假如

?則性質1行列式和它的轉置行列式相等，即或?根據(jù)這個性質可知,在任意一個行列式中,行與列是處在平等地位的。凡是對“行”成立的性質，對“列”也成立;反之,凡是對“列”成立的性質,對“行”也成立。所以只需研究行列式有關行的性質，其所有結論對列也是自然成立的。(運用最多)性質２用數(shù)k乘行列式D中某一行（列)的所有元素所得到的行列式等于kD。這也就是說，行列式可以按某一行和某一按列提出公因數(shù)：?證將左邊的行列式按其第i行展開以后，再提出公因數(shù)k,即得右邊的值:

?注意假如行列式有多行或多列有公因數(shù),必須按行或按列逐次提出公因數(shù)。?例１計算行列式:

HＹPERＬＩNK""\t"_blaｎk"［答疑編號10010２06:針對該題提問］

解?=３0（4+6+5-2-４-１5）

＝3０（－6）＝-180

在例1的計算過程中，我們先提出第二行的公因數(shù)2和第三行的公因數(shù)3,得到第一個等號右邊的式子,然后提出這個行列式中第三列的公因數(shù)５，把行列式中各元素的絕對值化小以后,再求出原行列式的值。

例2

ＨYPERLIＮK＂"＼t"_ｂlａnｋ"［答疑編號1001０2０7:針對該題提問］

?由于

?所以原式=4abcdｅf?這里是把上式第一個等號左邊的行列式的第一、二、三行分別提出了公因子a，ｄ,f,第二個等號左邊的行列式的第一、二、三列分別提出了公因子b,ｃ,e,化簡后再求出其值。

例３計算行列式:?在行列式D的每一行中都提出公因數(shù)（-１）并用行列式性質１可以得到

HYPERＬIＮK""＼t"_blank"[答疑編號100102０8:針對該題提問]?

由于行列式Ｄ是一個數(shù),所以由D=-D，可知行列式D＝0。

用這種方法可以證明：任意一個奇數(shù)階反對稱行列式必為零。所謂反對稱行列式指的是，其中主對角線上的元素全為0,而以主對角線為軸,兩邊處在對稱位置上的元素異號。即若是反對稱行列式，則它滿足條件（運用最多)性質3互換行列式的任意兩行(列）,行列式的值改變符號。即對于如下兩個行列式?

有根據(jù)這個性質可以得到下面的重要推論:?推論假如行列式中有兩行(列)相同,則此行列式的值等于零。?由于互換行列式Ｄ中的兩個相同的行（列)，其結果仍是D，但由性質３可知其結果為-D,因此D=-D,所以Ｄ=0。性質4假如行列式中某兩行（列）的相應元素成比例，則此行列式的值等于零。證設行列式Ｄ的第i行與第j行的相應元素成比例,不妨設第j行元素是第i行元素乘以k得到的，則?

由于將行列式D中第ｊ行的比例系數(shù)k提到行列式的外面來以后，余下的行列式有兩行相應元素相同,因此該行列式的值為零，從而原行列式的值等于零。行列式中某兩列元素相應成比例的情形可以類似地證明。

例４驗算ｘ=３是否是方程的根。

HYＰERLＩNK""\t"_ｂlank"[答疑編號１00１0209：針對該題提問]?解:由于(第二行與第四行成倍數(shù)）?∴ｘ＝3是方程ｆ(ｘ）=0的根。性質5行列式可以按行(列)拆開,即

證將左邊的行列式按其第i行展開即得

?這就是右邊兩個行列式之和。（運用最多）性質6把行列式Ｄ的某一行（列)的所有元素都乘以同一數(shù)k以后加到另一行（列)的相應元素上去,所得的行列式仍為D。?即：例5證明：??的充要條件是ｋ＝1或ｋ=±2?HＹPERLINK"＂＼t"＿ｂｌａnk"[答疑編號1001０３０１：針對該題提問]

證由于?(第一行的數(shù)乘與(-1)加到第二行上去）?

所以，D=０的充要條件是k=１或ｋ=±2。

此題中,為了敘述方便，我們引入了新的記號，將每一步的行變換寫在等號上面（若有列變換則寫在等號下面,本題沒有列變換）,即第一步中的②＋（-1)×①表達將第一行的-1倍加到第二行上,第二步是第一列展開。

根據(jù)行列式的展開定理與行列式的性質，我們有下面的定理：定理1.3.１n階行列式的任意一行(列)各元素與另一行（列）相應元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即，(１.10)

,（1.11)

1．３.2行列式的計算

行列式的計算重要采用以下兩種基本方法。

(1）運用行列式的性質,把原行列式化為容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化為上三角(或下三角)行列式再求值。此時要注意的是，在互換兩行或兩列時，必須在新的行列式的前面乘上(-1)，在按行或按列提取公因子k時,必須在新的行列式前面乘上ｋ。?（2)把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)減少，再求出它的值，通常是運用性質６在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個“0”元素,再按包含０最多的行或列展開。?例6計算行列式?HYPEＲLINＫ""\ｔ"＿ｂlａnk＂［答疑編號10０10302：針對該題提問］

解由于上三角行列式的值等于其主對角線上元素的乘積,所以我們只要設法運用行列式的性質將行列式化為上三角行列式,即可求出行列式的值。

??

我們在計算例６中的行列式時,是運用行列式的性質先將它化成上三角行列式后，再求出它的值，事實上在計算行列式的值時,未必都要化成上三角或下三角行列式，若將行列式的性質與展開定理結合起來使用，往往可以更快地求出結果。

例7計算行列式：?

HYPERLＩNK＂＂\ｔ"_blａnk"［答疑編號１０010３0３:針對該題提問]

解觀測到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，運用這個(1,１)位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化為０,然后按第一列展開，可將這個四階行列式降為三階行列式來計算,具體環(huán)節(jié)如下:

按第一列展開，得

=(-1）×2×???例８計算行列式（把最簡樸的調到第一列或是第一旬)?HYＰＥＲLINK""\t"_bｌank"[答疑編號１0010304：針對該題提問]?

?在本例中，記號①②寫在等號下面，表達互換行列式的第一列和第二列，②+５×①寫在等號下面,表達將行列式的第一列乘以5后加到第二列。?例９計算行列式：（例子很特殊)

?HＹPERLＩNK""\t"_blａnk＂[答疑編號100１03０５:針對該題提問]

解這個行列式有特殊的形狀,其特點是它的每一行元素之和為６,我們可以采用簡易方法求其值,先把后三列都加到第一列上去,提出第一列的公因數(shù)6,再將后三行都減去第一行：?(３2)？?例1０計算行列式:a2-b2=（a+b)(a-b)?HYPＥRLＩNK"＂＼t＂_bｌａnｋ"[答疑編號１0010306：針對該題提問］

例11計算n階行列式(n>１）:

HYPEＲLINK""＼t"_ｂlａnk"[答疑編號10０10307：針對該題提問]

解將行列式按第一列展開,得?(簡化的過程就是消階，次方也應減少,為（N-1）等??

例１2計算范德蒙德(VａnderMｏndｅ)行列式:

HYＰERLINK""＼t"_blanｋ"[答疑編號１０010３08:針對該題提問]（第一行乘（－X１）加到第二行上;第二行乘(-X1）加到第三行上）

?

??例13計算?HＹPERLINK""\t＂_ｂlank＂[答疑編號1０010309:針對該題提問]

（這是個定律)

例14計算（解題規(guī)律:每行或是每列中的和是同樣的,故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個數(shù)當公因數(shù)提取,形成有一行或是列全為“1”的行列式，然后再化簡）?HYPＥＲＬＩＮＫ＂"\t"_ｂlａnk"[答疑編號1０010３10：針對該題提問］

=（x＋4a)（ｘ-a）４?1.4克拉默法則?由定理1.2.1和定理1.3.１合并有

?或

（一）二元一次方程組（方程１、２左右同乘以一個數(shù)，上下對減)

?由a2２＊①-a12*②得

?由a1１②－a21①得

令=D＝Ｄ1=D２

則有A是常數(shù)項∴當D≠０時，二元一次方程組有唯一解

(二)三元一次方程組??令叫系數(shù)行列式?，，

由D中的A1１①+Ａ2１②+A3１③得

即?由D中的A12①+A２2②＋A32③得

即

由D中的Ａ1３①+A2３②+A3３③得

?即∴當D≠0時，三元一次方程組有唯一解?一般地,有下面結果定理（克拉默法則）

在n個方程的n元一次方程組

(1）

中，若它的系數(shù)行列式

≠0

則n元一次方程組有唯一解。推論:在n個方程的n元一次齊次方程組?(２)?中

（1）若系數(shù)行列式D≠0，方程組只有零解??（2)若系數(shù)行列式D＝0

則方程組（2）除有零解外,尚有非零解(不證)例在三元一次齊次方程組

?中,ａ為什么值時只有零解,a為什么值時有非0解。?ＨYPＥRLINＫ"＂\t"＿bｌanｋ"[答疑編號１00１０4０1:針對該題提問]?解：＝2a－6+3-4-（-9）-a=a+２?∴（１)a≠-2時，D≠０,只有零解

（2）a=-2時,D=0,有非零解。

本章考核內容小結?（一）知道一階,二階，三階,n階行列式的定義

知道余子式,代數(shù)余子式的定義

(二)知道行列式按一行(列）的展開公式??

(三)熟記行列式的性質，會用展開公式或將行列式化為三角形的方法計算行列式

重點是三階行列式的計算和各行（列)元素之和相同的行列式的計算

(四）知道克拉默法則的條件和結論

矩陣矩陣是線性代數(shù)學的一個重要的基本概念和數(shù)學工具,是研究和求解線性方程組的一個十分有效的工具;矩陣在數(shù)學與其他自然科學、工程技術中，以及經(jīng)濟研究和經(jīng)濟工作中解決線性經(jīng)濟模型時，也都是一個十分重要的工具。本章討論矩陣的加、減法,數(shù)乘,乘法，矩陣的轉置運算，矩陣的求逆,矩陣的初等變換，矩陣的秩和矩陣的分塊運算等問題。最后初步討論矩陣與線性方程組的問題。

?2.1矩陣的概念??定義2．１.1由m×n個數(shù)aij（i=1，２，…,ｍ;j＝1,2,…,n）排成一個m行n列的數(shù)表?用大小括號表達?稱為一個m行ｎ列矩陣。矩陣的含義是,這m×ｎ個數(shù)排成一個矩形陣列。其中ａij稱為矩陣的第i行第j列元素(ｉ=1,２，…，m;ｊ＝1,2，…，n)，而i稱為行標,ｊ稱為列標。第ｉ行與第ｊ列的變叉位置記為(i,ｊ）。

通常用大寫字母A，B,C等表達矩陣。有時為了標明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,也可記為?Ａ=(aｉj)m×n或(ａij）ｍ×ｎ或Ａm×ｎ

當m=n時,稱A=（aiｊ)ｎ×ｎ為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n２個數(shù)排成一個正方形表，它不是一個數(shù)（行列式是一個數(shù)）,它與ｎ階行列式是兩個完全不同的概念。只有一階方陣才是一個數(shù)。一個n階方陣Ａ中從左上角到右下角的這條對角線稱為Ａ的主對角線。n階方陣的主對角線上的元素a11，a22，…，aｎn,稱為此方陣的對角元。在本課程中，對于不是方陣的矩陣,我們不定義對角元。

元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Om×n或者Ｏ(大寫字)表達。

特別,當m＝1時，稱α=（ａ1,a2，…，an)為n維行向量。它是1×n矩陣。

當n=１時,稱為m維列向量。它是ｍ×1矩陣。?向量是特殊的矩陣，并且它們是非常重要的特殊矩陣。?例如，（a,b,c)是３維行向量,是３維列向量。

幾種常用的特殊矩陣:

１.n階對角矩陣?形如或簡寫為(那不是Ａ,念“尖”）

的矩陣,稱為對角矩陣，對角矩陣必須是方陣。例如，是一個三階對角矩陣，也可簡寫為。

2.數(shù)量矩陣

當對角矩陣的主對角線上的元素都相同時，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式:或。（標了角標的就是N階矩陣，沒標就不知是多少的)

特別，當ａ＝１時,稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為En或Ｉn，即或?在不會引起混淆時,也可以用Ｅ或I表達單位矩陣。?n階數(shù)量矩陣常用aＥn或aIｎ表達。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運算。

3．n階上三角矩陣與n階下三角矩陣?形如

的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。

對角矩陣必須是方陣。一個方陣是對角矩陣當且僅當它既是上三角矩陣,又是下三角矩陣。4．零矩陣

(可以是方陣也可以不是方陣)??2.２矩陣運算?

本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉置等基本運算。只有在對矩陣定義了一些有理論意義和實際意義的運算后，才干使它成為進行理論研究和解決實際問題的有力工具。??2．2.1矩陣的相等（同）定義2.2．１設A＝（aij)m×n，B=（ｂij）k×l,若m=k，n=l且aij=bij，i＝1,2,…,m;j＝1,2，…,n，則稱矩陣Ａ與矩陣Ｂ相等，記為A=Ｂ。由矩陣相等的定義可知，兩個矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，并且兩個矩陣中處在相同位置（i，j)上的一對數(shù)都必須相應相等。特別，

A=（aij)m×n＝Oａij=０,i=1,2，…,ｍ;j=1，2，…,n。

注意行列式相等與矩陣相等有本質區(qū)別,例如

?由于兩個矩陣中（1,2)位置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式

（由于行列式是數(shù)，矩陣是表，表規(guī)定表里的每一個都同樣）?

2.２．２矩陣的加、減法

定義2.２.2設A=（ａij）m×ｎ和B=(bij)ｍ×n，是兩個ｍ×ｎ矩陣。由A與B的相應元素相加所得到的一個m×n矩陣，稱為Ａ與B的和，記為A+B，即

Ａ+Ｂ＝(ａij+bij）m×n。?即若

?則?當兩個矩陣Ａ與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時，稱它們是同型矩陣。只有當兩個矩陣是同型矩陣時,它們才可相加。例如??注意：

(1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別?例如

（階數(shù)相同，所有的行(列）中除某一行（列)不相同外，其余的行都同樣才可以相加,方法是除了這兩個不同的行（列)相加外,其它的不變。）?（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。(階數(shù)大于1它就是一個表,不是一個數(shù)了)?若A＝(aij)為n階方陣，n>1,a為一個數(shù),則A+ａ無意義!但是n階方陣Ａ=(aij）m×n與數(shù)量矩陣aEn可以相加：

(把數(shù)轉化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了）

由定義2.2．２知矩陣的加法滿足下列運算律：

設A，B，Ｃ都是ｍ×n矩陣,Ｏ是ｍ×ｎ零矩陣，則

（1）互換律Ａ+B＝B+A．(乘法沒有互換律）

（2）結合律（A＋B）+Ｃ=A+(B+C）.

(3)A+O=O+A=A.

(４）消去律A+C=B+CA=Ｂ．?２．2．3數(shù)乘運算（矩陣與數(shù)不能相加,但是也許想乘）

定義2.２.3對于任意一個矩陣A=(aij)m×n和任意一個數(shù)k,規(guī)定k與Ａ的乘積為kＡ＝（ｋａiｊ）ｍ×n.(矩陣里的第個原數(shù)都乘以數(shù)Ｋ）?即若?則?由定義2．２.３可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k，而數(shù)ｋ與行列式Ｄn的乘積只是用k乘Dｎ中某一行的所有元素，或者用ｋ乘Ｄn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運算是截然不同的。

根據(jù)數(shù)乘矩陣運算的定義可以知道,數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣Eｎ的乘積。

數(shù)乘運算律

（１)結合律（kl）A=k（lＡ）=kｌA，k和l為任意實數(shù)。

（2）分派律k（Ａ+Ｂ)=kA+kB,(k+l)A＝kＡ＋lA,k和l為任意實數(shù)。例1已知

求2A-3B。

HYＰERLINK＂"\t"_blａnｋ"[答疑編號：10０202３1針對該題提問]

解

???例２已知?

且A＋2X=B,求X。?HYPERLIＮK＂"\t"＿blank"[答疑編號:1０02０２32針對該題提問]?解:（注意是乘以矩陣里的每個元素)?

2．2.４乘法運算定義２.2.４設矩陣A=（aij）m×k，B=（bij)k×n，令C＝(cij）m×ｎ是由下面的m×ｎ個元素ｃｉj=ai1b１j+ai２b2j+…＋aikbkｊ(i=1,2,…，ｍ；ｊ=1,2,…,n）

構成的m行ｎ列矩陣，稱矩陣C為矩陣Ａ與矩陣B的乘積，記為C＝AB。由此定義可以知道,兩個矩陣A=（aij)和B=（bij)可以相乘當且僅當A的列數(shù)與B的行數(shù)相等。當C=AB時，Ｃ的行數(shù)=Ａ的行數(shù)，C的列數(shù)=Ｂ的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣A的第ｉ行元素與矩陣B的第j列相應元素的乘積之和。?例3若且ＡB=C

求矩陣C中第二行第一列中的元素Ｃ21?ＨＹPＥＲLINＫ""\t＂_blａnk"[答疑編號：10０2０233針對該題提問]

解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素相應乘積之和?∴C２１=2×1＋1×3+0×0＝5

例4設矩陣?(列行)

求AB。

HＹPERLINK""＼t"_blａnk＂［答疑編號：1002０２3４針對該題提問]

解:＝

這里矩陣A是３×3矩陣,而Ｂ是３×2矩陣,由于B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等,所以BA沒故意義。

例5求（1)Ａ3E3（２）E3A３

解:（1)?

HYPＥRLＩNＫ""\t"_blanｋ"[答疑編號：１０020235針對該題提問］?（2)

HYPERLIＮK＂"\ｔ"＿ｂlank＂[答疑編號:1０020236針對該題提問]?由本例可見A3E3=E3A3=A3,并且可以推廣有??它與代數(shù)中的1·a=a·1=ａ比較可見單位矩陣En在乘法中起單位的作用。?例6設矩陣??求AB和BA

HYＰERLＩＮK""\ｔ"_ｂｌaｎk＂[答疑編號：１0020237針對該題提問］

解:

現(xiàn)在，我們對矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。?數(shù)的乘法有互換律，矩陣乘法沒有普遍互換律。(差別)?例7設求?（１）AB（2）AC?解(1）?HＹPERLＩNK""［答疑編號：10020２38針對該題提問］?(2）

HＹPEＲLＩNＫ＂"\ｔ"_blａnｋ"[答疑編號：10020239針對該題提問]

可見AB＝AC

眾所周知,兩個數(shù)的乘積是可互換的:aｂ＝ba,因而才有熟知的公式：

(a+b）2=ａ2+２ab＋b2，a2-b2＝(a+b）（a-ｂ)，（ab）k=akbｋ.?兩個非零數(shù)的乘積不也許為零。因此，當ａb=0時，必有ａ=0或ｂ＝０。當ａb=ａc成立時，只要a≠０,就可把a消去得到b=c。(這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣)

由矩陣乘法及上述例6、例7可知：?（1）單位矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可互換：ＥnＡ=AEn＝A

（2）數(shù)量矩陣與任意一個同階方陣的乘積必可互換：（ａＥn)A=A（aＥn）.

（3）在一般情形下，矩陣的乘法不滿足互換律，即一般AＢ≠ＢA。

（4）當ＡB=Ｏ時,一般不能推出A=Ｏ或B=O。這說明矩陣乘法不滿足消去律。?(5）當AB=ＡC時，一般不能推出B＝C。（消去律）若矩陣A與B滿足ＡB=BA，則稱A與B可互換。此時，A與B必為同階方陣。

矩陣乘法不滿足消去律,并不是說任意兩個方陣相乘時，每一個方陣都不能從矩陣等式的同側消去。在下一節(jié)中我們將會看到,被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側消去。?例8設矩陣,求出所有與Ａ可互換的矩陣。（即AＢ=ＢA）

HYＰERＬＩNK＂"\t"_ｂlａｎk"[答疑編號:10０２0231針對該題提問］

解由于與A可互換的矩陣必為二階矩陣,所以可設為與A可互換的矩陣,則??

由AX=ＸA,可推出x1２=0，x11=x２2，且x１1，x21可取任意值,即得

。（對角線必須同樣)?例9解矩陣方程,X為二階矩陣。?HYＰERLINＫ""＼ｔ"_ｂlａｎk"[答疑編號:1002０232針對該題提問]

解設。由題設條件可得矩陣等式：?

由矩陣相等的定義得

（列出兩組方程式)

解這兩個方程組可得ｘ11＝1，ｘ21=－1，x１２＝1,x22=０。所以。

乘法運算律

(1）矩陣乘法結合律（AＢ)C=A（BＣ）。(不改變順序)?（2)矩陣乘法分派律(Ａ+B)C=AＣ+BC，Ａ（B＋C)=AB＋ＡC。?(3)兩種乘法的結合律k（AＢ)=（ｋA）B=Ａ(ｋＢ）,k為任意實數(shù)。?（4)EmAｍ×ｎ＝Aｍ×n，Am×nEｎ=Am×n(其中Eｍ,En分別為m階和n階單位矩陣)。矩陣乘法的結合律要用定義直接驗證（證略),其他三條運算律的對的性是顯然的。

方陣的方冪

設Ａ為n階方陣,由于矩陣乘法滿足結合律,所以可以不加括號而有完全擬定的意義。

我們定義A的冪(或稱方冪）為由定義可知,ｎ階方陣的方冪滿足下述規(guī)則：?AkAl=Ak+l，(Ak)l=Ａkl，k,l為任意正整數(shù)。

例1０用數(shù)學歸納法證明以下矩陣等式：?（1)（2)。

證（1)當ｎ=１時，矩陣等式顯然成立。假設當ｎ＝k時,矩陣等式成立,即?則

知道,當n=k+1時，矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n，此矩陣等式成立。?HYPERLＩNK""\t"_bｌank＂［答疑編號：10020233針對該題提問］?(２)當n＝1時,矩陣等式顯然成立。假設當n=k時,矩陣等式成立,即?則

知道，當n＝k+1時,矩陣等式也成立。所以對任意正整數(shù)n,此矩陣等式都成立。

HYPＥRLＩNＫ＂"\t＂_blank"[答疑編號:1００2023４針對該題提問]?例1１設n階方陣A和B滿足,證明：（解Ｂ平方為多少)

。?HYPERLＩNK＂"\ｔ"_blank"[答疑編號:10020２３5針對該題提問]

證由可推出B=2A-Ｅn。再由

B２=(2Ａ-En)(2A－Ｅｎ）＝４A２-4A＋En（E等于1呀）

證得

例12

?前者是數(shù),后者是n階方陣，兩者不相等，即AB≠BＡ.（行乘列為數(shù)，列乘行為N階方陣)

HYPERLＩNK""\t"_bｌank"[答疑編號：1002０23６針對該題提問]

由于矩陣乘法不滿足互換律,所以對于n階方陣Ａ和B,有以下重要結論：?(1)（A+Ｂ)2＝（A＋Ｂ）（A＋B)=A2+AB＋BA+Ｂ2=Ａ2+2AＢ+B2AB=BＡ。?(2)（Ａ+B)(A-B)＝Ａ2-ＡB+BＡ-B２=A2-B２AB=BA。

(3)當AB=ＢA時必有（AB)k=ＡkBk.（只有兩者兩等時成立)例如AB=BＡ時,(AＢ）2=（AＢ）（AB)=ABＡB＝Ａ（BA)B＝AABＢ=（AA）(BB)=A2B2

但AB≠BA時，則上面結果不成立。

例13設，,則有

?

??

ＨYＰERLINK＂"\ｔ＂_blank"［答疑編號:１0０20237針對該題提問]

由于矩陣乘法不滿足消去律,所以對于ｎ階方陣Ａ和B，有以下重要結論：

(1）ＡB=Ｏ,A≠O不能推出B=O。例如時（兩個不等于零的方陣相乘或是一個數(shù)平方也也許等于零）

(2)由A2＝O不能推出Ａ=Ｏ。例如則

（3)由AＢ=AC,Ａ≠O不能推出Ｂ＝C。例如時（同系數(shù)兩個數(shù)或是兩個數(shù)的平方相等）?即ＡB＝AC,但B≠C

（4)由A2＝Ｂ2不能推出A=±B。例如,取?則???2．2.5矩陣的轉置?

定義2.２.5設矩陣

把矩陣的行與列互換得到的n×m矩陣,稱為矩陣A的轉置矩陣，記作AT或Ａ’,即

易見Ａ與AT互為轉置矩陣。特別,n維行（列)向量的轉置矩陣為n維列(行）向量。例如,則?若A=(ａ１，a2,…，an)則

若則BT=(ｂ１，b２,…,ｂn）?例14假如已知A為l×ｎ矩陣，BAT為ｒ×l矩陣，證明:B為r×n矩陣。

HYＰＥRＬINＫ""\t"_ｂlａnk"[答疑編號：100202３8針對該題提問]?證設B為x行y列的矩陣

則有BｘxyATｎ×l＝（BAT）x×ｌ?根據(jù)可乘條件有ｙ=ｎ?根據(jù)積的形狀有x=ｒ

所以B為Br×n?例15求

(1）AB（２）（ＡB）T(3）ATBT(４)BＴAT

解：（１）

HYPERＬIＮK""\ｔ"_blaｎk＂[答疑編號：100202３9針對該題提問]?（2)

HYPERLＩNK""＼t"_ｂｌａnk＂［答疑編號:1０020230針對該題提問]?(3)?HYＰＥRＬINＫ＂"＼t"_ｂlａnk"[答疑編號：１002０231針對該題提問］?（4）

HYPERＬINK""＼t＂＿blanｋ"［答疑編號:１０020232針對該題提問］?由本例可見（AB）T=BTAＴ,這一結果有普遍性(不證）

轉置運算律?(1）（AT）Ｔ＝A

（2）(A+Ｂ）T=AT+BＴ?(３）(kA）T=ｋAT,k為實數(shù)。

(4）（AB)T=BTＡT，（Ａ1A2…An）T=AｎＴＡｎ-1T…A１Ｔ.

定義2．2.6設A=（ａij）為n階實方陣。若A滿足AT=A,也就是說A中元素滿足：

aij=aｊｉ，i，j＝1，2，…,n,則稱A為實對稱矩陣。?若A滿足AT=-A，也就是說A中元素滿足：?aiｊ=-aｊi，ｉ,j=1，2,…,n,此時必有aii＝0,ｉ=１,2,…,n，則稱A為實反對稱矩陣。實矩陣指的是元素全為實數(shù)的矩陣，在本課程中,我們只討論實對稱矩陣和實反對稱矩陣,因此，往往省略一個“實”字。例如，?

都是對稱矩陣；??都是反對稱矩陣。

例16證明:任意一個實方陣A都可以惟一地表達為一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和。?ＨYPERＬIＮK""\t"_blank＂［答疑編號：10020２33針對該題提問］

證：取?則Ａ=X+Y

其中=X?∴X是對稱陣。??∴Y是反對稱陣。

（注）舉例證明了下面結論,對任意方陣A都有

(A＋AＴ）是對稱陣

（A-AＴ)是反對稱陣例1７(1)設A為n階對稱矩陣,證明：對于任意n階方陣P,ＰＴAＰ必為對稱矩陣。

(2）假如已知PTAＰ為ｎ階對稱矩陣,問Ａ是否必為對稱矩陣?

證（１）由于A是對稱矩陣,必有AT＝A(滿足這個條件），于是必有?(PTＡＰ）T=ＰTＡTP=PTＡP?這說明ＰＴAP必為對稱矩陣。?ＨYPERLIＮK""＼t"_bｌank"［答疑編號：1002023４針對該題提問］

（２）反之,假如PTAＰ為n階對稱矩陣:(PTAP)T＝PＴＡP,則有?PTＡTＰ＝PＴＡＰ,?但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出ＡT=A，A未必是對稱矩陣。

\ｔ"_ｂlank"[答疑編號：１0０2０301針對該題提問]?解:?所以

由本例可見

一般地應有

方陣的行列式有如下性質:設A，B為n階方陣，ｋ為數(shù)，則

（１);

（2);

（3)。(行列式乘法規(guī)則）(1),（２）的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質直接得到。(3)的證明從略。?例19設，，則

HYＰＥRＬIＮＫ＂"\t"_blank＂[答疑編號：１００２０３０２針對該題提問］?①?②?③,?。?④??于是得

，。?例20設Ａ，B同為n階方陣。假如AB=O,則由?ＨYPERLＩNＫ"＂\t"_bｌank"[答疑編號:100２０３0３針對該題提問]?

知道，必有或。但未必有A＝O或B=O。

例21證明:任意奇數(shù)階反對稱矩陣的行列式必為零。?HYＰEＲLＩNK"＂＼ｔ"_blank"[答疑編號:1002０3０4針對該題提問]

證:設A為2n－1階反對稱矩陣,則有。于是根據(jù)行列式性質1和性質2,得到?，?由于是數(shù)，所以必有。

2.2.7方陣多項式任意給定一個多項式和任意給定一個n階方陣Ａ，都可以定義一個n階方陣,?稱f（Ａ）為Ａ的方陣多項式。注意：在方陣多項式中,末項必須是數(shù)量矩陣而不是常數(shù)。方陣多項式是以多項式形式表達的方陣。例22:設，求f（A）?HYＰERLINK"＂\ｔ＂_ｂlaｎk＂[答疑編號：10020３05針對該題提問］

解：?

??例23:若A＝B-C，其中,。證明

?ＨYPEＲLIＮK"＂\ｔ"_bｌanｋ"[答疑編號：１00203０6針對該題提問]?證：

由

?

2.3方陣的逆矩陣??我們知道，對于任意一個數(shù)ａ≠0，一定存在惟一的數(shù)b,使ab=ｂa=1,

這個ｂ就是a的倒數(shù)，常記為。并且a與b互為倒數(shù)。?對于方陣A,我們可類似地定義它的逆矩陣。定義２.3.1設A是一個n階方陣。若存在一個n階方陣B,使得（其中是ｎ階單位陣），(2.5）

則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣)，并稱方陣B為Ａ的逆矩陣。Ａ的逆矩陣記為，即。若滿足(2.5）式的方陣Ｂ不存在,則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）。

由逆矩陣的定義可見若B是A的逆矩陣。則反過來A也是B的逆矩陣。即若，則有

可逆矩陣的基本性質設A，B為同階的可逆方陣，常數(shù)k≠0,則?(1）為可逆矩陣,且

（2）

（３)證

推廣有

(4)證?

(5）證

（6）

?(７）若A可逆且ＡB=ＡＣ,則有消去律B=C?證:???

如何鑒定一個給定方陣是否可逆呢？為了回答這個問題，我們先給出下面的概念。?定義２.3.2設，為的元素的代數(shù)余子式（i,j＝1,2，…,ｎ）,則矩陣

?稱為Ａ的隨著矩陣,記為。由隨著矩陣的定義可以看出,在構造Ａ的隨著矩陣時，必須放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是說，的第ｉ行元素的代數(shù)余子式，構成的第i列元素。由1.4節(jié)中的定理1.4.1可得??,

即(2.7）?類似可得(2.8)

現(xiàn)在我們來證明下面的重要定理。這個定理給出了鑒定一個n階方陣是否可逆的一個充要條件，以及方陣可逆時,求出其逆矩陣的一個方法。定理2．3.2n階方陣A為可逆矩陣。證:必要性設A是n階可逆矩陣,則存在n階方陣B,使。由方陣乘積的行列式法則，可得?，于是必有。?充足性設為n階方陣且，構造如下n階方陣：?。

則由(2.９)式可得矩陣等式

，

由矩陣可逆的定義可知Ａ是可逆矩陣，并且還得到了求逆矩陣公式

推論:設A,B均為n階矩陣，并且滿足，則A，B都可逆，且,。證：由，可得，因此且，故由定理2.3.２知A可逆，Ｂ也可逆。?在兩邊左乘,得,

在兩邊右乘,得，?這個推論表白，以后我們驗證一個矩陣是另一個矩陣的逆矩陣時,只需要證明一個等式或成立即可,而用不著按定義同時驗證兩個等式。?例１若,求

_bｌａnk"[答疑編號:1０020401針對該題提問］?解：

?

例如：

解：?例2設,當a，b,c,d滿足什么條件時,矩陣A是可逆矩陣？當A是可逆矩陣時,求出。?HYPERLIＮK""＼t"_blank＂[答疑編號：1002０４０2針對該題提問]?解：A可逆。當A可逆時，?例１，例2的結果可以作為求二階方陣的逆矩陣或隨著矩陣的公式?例如,

例3判斷矩陣是否可逆，求出它的逆矩陣。?ＨYＰEＲＬＩＮK""\t"_ｂlank"［答疑編號:1０0204０3針對該題提問]?解(1）由于故矩陣A可逆。?（2)逐個求出代數(shù)余子式和隨著矩陣:

,,?,，?,,

，,?;?。?于是。?由上例可以看出，當n≥3時，用隨著矩陣求逆矩陣計算量是很大的,特別是當n≥4時不宜用隨著矩陣來求逆矩陣。

例４設A為ｎ階方陣，則。

ＨYPEＲＬINK＂"＼t"_bｌaｎk"［答疑編號：１０020404針對該題提問]?證:由知道。當時，顯然有。?例５若。求A的逆矩陣和A＋E的逆矩陣。

ＨYPERLINK"＂\t＂_blａnk"［答疑編號：1002０4０5針對該題提問]

解：（１）

??(2）??例6設Ａ是３階方陣且,求（1）（2）(3)(4)?_blank"［答疑編號：１0020406針對該題提問］

解:（１)?(2）

（3)

（4)??2.４分塊矩陣??分塊矩陣理論是矩陣理論中的重要組成部分，在理論研究和實際應用中,有時會碰到行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣,為了表達方便和運算簡潔,常對矩陣采用分塊的方法，即用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊,每個小塊叫做矩陣的子塊(子矩陣），以子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。?例如,設,?令，,?，，?則A的一個分塊矩陣為

這樣A可以當作由4個子矩陣（子塊)為元素組成的矩陣,它是一個分塊矩陣。分塊矩陣的每一行稱為一個塊行，每一列稱為一個塊列。上述分塊矩陣中有兩個塊行、兩個塊列。

m×n矩陣的分塊矩陣的一般形式為對于同一個矩陣可有不同的分塊法。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。對于任意一個ｍ×ｎ矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法:

行向量表達法，其中，i＝1，2，…,m；

列向量表達法，其中，ｊ=１，2，…,n。?前者也稱為將A按行分塊,后者也稱為將A按列分塊。?例如，?令,，，以及?,，，,

可分別得到A的行分塊矩陣和列分塊矩陣：

,。

下面我們介紹4種最常用的分塊矩陣的運算。需要特別指出的是，分塊矩陣的所有運算僅僅是前面所講的矩陣運算換了一種形式的表述方法,而并不是此外定義一種新的矩陣運算。?

2．４.1分塊矩陣的加法

把m×ｎ矩陣A和B作同樣的分塊：

，,?其中,的行數(shù)的行數(shù);的列數(shù)的列數(shù)，1≤ｉ≤ｒ,1≤j≤s，則??例1設，都是四階方陣的列向量分塊矩陣。已知和,求出行列式的值。?ＨYPERＬＩNＫ"＂＼t"_bｌanｋ＂[答疑編號:1０0２0501針對該題提問]

解：根據(jù)分塊矩陣加法的定義知道,?A+B的前三列都有公因數(shù)２,運用行列式性質２，提出公因數(shù)后可以求出?再運用行列式的性質5，把它拆開以后，即可求出

??

2.４．２數(shù)乘分塊矩陣

數(shù)k與分塊矩陣的乘積為

?2.4．3分塊矩陣的轉置?設?則其轉置矩陣為式中,。分塊矩陣轉置時，不僅看做元素的子塊要轉置,并且每個子塊是一個子矩陣,它內部也要轉置,這一現(xiàn)象不妨稱為“內外一起轉”。例２,

?我們發(fā)現(xiàn):不僅每個子矩陣的位置作了轉置，并且每個子矩陣的內部也作了轉置。

HYＰERＬＩＮK＂＂\t"_blanｋ"[答疑編號:1002050２針對該題提問]?例3設是一個用列向量表達的m×n陣,其中每個都是ｍ維列向量,則A的轉置矩陣是?ＨYＰERLINK""\t"_blaｎｋ"[答疑編號:1002０5０3針對該題提問]?例如，設，則?

2.4．4分塊矩陣的乘法和分塊方陣求逆?設矩陣,。運用分塊矩陣計算乘積AB時，應使左邊矩陣A的列分塊方式與右邊矩陣Ｂ的行分塊方式一致，然后把矩陣的子塊當做元素來看待,并且相乘時，A的各子塊分別左乘B的相應的子塊。

設A，B的分塊方式分別為,?其中為矩陣；為矩陣，且的列數(shù)分別等于的行數(shù),則，

其中(i=１,2,…,r，ｊ=１，2…，t）。?例4對于矩陣

,,

用分塊矩陣計算AB。

ＨYPERＬIＮＫ""\ｔ"＿bｌaｎk＂[答疑編號:１0０２050４針對該題提問]

解：將矩陣A，B分塊如下:?，，?其中，，,,?于是得到

由于,?所以。?例5設Ａ為m×k矩陣，B為k×n矩陣,則AB為m×n矩陣。?若把B采用列向量表達:,則?若把A采用行向量表達：，

則。?特別地,當AB＝O時,由可得。

\t＂＿blaｎk"[答疑編號:10０20505針對該題提問］方陣的特殊分塊矩陣重要有以下三類:（凡空白處都是零塊)

(１）形如的分塊矩陣稱為分塊對角矩陣或準對角矩陣,其中均為方陣。?（2)兩個準對角矩陣的乘積設是同階方陣,則

?若對某個1≤i≤ｒ,不是同階方陣,則上面的兩個分塊對角矩陣不能相乘。

(3）準對角矩陣的逆矩陣若都是可逆矩陣，則分塊對角矩陣?可逆，并且用分塊矩陣的乘法，容易驗證上式成立。

例６求矩陣的逆矩陣。

ＨYPＥＲLINK""＼t"_ｂlanｋ"[答疑編號：100２0506針對該題提問]?解：將矩陣A分塊,得,?其中，,?運用隨著矩陣方法求逆,得?，，。?所以

形如，的分塊矩陣分別稱為準上三角矩陣和準下三角矩陣。它們都是分塊三角矩陣。這里,每個主對角塊都必須是方陣，但階數(shù)可以不相同。我們不加證明地給出以下重要結論:上述兩類特殊分塊矩陣的行列式都是它們的主對角線上各子塊的行列式的乘積,即例如,例６中矩陣A的行列式為=-2×1×4＝-8?例7：驗證并求?ＨYPERＬＩＮK""\t"＿bｌank"[答疑編號:10020507針對該題提問]

證：（1）

?（２）

??2．5矩陣的初等變換與初等方陣

?2．5.1初等變換?定義2.５.1對一個矩陣A＝（ａiｊ)ｍ×ｎ施行以下三種類型的變換,稱為矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換。?(ｉ)互換Ａ的某兩行(列）。

（iｉ）用一個非零數(shù)Ｋ乘A的某一行(列）。?(ｉiｉ)把A中某一行(列）的k倍加到另一行(列)上。

必須注意:矩陣的初等變換與行列式的計算有本質區(qū)別，計算行列式是求值過程,前后用等號連接，對矩陣施行初等變換則是變換過程，除恒等變換以外,一般來說變換前后的兩個矩陣是相等的，因此,我們用箭號“→”連接變換前后的矩陣,并且不需要將矩陣改號或提取公因數(shù)。

定義2．5.1若矩陣A通過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱Ａ與Ｂ等價,記為

矩陣之間的等價關系有以下三種性質。（１)反身性?(2)對稱性若則

（3）傳遞性若則??２.5.２初等方陣

引進方程的目的是想用矩陣乘法描述矩陣的初等變換。

定義2.5.３由單位矩陣E通過一次初等變換得到的矩陣為初等方陣。?我們對n階單位矩陣Ｅ施行三種初等變換得到以下三類n階初等方陣。?（Ｉ)互換Ｅ的第i,j兩行(列）（i≠ｊ）得到的初等方陣記為

?(IＩ）用非零常數(shù)ｋ乘E的第i行（列）,得到的初等方陣記為?

(IＩI)將E的第j行的k倍加到第i行上(或第i列的k倍加到第j列上）(i＜j)得到的初等方陣記為?

將E的第i行的k倍加到第ｊ行上(或第j列的k倍加到第i列上）（i<j)，得到的初等方陣記為

?以上這些初等方陣中,空白處的元素均為0。?例如,當n=4時

?例１.計算若?(1）P12A（2)AP１2(３）D１(k）A，（4）ＡD1(ｋ)?（５）T１2(k)Ａ(6)ＡT２１（k)?ＨYＰEＲＬIＮK""\ｔ＂_blank"［答疑編號:100206０1針對該題提問］

解:

小結例1的結果，有下面的定理。?定理2．5.1Ｐij左（右)乘A就是互換A的第ｉ行（列）和第j行(列）

Di(ｋ)左(右）乘Ａ就是用非零數(shù)k乘A的第i行（列)。?Tij（k）左乘A就是把Ａ中第j行的ｋ倍加到第i行上。?Tij（k）右乘A就是把Ａ中第i列的k倍加到第j列上。

2.5.3矩陣的等價標準形?定理2.5.2任意一個ｍ×n矩陣A，一定可以通過有限次初等行變換和初等列變換化成如下形式的m×ｎ矩陣。

這是一個分塊矩陣,其中Eｒ為r階單位矩陣，而其余子塊都是零塊矩陣。?稱為A的等價標準形。?例2求矩陣的等價標準形。?ＨYPERＬINK＂"\ｔ"＿blank"[答疑編號:10020602針對該題提問]???所以A的等價標準形為(E３,０)。

由于對矩陣Ａ施行初等行(列)變換相稱于用相應的初等方陣左(右)乘A，而初等方陣都是可逆矩陣，若干個可逆矩陣的乘積仍然是可逆矩陣,所以定理2.5.2可以等價地敘述為

定理２.5.2對于任意一個m×n矩陣Ａ，一定存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使得??證根據(jù)定理2.5.2,假設對A施行了ｓ次初等行變換和t次初等列變換，得到了A的等價標準形,且相應初等行變換的ｍ階初等方陣P1，Ｐ2，…Ps,相應初等列變換的n階初等方陣為Q１，Q２…Qｔ,則

Ps…P2P1AQ1Q2…Qt＝?令P＝Ｐｓ…P2P1，Q=Ｑ1Q2…Qt,則P和Q就是滿足定理規(guī)定的可逆矩陣。

?2．５.4用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣

任取n階可逆陣A,由定理2.５．3知一定存在n階可逆矩陣P和Q,使得

由于Ａ,P和Q都是可逆矩陣，上式左邊取行列式，得??若r<n,則必有＝0，從而有，矛盾,因此必有r=n,從而有

PAQ=En?上式說明可逆矩陣An的等價標準形是同階單位方陣Eｎ。?定理2.5．4ｎ階方陣Ａ是可逆矩陣的存在可逆矩陣P,Ｑ使得PＡQ=En(即Ａ等價于單位矩陣）A可以寫成若干個初等方陣的乘積。

事實上,若A可逆,則只需對Ａ作一系列行初等變換也有PＫ..．Ｐ２Ｐ1A=E存在可逆陣P,使PA=E,其中P＝PK...P２P１

其中A-1＝P

因此，若將（A，E）看作分塊矩陣,則有

P(A，E)=（ＰA,PE）＝(PA,P）?所以當PA=E時，P=Ａ-1，故有公式?(A，E）→（E,A-1)

上面的公式就是用行初等變換法求Ａ-1的根據(jù),上面公式說明,當分塊矩陣（A，Ｅ)作行初等變換后,當A變形為E時,則Ｅ變形為A-１。

具體方法:用初等行變換把ｎ×２n矩陣(A,En）化為(En，A-１),當(A，En)的左半部分化為單位矩陣Eｎ時,右半部分就是A-1了,假如前n列不也許化為單位矩陣，則說明A不是可逆矩陣。?注意：用初等行變換方法求逆矩陣時,不能同時用初等列變換，并且在求出A-1以后，最佳驗證式子AA-1＝Eｎ，以避免在計算中也許發(fā)生的錯誤。?例3.求的逆矩陣。

HYＰERLINK"＂\t"_bｌａｎk"[答疑編號：1002０６03針對該題提問]

?

?所以結果對的。?

2.5.５用矩陣的初等變換求解矩陣方程?最常見的方程有以下兩類：

(1)設Ａ是n階可逆矩陣，B是n×m矩陣,求出矩陣X滿足AX=B

原理:AＸ=B時?如找到n階可逆矩陣P使ＰA=En，則P＝A-1，并且有?P（A,B)＝（PA,ＰB)=(En，A-１Ｂ）?上式右邊矩陣的最后m列組成的矩陣就是X。

方法:用初等行變換把分塊矩陣（A，B)化成(E,A-1B）即:?公式（Ａ，B)→（Ｅ,A－1B）則ｘ=A-1Ｂ

上式說明，在解矩陣方程Ａx=B時,看分塊矩陣（A，B)的Ａ變形為E時，

則右邊的B變形為解Ａ－1B。

即解為：x=Ａ-1Ｂ?例4.求解矩陣方程。??HYPＥRＬINK"＂\t"_blanｋ"［答疑編號:１0020604針對該題提問]

?

??據(jù)此即可得：?(2)設Ａ是n階可逆矩陣，B是ｍ×n矩陣,求出矩陣X滿足ＸＡ＝B。?解:由方程XA=BXAA－１＝ＢＡ-１?解為x＝BA－1?要注意的是,矩陣方程XA＝B的解為x=BＡ-1，而不可以寫成ｘ=A-1Ｂ。?由于?Ｘ滿足XＡ=BＸT滿足ATＸT＝BＴ?從而有?ＸT=（ＡＴ）-1BT=(BA-1)T?所以,可以先用上述方法求解AＴXＴ＝BT，再把所得結果ＸT轉置即得所需的X=ＢＡ-１。

（方法)：(AT，BT)→(En,(BＡ-1）T)

∴(AＴ，BT）→（Ｅ，ＸＴ)

先求XT，再求X。

例5.求解矩陣方程：

?ＨＹPERLＩNＫ""\t"_ｂlａnk＂[答疑編號:10０２06０5針對該題提問]??

關于矩陣方程的另一種常用求解方法是：先求出逆矩陣A-1,然后，求出ＡＸ＝B的解X＝Ａ-1B,或者XA＝Ｂ的解X=BA-１

?２.6矩陣的秩

定義２.６.１在ｍ×n矩陣A中,非零子式的最高階稱為A的秩，記為r（Ａ），有時也可用秩（A)表達Ａ的秩。所謂非零子式的最高階數(shù)指的是，在所有的不等于零的那些子式中，階數(shù)最高的子式的階數(shù)，例如，當ｒ(A）＝３時，說明在A中至少有一個三階子式不為零，而所有的階數(shù)大于3的子式都等于零。

例1.求矩陣?

的秩。

HＹPERLINＫ""\t＂_blank"［答疑編號：１00２070１針對該題提問］?解：容易計算出二階行列式?A是一個三行四列的矩陣,把Ａ的三行所有取出,再從其四列中任取三列就可得到一個三階子式，共有四個三階子式,我們算出A的所有三階子式如下:

?顯然A不存在4階子式,所以A的不等于零的最高階子式的階數(shù)2，因此ｒ(A)=2

例2.顯然，的秩序為r

ＨYＰERLINK＂"\t"_bｌank"［答疑編號：１002070２針對該題提問]?我們不加證明地給出以下結論:

定理1：對矩陣施行初等變換,不改變矩陣的秩。

推論設A為ｍ×n矩陣，P和Ｑ分別為ｍ階和n階可逆矩陣，則

r(PA）＝r(A),r(AＱ）＝ｒ（A)。

證：由于可逆矩陣Ｐ和Q都是若干初等方陣的乘積,用初等方陣乘矩陣就是對矩陣施行初等變換，而初等變換不會改變矩陣的秩，所以乘可逆矩陣以后,矩陣的秩一定保持不變。

例3.設求r階上三角矩陣

?的秩。

HYPＥRLINK＂＂\ｔ＂＿blank"［答疑編號：10０2070３針對該題提問]

解：由假設?即Ｔ的行列式自身就是它的最高階非零子式，所以r(T)＝r。?例4．設矩陣

?求矩陣AB的秩。

HYPERLINＫ""＼t＂＿blank＂［答疑編號:1002０７04針對該題提問]?解：由于??所以A是可逆矩陣,取矩陣Ｂ的所有三行和第一、二、三列,得到的三階子式

?這顯然是B的一個最高階非零子式，所以r(Ｂ)＝3，由定理2．6.1的推論知ｒ（B)＝3。?對于一般的矩陣而言,要擬定它的非零子式的最高階數(shù)，并非一件容易的事情,但是，對于被稱為階梯形矩陣來說，它的非零子式的最高階數(shù)卻是一目了然的。

定義2.６．2滿足下列兩個條件的矩陣稱為階梯形矩陣

(１)假如存在全零行（元素全為零的行)，則全零行都位于矩陣中非零行（元素不全為零的行)的下方；?(2）各非零行中從左邊數(shù)起的第一個非零元素(稱為主元）的列指標j隨著行指標的遞增而嚴格增大,（即各非零行從左邊數(shù)起第一個非零數(shù)下方各數(shù)全為零）?m×n階梯形矩陣的一般形式是

其中?從直觀上看,第ｉ個非零行從左邊數(shù)起的第一個非零元素(即主元)為aijｉ,位于ａｉji，，下面的元素必須全為零，顯然,T有最高階非零子式。

于是r（Ｔ)=r=“T中非零行的個數(shù)”。?由于我們要找出的是Ｔ中的非零行，所以這種階梯形矩陣應當稱為行階梯形矩陣,但是為了敘述簡潔起見,在本課程中，我們就約定用“階梯形矩陣”，也可簡稱為階梯矩陣或者階梯陣。?假如對矩陣Ａ施行初等行變換，得到其階梯形矩陣后,進一步進行初等行變換，將階梯形矩陣的主元全化為１,且這些主元1所在列的其他元素化為零，得到的階梯形矩陣稱為A的簡化行階梯形矩陣或稱為A的行最簡形矩陣，簡化行階梯形矩陣的一般形式為?

既然矩陣的初等變換不改變其秩,那么只要用初等行變換把任意矩陣A化成階梯形矩陣Ｔ，就可求出它的秩：?ｒ(A）=r（T)＝“T”中非零行的行數(shù)。?定理2．6.2對于任意一個非零矩陣，都可以通過初等行變換把它化成階梯形矩陣。

定理的證明略去?下面用例子具體說明將矩陣化成階梯形和簡化行階梯形矩陣的方法。?例５.把

化成階梯形矩陣與簡化行階梯形矩陣

ＨYＰERLINK＂"\ｔ"_ｂｌank＂［答疑編號:100２０70５針對該題提問]?

?

上述矩陣B就是A的階梯形矩陣,它有三個“臺階”，而矩陣C是A的簡化行階梯形矩陣。?從上例可以清楚地看出,簡化行階梯形矩陣與階梯形矩陣的區(qū)別，簡化行階梯形矩陣的主元素都是1，并且除主元1以外，它所在列的其他元素所有被化成了０。

例6.分別求出矩陣

的秩。?HＹPERLINK""＼t＂_blank"[答疑編號:10020706針對該題提問]?解:用矩陣的初等行變換將矩陣化成階梯形矩陣。

?階梯形矩陣

?有兩個非零行，可見矩陣A的秩r(Ａ）＝2，同理

?它有三個非零行，所以r（Ｂ）＝3

注在求矩陣的秩時,可以只用初等行變換，但也可以用初等列變換。?并且不必化成簡化行階梯形矩陣

關于矩陣的秩,有以下結論。?(１）設A=(ａｉｊ)ｍ×n,則r（Ａ）≤ｍin{m,n｝。

(2)r（AT）=r（Ａ）,事實上,A與AＴ中的最高階非零子式的階數(shù)必相同。

(3)ｎ階方陣A為可逆矩陣所以，可逆矩陣常稱為滿秩矩陣。秩為m的m×ｎ矩陣稱為行滿秩矩陣,秩為n的ｍ×n矩陣稱為列滿秩矩陣。

?2.7矩陣與線性方程組?

本節(jié)簡樸介紹用矩陣的初等行變換解線性方程組的方法,并運用矩陣的秩給出齊次線性方程組有非零解的一個判別條件．?設n元線性方程組為

?記

?由于等式?

與方程2-10相同,所以方程組２－１０也可簡寫為下面的矩陣方程形式Ａx＝b(2．11)?其中A叫系數(shù)矩陣,x叫未知列向量,b叫常數(shù)向量。

當b１＝ｂ2=…bm=0時，方程(2-10)叫齊次線性方程組。?當ｂ1，ｂ２,…bm中有非0數(shù)時，方程（2-10)叫非齊次線性方程組。

下面的矩陣

?叫線性方程組(2.１0）的增廣矩陣。??例1：解線性方程組

HYPＥRLINＫ""\ｔ＂_bｌaｎk＂[答疑編號：１0020801針對該題提問］?解：先用對線性方程組施行線性方程組的初等變換方法來求解。

?

??形如(2)的方程組稱為階梯形方程組,形如(3)的方程組稱為簡化的階梯形方程組。方程組(２)和(3）都與方程組(1）同解，方程組（3)事實上由兩個方程構成,它含4個未知量,其中必有兩個未知量可以自由取值?？梢宰杂扇≈档奈粗拷凶鲎杂晌粗?。不妨?。?,x4為自由未知數(shù)，解出x1,x2后有

每當x3,ｘ4任意取定一組值，代人上式就得到方程組的一個解,故方程組有無窮多個解。?下面用矩陣的初等行變換求解方程組（1),對系數(shù)矩陣施行初等行變換,其過程可與上面的消元過程一一對照。?

?

?矩陣B相應的方程組為

它與方程組(1)同解，稱這個表達式為方程組(1）的一般解，其中x３,x4為自由未知量。?用消元法求解線性方程組的過程，事實上就是用線性方程組的初等變換簡化方程組的系數(shù)的過程,由此達成消去若干未知量的目的,對照上面兩種求解方法，我們看出,線性方程組的每一種初等變換恰與其系數(shù)矩陣的同一種初等行變換相應,例如,“互換兩個方程”的變換相應其系數(shù)矩陣“互換兩個相應行”的初等行變換，另兩種變換也類似。

另一方面也可看出，“階梯形方程組（2）”的系數(shù)矩陣就是方程組（1）的系數(shù)矩陣的“行階梯形矩陣（２）*”,“簡化的階梯形方程組（3)”的系數(shù)矩陣就是方程組（1）的系數(shù)矩陣的“簡化行階梯形矩陣”。

這說明在求解齊次線性方程組時，可運用矩陣的初等行變換，將其系數(shù)矩陣化為簡化行階梯矩陣，得出易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解。?對于非齊次線性方程組，我們可以運用矩陣的初等行變換把它的增廣矩陣化成簡化行階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組,然后求出方程的解。?

例2：解線性方程組:

HYPERLINK＂"＼t"＿bｌanｋ"[答疑編號：100208０2針對該題提問]?解:化線性方程組的增廣矩陣為行最簡形矩陣:????

由增廣矩陣的簡化行階梯形矩陣B。相應的同解方程為

所以方程組有唯一解x1=－2,ｘ2=2，ｘ3＝-1

例３:解線性方程組:??HYPERLIＮK""\t"_blanｋ＂［答疑編號：10０2０８0３針對該題提問]?解：把線性方程組的增廣矩陣化成簡化行階梯形矩陣:

?由簡化行階梯形矩陣可得等價的方程組：

即

取x3為自由未知量，可知方程組有無窮多個解，上式就