機械工程測試技術(shù)CH2

第2章信號及其描述

SignalandItsDescription2.1信號的分類2.2信號的描述2.3周期信號及其離散頻譜2.4

非周期信號及其連續(xù)頻譜2.5隨機信號1信號（signal）：隨時間或空間變化的物理量。信號是信息的載體，信息是信號的內(nèi)容。依靠信號實現(xiàn)電、光、聲、力、溫度、壓力、流量等的傳輸。電信號易于變換、處理和傳輸，非電信號電信號。2信號無處不在通信古老通信方式：烽火、旗語、信號燈。近代通信方式：電報、電話、無線通訊。現(xiàn)代通信方式：計算機網(wǎng)絡通信、視頻電視傳播、衛(wèi)星傳輸、移動通信。3000110100111110001100101010101110110010100011000摩爾碼4心電圖波形醫(yī)學5故障診斷62.1信號的分類

（SignalClassification）信號7確定性信號：能用明確的數(shù)學關(guān)系式或圖像表達的信號稱為確定性信號。

2.1.1.確定性信號和非確定性信號mx(t)0x(t)f0Atk8周期信號(periodsignal)：依一定的時間間隔周而復始、重復出現(xiàn)；無始無終。周期：滿足上式的最小T值。頻率(frequency)：周期的倒數(shù)，f=1/T，單位：（Hz赫茲）圓頻率/角頻率：頻率乘以2

f,即

=2

f=2

/T

實際應用中，n通常取為正整數(shù)。數(shù)學表達：T0

=2/0=1/f09諧波信號頻率單一的正弦或余弦信號。常用特征參量：均值、絕對均值、均方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率）描述。一般周期信號（如周期方波、周期三角波等）由多個乃至無窮多個頻率成分（頻率不同的諧波分量）疊加所組成，疊加后存在公共周期。準周期信號(quasi-periodicsignal)也由多個頻率成分疊加而成，但不存在公共周期。10(a)正弦信號：(b)復雜周期信號：x(t)=Asin0.5t+Asint+Asin2tx(t)t0tT0Ax(t)0011t例：準周期信號12x(t)ttx(t)瞬變信號：在有限時間段存在，或隨時間的增加幅值衰減至零。13非確定性信號又稱為隨機（random）信號，是無法用明確的數(shù)學關(guān)系式表達的信號。如：加工零件的尺寸機械振動環(huán)境的噪聲等根據(jù)是否滿足平穩(wěn)隨機過程的條件，非確定性信號又可以分為：平穩(wěn)隨機信號非平穩(wěn)隨機信號14t0x(t)隨機信號：白噪聲t0x(t)隨機信號：疊加白噪聲的正弦信號非確定性信號。具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預估性。采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述。隨機信號15

2.1.2連續(xù)（continuous）信號和離散（discrete）信號采樣信號：時間離散而幅值連續(xù)的信號數(shù)字信號：時間離散、幅值也離散（量化）的信號離散信號16

信號的時域描述以時間為獨立變量，描述信號隨時間的變化特征，反映信號幅值隨時間變化的關(guān)系。波形圖：時間為橫坐標的幅值變化圖。

優(yōu)點：形象、直觀。

缺點：不能明顯揭示信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)（頻率組成關(guān)系）。2.2信號的描述

（SignalDescription）

17

信號的頻域描述應用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，對信號進行變換（分解），以頻率為獨立變量建立信號幅值、相位與頻率的函數(shù)關(guān)系。頻譜圖：以頻率為橫坐標的幅值、相位變化圖。幅值譜：幅值-頻率圖相位譜：相位-頻率圖頻域描述抽取信號內(nèi)在的頻率組成及其幅值和相角的大小，描述更簡練、深刻、方便。18信號時域與頻域描述的關(guān)系時域描述與頻域描述是等價的，可以相互轉(zhuǎn)換，兩者蘊涵的信息相同。時域描述與頻域描述各有用武之地。將信號從時域轉(zhuǎn)換到頻域稱為頻譜(specrtrum)分析，屬于信號的變換域分析。采用頻譜圖描述信號，需要同時給出幅值譜(amplitude

spectrun)和相位譜(phasespectrum)。19狄里赫利（Dirichet）條件在一個周期內(nèi)，若存在間斷點，則間斷點的數(shù)目為有限個。在一個周期內(nèi)，極大值和極小值數(shù)目為有限個。在一個周期內(nèi)，信號絕對可積，即2.2.1周期信號的描述（1）三角函數(shù)展開式

20其中則可以展開為21式中進一步，可以改寫為22例：方波信號的描述時域描述……T0T0T02T020tx(t)≤≤23

頻域，4A4A34A50A()03050003050()/2幅值譜相位譜24x(t)0tT0周期方波信號的合成25周期方波信號的時、頻域描述

周期信號的頻譜特點：離散性諧波性收斂性26例：周期性三角波的傅里葉級數(shù)

0T0/2-T0/2Ax(t)t......≤≤27解：28因此，有：4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2229周期信號的頻譜特點：離散性諧波性收斂性4A24A92

4A2520A()03050003050()

A2230，，（2）復指數(shù)展開式所以：歐拉公式31復指數(shù)展開式其中，兩種展開式中的系數(shù)關(guān)系見表2－4。32例：畫出余弦、正弦函數(shù)的實頻及虛頻譜圖。

解：C-1=1/2，C1=1/2，Cn=0（n=0,2,

3,…）C-1=j/2，C1=-j/2，Cn=0（n=0,2,3,…

）331x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001單邊幅頻譜單邊幅頻譜雙邊幅頻譜雙邊幅頻譜34負頻率

“負頻率”是運算的需要。實際中，只有把負頻率項與相應的正頻率項成對合并起來，才是實際的頻譜函數(shù)。從向量旋轉(zhuǎn)的角度：一個向量的實部可以看成兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的矢量在其實軸上的投影之和，虛部為其在虛軸上的投影之差。AA/20-00ReIm-負頻率的說明35幾點結(jié)論復指數(shù)函數(shù)形式的頻譜為雙邊譜（從-到

+），三角函數(shù)形式的頻譜為單邊譜（從0到+）。兩種頻譜各諧波幅值之間存在如下關(guān)系：一般周期函數(shù)的復指數(shù)傅里葉展開式的實頻譜總是偶對稱的，虛頻譜總是奇對稱的。

36周期信號的強度指標1、峰值2、均值3、有效值4、方均值（平均功率）372.2.2非周期信號的描述38（1）傅里葉變換（Fouriertransform）設(shè)周期信號x(t)在一周期內(nèi)的傅里葉級數(shù)表示為其中：

因此

1/T0=0/2π=/2π0A()02030因此d；n0連續(xù)變化的頻率

。39因此

1/T0=0/2π=/2πdn0連續(xù)變化的頻率

40傅里葉變換（FT）

傅里葉逆變換（IFT）

以代入得記為：x(t)X()FTIFT41用實、虛頻譜形式和幅、相頻譜形式寫為

非周期信號的幅頻譜和周期信號的幅頻譜很相似，但是兩者量綱不同。為信號幅值。為信號單位頻寬上的幅值，是頻譜密度函數(shù)。工程測試中為方便，仍稱為頻譜。

42例：單位矩形窗函數(shù)的頻譜

1-T/2T/2tw(t)0解：森克函數(shù)，也稱采樣函數(shù)、濾波函數(shù)。431T2T3TW(f)函數(shù)只有實部，沒有虛部。sinc以2為周期并隨的增加作衰減振蕩。sinc是偶函數(shù)，在n（n=1,2,…）處其值為0。W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T2T2Tf思考：窗寬T的大小對頻譜有何影響？44非周期信號頻譜的特點

諧波性連續(xù)性收斂性W(f)T01T1Tf3T3T2T2T45應用某齒輪箱各特征頻率值

齒數(shù)1X2X3X4X5X6X7X電動機工頻

16.9033.8050.7067.6084.50101.40118.30II軸轉(zhuǎn)頻

3.737.4611.1814.9118.6422.3726.10III軸轉(zhuǎn)頻

0.951.892.843.794.735.686.63VI軸轉(zhuǎn)頻

0.260.530.791.051.311.581.84V軸轉(zhuǎn)頻

0.010.380.460.54電動機與II軸嚙合15/68253.50507.00760.501014.001267.501521.001774.50II軸與III軸嚙合16/6359.65119.29178.94238.59298.24357.88417.53III軸與VI軸嚙合15/5414.2028.4042.6156.8171.0185.2199.41VI軸與V軸嚙合14/483.687.3611.0514.7318.4122.0925.77Hz46某齒輪箱體實測振動速度頻譜圖

47例：某車床加工外圓表面時，表面振紋主要由轉(zhuǎn)動軸上的齒輪的不平衡慣性力而使主軸箱振動所引起，振紋幅值譜如左圖所示。主軸箱傳遞示意圖如右圖所示。傳動軸I、傳動軸II和傳動軸III上的齒輪齒數(shù)分別為z1=30，z2=40，z3=20，z4=50，傳動軸轉(zhuǎn)速n1=1000r/min。則（）軸上的齒輪不平衡量對加工表面的振紋影響最大？

A.傳動軸IB.傳動軸IIC.傳動軸IIID.傳動軸I和傳動軸III48（2）

傅里葉變換的主要性質(zhì)

積分x(t

t0)時移

頻域微分x(kt)尺度變換

時域微分x(-f)X(t)對稱性

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)頻域卷積AX(f)+bY(f)ax(t)+by(t)線性疊加

X1(f)X2(f)x1(t)x2(t)時域卷積實奇函數(shù)虛奇函數(shù)X*(-f)x*(t)共軛虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)X(-f)x(-t)翻轉(zhuǎn)

虛奇函數(shù)實奇函數(shù)X(f

f0)頻移

實偶函數(shù)實偶函數(shù)函數(shù)的奇偶虛實性頻域時域性質(zhì)頻域時域性質(zhì)49

奇偶虛實性

若x(t)為實偶函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實偶函數(shù)。若x(t)為實奇函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛奇函數(shù)。若x(t)為虛偶函數(shù)，則ReX(f)=0，X(f)為虛偶函數(shù)。若x(t)為虛奇函數(shù)，則ImX(f)=0，X(f)為實奇函數(shù)。50對稱性：X(t)x(-f

)證明：

互換t

和f從而：X(t)x(-f)51尺度改變性

證明：因此時間尺度特性表明：信號在時域中壓縮（k>1，變化速度加快）等效于在頻域擴展（頻帶加寬）；反之亦然。52尺度改變性質(zhì)舉例00000053證明：若t0為常數(shù)

則時移結(jié)果只改變信號的相頻譜，不改變信號的幅頻譜。時移性質(zhì)

54(c)時移的時域矩形窗(d)圖(c)對應的幅頻和相頻特性曲線

時移性質(zhì)舉例（a）時域矩形窗圖（a）對應的幅頻和相頻特性曲線00000055例：求三個窗函數(shù)的頻譜。x(t)tT/2-T/2ττ1對于矩形窗函數(shù)w(t)問題描述為求w(t-τ)+w(t)+w(t+τ)的頻譜根據(jù)時移性質(zhì)56頻移特性

若f0為常數(shù)證明57卷積特性

證明：函數(shù)x(t)與y(t)的卷積定義為同理可得58幾種典型信號的頻譜

（severaltypicalsignal’sspectrum）1.單位脈沖函數(shù)(δ函數(shù))的頻譜(1)δ函數(shù)定義且其面積（強度）：

/201/t(t)0t(t)59(2)δ函數(shù)的性質(zhì)

1)函數(shù)的采樣性質(zhì)

2)篩選性

篩選結(jié)果為x(t)在發(fā)生δ函數(shù)位置的函數(shù)值(又稱為采樣值)

3)卷積性

60函數(shù)與其他函數(shù)的卷積示例

(t)0t1x(t)0tA0tAx(t)(t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t)(tt

0)-t0t0-t0t061例：已知x(t)和y(t)的時域波形，畫出z(t)＝x(t)*y(t)卷積波形。解：622.δ函數(shù)的頻譜

對δ(t)取傅里葉變換

δ函數(shù)具有等強度、無限寬廣的頻譜，這種頻譜常稱為“均勻譜”。

δ函數(shù)是偶函數(shù)，即，則利用對稱、時移、頻移性質(zhì)，還可以得到以下傅里葉變換對0t(t)10f(f)163（各頻率成分分別移相2ft0）(tt0)(f)（單位脈沖譜線）1（幅值為1的直流量）1（均勻頻譜密度函數(shù)）(t)（單位瞬時脈沖）頻域時域單位脈沖函數(shù)的時、頻域關(guān)系643.矩形窗函數(shù)和常值函數(shù)的頻譜

（1）矩形窗(rectanglewindow)函數(shù)的頻譜65W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)066（2）常值函數(shù)(又稱直流量)的頻譜幅值為1的常值函數(shù)的頻譜為f=0處的δ函數(shù)。當矩形窗函數(shù)的窗寬T趨于無窮時，矩形窗函數(shù)就成為常值函數(shù)，其對應的頻域為δ函數(shù)。式中，令f＝0后發(fā)現(xiàn)什么？67（3）指數(shù)(exponent)函數(shù)的頻譜雙邊指數(shù)衰減函數(shù)

其傅里葉變換為

≥68指數(shù)衰減函數(shù)及其頻譜

69（4）符號(sign)函數(shù)和單位階躍(unitstep)函數(shù)的頻譜符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)可以看作是雙邊指數(shù)衰減函數(shù)當a→0時的極限形式，即：≥70單位階躍函數(shù)的頻譜單位階躍函數(shù)可以看作是單邊指數(shù)衰減函數(shù)a→0時的極限形式?！?1單位階躍函數(shù)及其頻譜

01tx(t)0X(t)1－172（5）正余弦(sine/cosine)函數(shù)的頻譜密度函數(shù)

正余弦函數(shù)不滿足絕對可積條件，不能直接對之進行傅里葉變換。由歐拉公式知：731/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t74（6）梳狀(comb)函數(shù)（等間隔的周期單位脈沖序列）的頻譜

Ts為周期；n為整數(shù)。梳狀函數(shù)為周期函數(shù)。表示成傅里葉級數(shù)

（fs

=1/Ts）因為在（-Ts

/2，Ts/2）區(qū)間內(nèi)只有一個函數(shù)(t)，故75從而所以即梳狀函數(shù)的頻譜也為梳狀函數(shù)，且其周期為原時域周期的倒數(shù)（1/Ts），脈沖強度為1/Tb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts......COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts762.2.3隨機(random)信號的描述

隨機信號是非確定性信號隨機信號具有不重復性（在相同條件下，每次觀測的結(jié)果都不一樣）、不確定性、不可預估性隨機信號通常采用概率和統(tǒng)計的方法進行描述相關(guān)概念

隨機現(xiàn)象：產(chǎn)生隨機信號的物理現(xiàn)象

樣本(sample)函數(shù)：隨機現(xiàn)象的單個時間歷程，即對隨機信號按時間歷程所作的各次長時間觀測記錄。記作xi(t)，i表示第i次觀測。

樣本記錄：在有限時間區(qū)間上觀測得到的樣本函數(shù)。

隨機過程：在相同試驗條件下，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全體樣本函數(shù)的集合（總體）。記作{x(t)}，即

{x(t)