數(shù)字信號(hào)處理第二章第3、4節(jié)

§2-3Z反變換一、定義：已知X(z)及其收斂域求序列x(n)z變換公式：C為環(huán)形解析域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條逆時(shí)針閉合單圍線.c0即羅倫級(jí)數(shù)展開系數(shù)部分分式法（必須掌握）留數(shù)法（圍線積分法）長(zhǎng)除法二、求Z反變換的方法1、部分分式法（必須掌握）1）適合型的有理分式2）反變換的步驟：先將化為真分式，在對(duì)部分分式展開對(duì)各部分分式求z反變換：（可查P54表2-1）的z反變換。利用部分分式法求解：[例1（補(bǔ)充）][例2（補(bǔ)充）]X(z)與其收斂域共同唯一確定原序列，反變換的基本變化式是例3（書P56例2—7）必須注意：X(z)有多重極點(diǎn)情況：z1為m階極點(diǎn)，z2為單極點(diǎn)則將部分分式展開為：...由留數(shù)定理可知：

為c內(nèi)的第k個(gè)極點(diǎn)， 為c外的第m個(gè)極點(diǎn)，Res[]表示極點(diǎn)處的留數(shù)。2、留數(shù)法2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：留數(shù)的求法：1、當(dāng)Zr為一階極點(diǎn)時(shí)的留數(shù)：[書例2-5]解:1）當(dāng)n≥-1時(shí), 不會(huì)構(gòu)成極點(diǎn)，所以這時(shí)C內(nèi)只有一個(gè)一階極點(diǎn) 因此，求z反變換。已知2）當(dāng)n≤-2時(shí)，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點(diǎn)。因此C內(nèi)有極點(diǎn)：z=1/4(一階),z=0為(n+1)階極點(diǎn)；而在C外僅有z=4(一階)這個(gè)極點(diǎn):因?yàn)閤(n)的Z變換為Z-1

的冪級(jí)數(shù)，即

所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級(jí)數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。如收斂域?yàn)閨z|>Rx+，x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級(jí)數(shù)。若收斂域|Z|<Rx-,x(n)必為左邊序列，主要展成

Z的正冪級(jí)數(shù)。3、冪級(jí)數(shù)展開法(長(zhǎng)除法)[例]試用長(zhǎng)除法求

的z反變換。解:收斂域?yàn)榄h(huán)狀，極點(diǎn)z=1/4對(duì)應(yīng)因果序列，極點(diǎn)z=4對(duì)應(yīng)左邊序列(雙邊序列)*雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24

Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §2-4Z變換的基本性質(zhì)和定理線性和位移性序列指數(shù)加權(quán)（Z域尺度變換）序列線性加權(quán)（Z域微分）共軛序列和翻褶序列初值定理和終值定理有限項(xiàng)累加特性時(shí)域卷積和Z域卷積定理帕斯瓦爾定理參見P69表2-2（59-69頁）（雙邊Z變換）如果 則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域?yàn)閮烧咧丿B部分。1.線性解：[書p60例2-10]已知2.序列的移位如果 則有：[書例2-11]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3.Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：4.序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證明：同理：5.共軛序列如果，則證明：6.翻褶序列如果，則證明：7.初值定理證明：8.終值定理證明：又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點(diǎn)，故因子（z-1)將抵消這一極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z1的極限。9.有限項(xiàng)累加特性證明：10.序列的卷積和(時(shí)域卷積定理)

（重要）證明：解：[書P-65例2-12]11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)原點(diǎn)的一條逆時(shí)