橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(3課時(shí))教學(xué)用

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1橢圓的定義圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)a,b,c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)

橢圓分母看大小焦點(diǎn)隨著大的跑12yoFFMx1oFyx2FMcabM橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b

橢圓落在x=±a,y=±b組成的矩形中（如圖）oyB2B1A1A2F1F2cab1.觀察：x,y的范圍？2.思考：如何用代數(shù)方法解釋x,y的范圍？

-a≤x≤a,-b≤y≤b

一.范圍二、橢圓的頂點(diǎn)令x=0，得y=？，說明橢圓與y軸的交點(diǎn)（），令y=0，得x=？,說明橢圓與x軸的交點(diǎn)（）。*頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2(a,0)0,±b±a,0*長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上!三.橢圓的對(duì)稱性YXOP1（-x，y）P2（-x，-y）P3（-x，-y）P（x，y）

把(X)換成(-X),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對(duì)稱；把(Y)換成(-Y),方程不變,說明橢圓關(guān)于()軸對(duì)稱；把(X)換成(-X),(Y)換成(-Y),方程還是不變,說明橢圓關(guān)于(

)對(duì)稱；YX原點(diǎn)

所以，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y12345-1-5-2-3-4x12345-1-5-2-3-4x練習(xí)：根據(jù)前面所學(xué)有關(guān)知識(shí)畫出下列圖形（1）（2）A1

B1

A2

B2

B2

A2

B1

A1

四、橢圓的離心率離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比：叫做橢圓的離心率。[1]離心率的取值范圍：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，橢圓就越扁因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1[2]離心率對(duì)橢圓形狀的影響：2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，橢圓就越圓3）特例：e=0，則a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓方程變?yōu)椋?？）yOx標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率a、b、c的關(guān)系-a≤x≤a,-b≤y≤b關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)知識(shí)歸納a2=b2+c2標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例題1:

求橢圓9x2+4y2=36的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長(zhǎng)是:2a=62b=4解題步驟：1、將橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求a、b：2、確定焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)軸的位置.解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程四、例題講解：練習(xí):求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)。解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是:離心率:焦點(diǎn)坐標(biāo)是:四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是:橢圓的短軸長(zhǎng)是:2a=102b=8例2:

求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)Ｐ（-3，0）、Ｑ（0，-2）；解：⑴方法一：設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：利用橢圓的幾何性質(zhì)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn)，于是焦點(diǎn)在x軸上，且點(diǎn)P、Q分別是橢圓長(zhǎng)軸與短軸的一個(gè)端點(diǎn)，故a＝3，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）離心率為，經(jīng)過點(diǎn)（2,0）練習(xí)：橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，，，（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，,，綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2標(biāo)準(zhǔn)方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)離心率a、b、c的關(guān)系關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(c,0)、(-c,0)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.(a>b)-a≤x≤a,-b≤y≤b-a≤y≤a,-b≤x≤ba2=b2+c2a2=b2+c2例1例2[分析]

關(guān)鍵是找到a，c所滿足的方程，根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上解決．1.橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則橢圓的方程為（）(A)(B)(C)(D)或或C2.若某個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距依次成等差數(shù)列，則其離心率e=__________3.已知橢圓的焦距是長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的等比中項(xiàng)，則其離心率e=__________已知橢圓的離心率，求的值由，得：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得，即．∴滿足條件的或．練習(xí)4：已知橢圓的離心率，求的值5、設(shè)橢圓的焦點(diǎn)分別F1，F(xiàn)2，過F2作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于P，

△F1

PF2是等腰三角形，則橢圓的離心率是________1.基本量:a、b、c、e、幾何意義：a-長(zhǎng)半軸、b-短半軸、c-半焦距，e-離心率；

相互關(guān)系：橢圓中的基本元素2.基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心3.基本線:對(duì)稱軸（共兩條線），準(zhǔn)線焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上!課堂小結(jié)-—準(zhǔn)線橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)3直線與橢圓的位置關(guān)系種類:相離(沒有交點(diǎn))相切(一個(gè)交點(diǎn))相交(二個(gè)交點(diǎn))點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系：類比點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

直線與橢圓的位置關(guān)系的判定代數(shù)方法1.位置關(guān)系：相交、相切、相離2.判別方法(代數(shù)法)

聯(lián)立直線與橢圓的方程消元得到二元一次方程組

(1)△>0直線與橢圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(2)△=0直線與橢圓相切有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

(3)△<0直線與橢圓相離無(wú)公共點(diǎn)．通法知識(shí)點(diǎn)1.直線與橢圓的位置關(guān)系例1：直線y=x+1與橢圓恒有公共點(diǎn),求m的取值范圍。題型一：直線與橢圓的位置關(guān)系變式練習(xí)：y=kx+1與橢圓恰有公共點(diǎn)，則m的范圍（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）練習(xí)1.K為何值時(shí),直線y=kx+2和曲線2x2+3y2=6有兩個(gè)公共點(diǎn)?有一個(gè)公共點(diǎn)?沒有公共點(diǎn)?練習(xí)2.無(wú)論k為何值,直線y=kx+2和曲線交點(diǎn)情況滿足()A.沒有公共點(diǎn)B.一個(gè)公共點(diǎn)C.兩個(gè)公共點(diǎn)D.有公共點(diǎn)Dlmmoxyoxy思考：最大的距離是多少？設(shè)直線與橢圓交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)兩點(diǎn)，直線P1P2的斜率為k．弦長(zhǎng)公式：知識(shí)點(diǎn)2：弦長(zhǎng)公式可推廣到任意二次曲線例3：已知斜率為1的直線L過橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB之長(zhǎng)．例5：已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被

平分，求此弦所在直線的方程.解：韋達(dá)定理→斜率韋達(dá)定理法：利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造知識(shí)點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問題例5已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率．點(diǎn)作差知識(shí)點(diǎn)3：中點(diǎn)弦問題點(diǎn)差法：利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率．直線和橢圓相交有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求的思想方法．例5已知橢圓過點(diǎn)P(2，1)引一弦，使弦在這點(diǎn)被平分，求此弦所在直線的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0從而A,B在直線x+2y-4=0上而過A,B兩點(diǎn)的直線有且只有一條解后反思：中點(diǎn)弦問題求解關(guān)鍵在于充分利用“中點(diǎn)”這一條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及韋達(dá)定理，練習(xí)：P49：A8例6、如圖，已知橢圓與直線x+y-1=0交于A、B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)M