2023年選修坐標系與參數方程知識點及經典例題

坐標系與參數方程*選考內容《坐標系與參數方程》高考考試大綱規(guī)定：１.坐標系:①理解坐標系的作用.②了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.③能在極坐標系中用極坐標表達點的位置,理解在極坐標系和平面直角坐標系中表達點的位置的區(qū)別,能進行極坐標和直角坐標的互化.④能在極坐標系中給出簡樸圖形（如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程．通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表達平面圖形時選擇適當坐標系的意義.2．參數方程:①了解參數方程,了解參數的意義.②能選擇適當的參數寫出直線、圓和圓錐曲線的參數方程.第一講平面直角坐標系伸縮變換:設點是平面直角坐標系中的任意一點，在變換的作用下,點相應到點,稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換。方法１：求伸縮變換后的圖形。由伸縮變換公式解出x、ｙ,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。例:：在一個平面直角坐標系中,求下列方程所相應的圖形通過伸縮變換后的圖形。方法2：待定系數法求伸縮變換。求伸縮變換時,先設出變換，再代入原方程或變換后的方程,求出其中系數即可。例：在同一平面直角坐標系中,求下列圖形變換的伸縮變換:二、極坐標1.極坐標系的概念:在平面內取一個定點，叫做極點;自極點引一條射線叫做極軸;再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系。2.點的極坐標：設是平面內一點，極點與點的距離叫做點的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點的極角，記為。有序數對叫做點的極坐標,記為.極坐標與表達同一個點。極點的坐標為.３.若，則,規(guī)定點與點關于極點對稱,即與表達同一點。假如規(guī)定，那么除極點外,平面內的點可用唯一的極坐標表達;同時，極坐標表達的點也是唯一擬定的。4.極坐標與直角坐標的互化：如圖所示，把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸,且長度單位相同,設任意一點M的直角坐標與極坐標分別為(x,ｙ），(ρ,θ)．(1)極坐標化直角坐標(2)直角坐標化極坐標eq\ｂ\ｌc\{(＼ａ\vs4\aｌ\co1(ρ2=x2+y2,,tａnθ=＼f（y,x)（x≠0）．）)方法３：極坐標與直角坐標的互化例:點M的極坐標是點M的直角坐標是練：三、簡樸曲線的極坐標方程1．圓的極坐標方程:（１）特殊情形如下表:圓心位置極坐標方程圖形圓心在極點(0,0)ρ＝r（0≤θ<2π)圓心在點（r，0)ρ=２rｃｏs_θ(－ｅq＼f(π,2)≤θ<eq\ｆ（π,2))圓心在點(ｒ,ｅｑ\ｆ(π，2))ρ＝2rsｉn_θ(0≤θ＜π)圓心在點(r，π)ρ＝-2ｒcoｓ_θ（eq\f(π,2)≤θ<ｅq\f(3π,2))圓心在點（r，eq\f(3π,2))ρ＝－2ｒsｉn_θ(－π<θ≤０)（2)一般情形：設圓心Ｃ(ρ０，θ0),半徑為ｒ，M(ρ,θ)為圓上任意一點，則|ＣM｜＝ｒ,∠COM=|θ-θ０|,根據余弦定理可得圓C的極坐標方程為ρ2－２ρ0ρcos（θ－θ0)+ρｅq\o\al(2,0）-r2=０即2.直線的極坐標方程：(1)特殊情形如下表:直線位置極坐標方程圖形過極點，傾斜角為α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝α+π（ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ=π＋α(ρ≥0）過點（a,0),且與極軸垂直ρcos_θ＝aeq\b＼lc＼(\ｒc\)(＼a＼ｖs４\ａl\co１(-\f(π,2）<θ＜\f（π,2)））過點eq＼b\lｃ＼(＼rc＼)(\ａ\ｖs4＼aｌ\co1(a,\f(π,2))),且與極軸平行ρsｉn_θ=a(０<θ<π）過點(ａ,0)傾斜角為αρsin(α－θ)=asiｎα(0＜θ<π)（2)一般情形,設直線ｌ過點P(ρ0,θ0),傾斜角為α，M(ρ,θ)為直線ｌ上的動點，則在△OPＭ中運用正弦定理可得直線ｌ的極坐標方程為ρｓin（α-θ)=ρ0ｓin（α-θ0)．方法４:直角坐標方程與極坐標方程的互化方法５：極坐標系下的運算方法6：曲線極坐標方程的求法四、柱坐標系與球坐標系簡介(了解）1、柱坐標系（1)定義:一般地,如圖建立空間直角坐標系Oxyz.設P是空間任意一點,它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ,θ)(ρ≥０,0≤θ＜２π)表達點Q在平面Ｏｘｙ上的極坐標,這時點eq＼a\vs4\ａl(P)的位置可用有序數組eq\a\ｖs4＼al(（ρ,θ,ｚ）)（z∈R)表達.這樣,我們建立了空間的點與有序數組(ρ，θ，z)之間的一種相應關系．把建立上述相應關系的坐標系叫做柱坐標系,有序數組（ρ,θ，z)叫做點P的柱坐標,記作Ｐ(ρ，θ,z)，其中ρ≥0,０≤θ<2π，ｚ∈R．（２）空間點Ｐ的直角坐標(x,y，z)與柱坐標(ρ，θ,ｚ）之間的變換公式為eq＼b\ｌｃ＼{(\a\vs４\al\co1(x＝ρcoｓθ,y=ρsｉnθ,z=z)).２、球坐標系（1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標系Oxyz.設P是空間任意一點,連接OP,記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時針方向旋轉到ＯＱ時所轉過的最小正角為θ，這樣點P的位置就可以用有序數組(r，φ,θ)表達，這樣，空間的點與有序數組(r，φ，θ）之間建立了一種相應關系.把建立上述相應關系的坐標系叫做球坐標系（或空間極坐標系)，有序數組（r,φ，θ),叫做點P的球坐標，記作P（r，φ,θ),其中ｒ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空間點P的直角坐標(ｘ,ｙ，ｚ)與球坐標(r，φ，θ)之間的變換公式為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\ｃo1(x=rｓｉnφｃosθ,y=rsiｎφｓｉｎθ，z=rcｏｓφ）)．第二講一、參數方程的概念：在平面直角坐標系中，假如曲線上任意一點的坐標都是某個變數的函數并且對于的每一個允許值,由這個方程所擬定的點都在這條曲線上,那么這個方程就叫做這條曲線的參數方程，聯系變數的變數叫做參變數,簡稱參數。相對于參數方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程。二、參數方程和普通方程的互化(1)曲線的參數方程和普通方程是在同一平面直角坐標系中表達曲線的方程的兩種不同形式，兩種方程是等價的可以互相轉化．(2)將曲線的參數方程化為普通方程，有助于辨認曲線的類型．參數方程通過消去參數就可得到普通方程．(3)普通方程化參數方程,一方面擬定變數ｘ，y中的一個與參數ｔ的關系，例如x=f(t)，另一方面將x=f(t)代入普通方程解出ｙ＝g(t)，則eq\b\lc\｛（＼ａ\vs４\ａｌ＼ｃｏ1(x=ｆ（ｔ),y＝ｇ（t)))(t為參數)就是曲線的參數方程．(4)在建立曲線的參數方程時,要注明參數及參數的取值范圍。在參數方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.三、圓的參數方程1.圓心在坐標原點，半徑為r的圓的參數方程如圖圓O與x軸正半軸交點M0(ｒ,0）.(1）設M(x,y)為圓Ｏ上任一點,以OM為終邊的角設為θ,則以θ為參數的圓O的參數方程是eｑ＼b\lｃ\{（＼a＼ｖs4\ａl\co1(ｘ＝rcosθ,y＝rsｉｎθ))(θ為參數).其中參數θ的幾何意義是OM0繞O點逆時針旋轉到OＭ的位置時轉過的角度.(2)設動點M在圓上從M0點開始逆時針旋轉作勻速圓周運動,角速度為ω,則ＯM0通過時間t轉過的角θ＝ωt，則以t為參數的圓Ｏ的參數方程為eｑ\b＼lc\{(\a\ｖs4\ａl\co１(ｘ=rcoｓωt,ｙ=rsｉｎωｔ))(t為參數)．其中參數t的物理意義是質點做勻速圓周運動的時間．2.圓心為C(a，b），半徑為ｒ的圓的參數方程圓心為(a,ｂ)，半徑為r的圓的參數方程可以當作將圓心在原點，半徑為ｒ的圓通過坐標平移得到，所以其參數方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co１(ｘ=a＋rｃosθ，,y=ｂ＋rｓinθ))（θ為參數).四、圓錐曲線的參數方程1、橢圓的參數方程(1)中心在原點,焦點在ｘ軸上的橢圓eq\f（x2,a２)+ｅｑ＼f（y2，ｂ2)＝1(ａ>b>0）的參數方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vｓ4\al\co1(x＝ａｃosφ,ｙ=bsｉnφ))(φ是參數),規(guī)定參數φ的取值范圍是［0，2π).（2）中心在原點,焦點在ｙ軸上的橢圓eq\ｆ(ｙ2,ａ2)+eq\f（x2,b2)＝1(a>b＞０)的參數方程是eq\ｂ\lc\{(\a\ｖｓ4＼ａl＼cｏ1(x=ｂcoｓφ,y=asiｎφ))(φ是參數),規(guī)定參數φ的取值范圍是[0，２π)．(3)中心在(h，ｋ)的橢圓普通方程為ｅq\f(（x-h)２,a2)＋eq\ｆ(（y－k)2，b2)=1,則其參數方程為eq\b＼lｃ＼{(\ａ\ｖｓ4＼al＼ｃo1(x＝h+acosφ,ｙ=k+bsinφ))(φ是參數)．２.雙曲線的參數方程(1）中心在原點,焦點在ｘ軸上的雙曲線eq＼f（x2,a2)-eq＼f（y２,b2)＝1的參數方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vs4\al\ｃｏ1(x＝aｓeｃφ，y＝btanφ)）(φ為參數),規(guī)定參數φ的取值范圍為φ∈[０,2π)且φ≠ｅq\f(π,２），φ≠eｑ\ｆ(3π,2).(2）中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線eq＼f(ｙ２,ａ2）-eq\ｆ(x2,b2)＝1的參數方程是eq＼b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝ｂtanφ,y=ａseｃφ)）(φ為參數).3．拋物線的參數方程(1)拋物線y2＝2pｘ的參數方程為ｅq\b＼lc\{(＼a\vs4\ａl\cｏ1(x＝2pt2,ｙ＝2pｔ)）(t為參數)．(2)參數t的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數.方法1:參數方程和普通方程的互化五、直線的參數方程１.直線的參數方程通過點Ｍ0(ｘ0,y0),傾斜角為α的直線ｌ的參數方程為ｅq＼b\ｌc\{（\a\ｖs４\aｌ\ｃo１(x＝x0+tcosα，y=y0＋ｔｓinα))(t為參數）．2．直線的參數方程中參數t的幾何意義（1)參數t的絕對值表達參數t所相應的點Ｍ到定點M0的距離.（2)當eq＼o(Ｍ0M，\s\ｕp6(→)）與e(直線的單位方向向量)同向時，ｔ取正數．當eq\o(M0Ｍ,\s\up6(→))與e反向時,t取負數,當Ｍ與M０重合時，t＝０.３.直線參數方程的其他形式對于同一條直線的普通方程，選取的參數不同，會得到不同的參數方程．我們把過點M0（ｘ0,y０），傾斜角為α的直線，選取參數t＝Ｍ０M得到的參數方程eq＼b\ｌc＼{(\a\vs４\ａl\co1（x＝ｘ0＋tｃosα,y＝y(tǒng)0+tsinα))(t為參數)稱為直線參數方程的標準形式,此時的參數t有明確的幾何意義．一般地,過點M0(ｘ０,y0),斜率ｋ＝eｑ＼f(b，a)(a，b為常數）的直線,參數方程為eq＼ｂ\lc\{(\a\vs4＼aｌ\cｏ1(x＝x0+ａt(yī)，ｙ＝y(tǒng)0＋bｔ）)(t為參數),稱為直線參數方程的一般形式,此時的參數t不具有標準式中參數的幾何意義.方法２:求直線參數方程方法３：參數方程問題的解決辦法解決參數問題的一個基本思緒:將其轉化為普通方程，然后在直角坐標系下解決問題。方法4：運用參數的幾何意義解題六、漸開線與擺線（了解）1.漸開線的概念及參數方程(1)漸開線的產生過程及定義把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開，鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓.（2)圓的漸開線的參數方程以基圓圓心Ｏ為原點，直線ＯA為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設基圓的半徑為r,繩子外端Ｍ的坐標為（x，y),則有ｅq\b＼lc\{(\a\vｓ4\al＼ｃo1(x=ｒ(cosφ＋φsｉnφ),,ｙ=r(ｓinφ－φcoｓφ）))（φ是參數).這就是圓的漸開線的參數方程.2.擺線的概念及參數方程(1）擺線的產生過程及定義平面內,一個動圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個固定點所通過的軌跡，叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線．(２）半徑為r的圓所產生擺線的參數方程為eｑ\b＼lc\{(\ａ\vｓ4＼al\cｏ１（x＝r（φ-sinφ）,,ｙ=r（1－coｓφ))）(φ是參數).練習1.曲線與坐標軸的交點是（）．A．B．C.Ｄ．2.把方程化為以參數的參數方程是（）.A．Ｂ.C.Ｄ．3．若直線的參數方程為，則直線的斜率為（)．Ａ．Ｂ.C．Ｄ．4.點在圓的（)．Ａ.內部 B.外部? Ｃ．圓上Ｄ．與θ的值有關5.參數方程為表達的曲線是()．A．一條直線B.兩條直線C．一條射線D.兩條射線6．兩圓與的位置關系是(）.Ａ.內切 B.外切 C.相離 D．內