2023年隨機(jī)過程知識(shí)點(diǎn)

第一章：預(yù)備知識(shí)§１.1概率空間隨機(jī)實(shí)驗(yàn),樣本空間記為Ω。定義1.１設(shè)Ω是一個(gè)集合，Ｆ是Ω的某些子集組成的集合族。假如(１）F;(２）Ｆ,F;（3)若F，，則F；則稱F為代數(shù)(Bｏrel域)。(,F)稱為可測(cè)空間,Ｆ中的元素稱為事件。由定義易知:定義1.2設(shè)(,Ｆ)是可測(cè)空間，P(·）是定義在上的實(shí)值函數(shù)。假如則稱P是上的概率，（)稱為概率空間，Ｐ（A)為事件Ａ的概率。定義1.３設(shè)(）是概率空間,，假如對(duì)任意,有：則稱為獨(dú)立事件族?！?．2隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量Ｘ,分布函數(shù),n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量，聯(lián)合分布函數(shù)，是獨(dú)立的?！?.3隨機(jī)變量的數(shù)字特性定義１.7設(shè)隨機(jī)變量Ｘ的分布函數(shù)為，若,則稱=為X的數(shù)學(xué)盼望或均值。上式右邊的積分稱為L(zhǎng)ebesgue-Ｓtieltjｅｓ積分。方差，為X、Y的協(xié)方差,而為Ｘ、Y的相關(guān)系數(shù)。若則稱X、Y不相關(guān)。(Schwarz不等式）若則§1.4特性函數(shù)、母函數(shù)和拉氏變換定義1.10設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x）,稱為X的特性函數(shù)隨機(jī)變量的特性函數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)1(2)g（ｔ)在上一致連續(xù)。(3)(４)若是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量,則的特性函數(shù),其中是隨機(jī)變量X的特性函數(shù),．定義1.11設(shè)是n維隨機(jī)變量,t=()則稱,為X的特性函數(shù)。定義1.12設(shè)X是非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)變量,分布列則稱＝為Ｘ的母函數(shù)?！?．5n維正態(tài)分布定義１．1３若n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為式中,是常向量，是正定矩陣，則稱為n維正態(tài)隨機(jī)變量或服從n維正態(tài)分布，記作。可以證明，若，則的特性函數(shù)為為了應(yīng)用的方便，下面,我們不加證明地給出常用的幾個(gè)結(jié)論。性質(zhì)1若則。性質(zhì)2設(shè)，，若正定，則。即正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換仍為正態(tài)隨機(jī)變量。性質(zhì)３設(shè)是四維正態(tài)隨機(jī)變量，，則§1．６條件盼望給定Y＝y(tǒng)時(shí)，X的條件盼望定義為由此可見除了概率是關(guān)于事件{Y=y}的條件概率以外,現(xiàn)在的定義與無條件的情況完全同樣。E（Ｘ｜Y=y)是y的函數(shù),y是Y的一個(gè)也許值。若在已知Y的條件下，全面地考慮X的均值,需要以Y代替ｙ,E(Ｘ｜Y）是隨機(jī)變量Y的函數(shù),也是隨機(jī)變量,稱為Ｘ在Y下的條件盼望。條件盼望在概率論、數(shù)理記錄和隨機(jī)過程中是一個(gè)十分重要的概念，下面我們介紹一個(gè)極其有用的性質(zhì)。性質(zhì)若隨機(jī)變量X與Y的盼望存在,則－--－--－-(1)假如Ｙ是離散型隨機(jī)變量，則上式為假如Ｙ是連續(xù)型,具有概率密度f(x），則（1)式為隨機(jī)過程的概念與基本類型§2．1隨機(jī)過程的基本概念定義2．1設(shè)(）是概率空間，T是給定的參數(shù)集,若對(duì)每個(gè)ｔ∈T，有一個(gè)隨機(jī)變量X(t,ｅ)與之相應(yīng)，則稱隨機(jī)變量族是（）的隨機(jī)過程，簡(jiǎn)記為隨機(jī)過程。T稱為參數(shù)集,通常表達(dá)時(shí)間。通常將隨機(jī)過程解釋為一個(gè)物理系統(tǒng)。X(t）表達(dá)在時(shí)刻t所處的狀態(tài)。X(t）的所有也許狀態(tài)所構(gòu)成的集合稱為狀態(tài)空間或相空間，記為Ｉ。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，隨機(jī)過程是定義在T×Ω上的二元函數(shù)。對(duì)固定的ｔ，Ｘ(ｔ，e)是定義在T上的普通函數(shù)，稱為隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)或軌道，樣本函數(shù)的全體稱為樣本函數(shù)的空間?！欤玻?隨機(jī)過程的函數(shù)特性={X(ｔ），t∈T｝的有限維分布函數(shù)族。有限維特性函數(shù)族:其中：定義2.３設(shè)={X(ｔ),ｔ∈T}的均值函數(shù),。二階矩過程,協(xié)方差函數(shù):相關(guān)函數(shù)：定義2．４設(shè)｛Ｘ（t）,t∈T},｛Y(t),t∈Ｔ}是兩個(gè)二階矩過程，互協(xié)方差函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)?！?.3復(fù)隨機(jī)過程定義2.5設(shè),是取實(shí)數(shù)值的兩個(gè)隨機(jī)過程,若對(duì)任意，其中,則稱為復(fù)隨機(jī)過程．定理2.２復(fù)隨機(jī)過程的協(xié)方差函數(shù)具有性質(zhì)（1)對(duì)稱性:；(2）非負(fù)定性§2.4幾種重要的隨機(jī)過程一、正交增量過程定義2.６設(shè)是零均值的二階矩過程,若對(duì)任意的有公式，則稱正交增量過程。?二、獨(dú)立增量過程定義２．7設(shè)是隨機(jī)過程,若對(duì)任意的正整數(shù)和隨機(jī)變量是互相獨(dú)立的，則稱是獨(dú)立增量過程，又稱可加過程。定義2.８設(shè)是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程，若對(duì)任意隨機(jī)變量的分布僅依賴于，則稱是平穩(wěn)獨(dú)立增量過程。三、馬爾可夫過程定義2.9設(shè)為隨機(jī)過程，若對(duì)任意正整數(shù)n及,，且其條件分布＝,(2.6)則稱為馬爾可夫過程。 四、正態(tài)過程和維納過程?定義2.10 設(shè)是隨機(jī)過程,若對(duì)任意正整數(shù)n和，(,)是n維正態(tài)隨機(jī)變量,則稱是正態(tài)過程或高斯過程。定義2.11 設(shè)為隨機(jī)過程,假如（1）；（2)它是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程;(3)對(duì),增量，則稱為維納過程,也稱布朗運(yùn)動(dòng)過程。?定理2.3設(shè)是參數(shù)為的維納過程，則任意t,；對(duì)任意,,特別：。五、平穩(wěn)過程定義２.12設(shè)是隨機(jī)過程，假如對(duì)任意常數(shù)和正整數(shù)當(dāng)時(shí),與有相同的聯(lián)合分布，則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程，也稱狹義平穩(wěn)過程。定義2.13設(shè)是隨機(jī)過程,假如（1)是二階矩過程;（２)對(duì)于任意常數(shù)；(3)對(duì)任意的,則稱為廣義平穩(wěn)過程，簡(jiǎn)稱為平穩(wěn)過程。若Ｔ為離散集，則稱平穩(wěn)過程為平穩(wěn)序列。第三章泊松過程§3.1泊松過程的定義和例子定義3．１計(jì)數(shù)過程定義3．2稱計(jì)數(shù)過程為具有參數(shù)>0的泊松過程,若它滿足下列條件(1)X（０)=0;(２)X（t)是獨(dú)立增量過程；(３)在任一長(zhǎng)度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t＞０的泊松分布，即對(duì)任意s,t＞0,有注意,從條件（3）知泊松過程是平穩(wěn)增量過程且。由于，表達(dá)單位時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)，故稱為此過程的速率或強(qiáng)度。定義3.3稱計(jì)數(shù)過程為具有參數(shù)＞０的泊松過程，若它滿足下列條件（1）X(0）=０；(2)X（t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程;(3）X(t)滿足下列兩式：（3.2)定理3.1定義３.2與定義3．3是等價(jià)的。３.2泊松過程的基本性質(zhì)一、數(shù)字特性設(shè)是泊松過程,一般泊松過程的有。有特性函數(shù)定義,可得泊松過程的特性函數(shù)為二、時(shí)間間隔與等待時(shí)間的分布為第ｎ次事件Ａ出現(xiàn)的時(shí)刻或第n次事件Ａ的等待時(shí)間，是第n個(gè)時(shí)間間隔,它們都是隨機(jī)變量。定理3.２設(shè)是具有參數(shù)的泊松分布，是相應(yīng)的時(shí)間間隔序列,則隨機(jī)變量是獨(dú)立同分布的均值為的指數(shù)分布。定理3.３設(shè)是與泊松過程相應(yīng)的一個(gè)等待時(shí)間序列，則服從參數(shù)為n與的分布，其概率密度為三、到達(dá)時(shí)間的條件分布定理3.4設(shè)是泊松過程,已知在[0,t］內(nèi)事件A發(fā)生n次,則這n次到達(dá)時(shí)間與相應(yīng)于n個(gè)［0,t]上均勻分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的順序記錄量有相同的分布?！?.3非齊次泊松過程定義3.4稱計(jì)數(shù)過程為具有跳躍強(qiáng)度函數(shù)的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件：(1）;(２)是獨(dú)立增量過程；(3)非齊次泊松過程的均值函數(shù)為：定理3.5設(shè)是具有均值函數(shù)的非齊次泊松過程，則有或上式表白不僅是的函數(shù),也是的函數(shù)。3.4復(fù)合泊松過程定義３.5設(shè)是強(qiáng)度為的泊松過程,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且與獨(dú)立，令則稱為復(fù)合泊松過程。定理3.6設(shè)是復(fù)合泊松過程，則（１)。是獨(dú)立增量過程;(2）X(t)的特性函數(shù)，其中是隨機(jī)變量的特性函數(shù);是事件的到達(dá)率。（3）若則第４章馬爾可夫鏈§4.1馬爾可夫鏈的概念及轉(zhuǎn)移概率一、馬爾可夫鍵的定義定義1設(shè)有隨機(jī)過程，若對(duì)于任意的整數(shù)和任意的，條件概率滿足則稱為馬爾可夫鏈,簡(jiǎn)稱馬氏鏈。二、轉(zhuǎn)移概率定義2稱條件概率為馬爾可夫鏈在時(shí)刻n的一步轉(zhuǎn)移概率,其中，簡(jiǎn)稱為轉(zhuǎn)移概率。定義3若對(duì)任意的，馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率與ｎ無關(guān),則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的，并記為。定義4稱條件概率為馬爾可夫鏈的n步轉(zhuǎn)移概率，定理1設(shè)為馬爾可夫鏈,則對(duì)任意整數(shù)和，n步轉(zhuǎn)移概率具有下列性質(zhì)：定義5設(shè)為馬爾可夫鏈,稱為的初始概率和絕對(duì)概率,并分別稱和為的初始分布和絕對(duì)分布，簡(jiǎn)記為和。定理２設(shè)為馬爾可夫鏈,則對(duì)任意和,絕對(duì)概率具有下列性質(zhì):定理3設(shè)為馬爾可夫鏈,則對(duì)任意和，有§４．2馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、狀態(tài)分類假設(shè)是齊次馬爾可夫鏈,其狀態(tài)空間,轉(zhuǎn)移概率是,初始分布為。定義4.6如集合非空,則稱該集合的最大公約數(shù)為狀態(tài)的周期。如就稱為周期的，如就稱為非周期的。(若對(duì)每一個(gè)不可被整除的,有=0，且是具有此性質(zhì)的最大正整數(shù)，則稱為狀態(tài)的周期。)引理4.1如的周期為ｄ，則存在正整數(shù)M，對(duì)一切，有。定義對(duì)記(4．15)稱是系統(tǒng)在0時(shí)從出發(fā)通過步轉(zhuǎn)移后初次到達(dá)狀態(tài)的概率，而則是在0時(shí)從出發(fā)，系統(tǒng)在有限步轉(zhuǎn)移內(nèi)不也許到達(dá)狀態(tài)的概率。我們將和統(tǒng)稱為首達(dá)概率（又稱首中概率)。引理（1)首達(dá)概率可以用一步轉(zhuǎn)移概率來表達(dá)：定義4.7若=1，則稱狀態(tài)為常返的;若<１，則稱狀態(tài)為非常返的。定義4.8如，則稱常返態(tài)為正常返的；如，則稱常返態(tài)為零常返的,非周期的正常返態(tài)稱為遍歷狀態(tài)。從狀態(tài)是否常返，如常返的話是否正常返,如正常返的話是否非周期等三層次上將狀態(tài)區(qū)分為以下的類型：與有如下關(guān)系:定理4.4對(duì)任意狀態(tài)，及,有(４.1６）引理４.2二、常返態(tài)的性質(zhì)及其性質(zhì)定理4.５狀態(tài)常返的充要條件為（4.18）如非常返，則定理４．7設(shè)常返且有周期ｄ,則．(4.２6）其中為的平均返回時(shí)間。當(dāng)時(shí),.推論設(shè)常返,則零常返;（2）遍歷。定理4.８可達(dá)關(guān)系與互通關(guān)系都具有傳遞性，即假如，,則;假如,,則。定理4.9如，則與同為常返或非常返，若為常返，則它們同為正常返或零常返;與有相同的周期?！?．３狀態(tài)空間的分解?定義4.9狀態(tài)空間I的子集C稱為(隨機(jī)）閉集，如對(duì)任意及都有。閉集C稱為不可約的，如Ｃ的狀態(tài)互通。馬氏鏈稱為不可約的，如其狀態(tài)空間不可約。 引理4.4C是閉集的充要條件為對(duì)任意及kC都有=0,n≥1。 稱狀態(tài)i為吸取的,如=1。顯然狀態(tài)吸取等價(jià)于單點(diǎn)集為閉集。 定理４.10任一馬氏鏈的狀態(tài)空間I,可唯一地分解成有限個(gè)或可列個(gè)互不相交的子集之和，使得每一是常返態(tài)組成的不可約閉集。中的狀態(tài)同類,或全是正常返，或全是零常返。它們有相同的周期且，。Ｄ由全體非常返狀態(tài)組成。自中的狀態(tài)不能到達(dá)D中的狀態(tài)。定義４.10稱矩陣（)為隨機(jī)矩陣,如其元素非負(fù)且每有＝１。顯然k步轉(zhuǎn)移矩陣=(）為隨機(jī)矩陣。引理４.5設(shè)C為閉集，又G=（）,,j∈C,是C上所得的(即與C相應(yīng)的)k步轉(zhuǎn)移子矩陣,則G仍是隨機(jī)矩陣。定理4．11周期為d的不可約馬氏鏈,其狀態(tài)空間可唯一地分解為個(gè)互不相交地子集之和,即（４.3１）且使得自中任一狀態(tài)出發(fā),經(jīng)一步轉(zhuǎn)移必進(jìn)入中（其中）。定理4.12設(shè)是周期為的不可約馬氏鏈，則在定理4.１1的結(jié)論下有(1）如只在時(shí)刻上考慮,即得一新馬氏鏈,其轉(zhuǎn)移陣,對(duì)此新鏈，每一是不可約閉集，且中的狀態(tài)是非周期的。(2)如原馬氏鏈常返，也常返?！欤矗?的漸近性質(zhì)與平穩(wěn)分布 一、的漸近性質(zhì)定理4.１3如j非常返或零常返，則=0,（４.33）推論1有限狀態(tài)的馬氏鏈,不也許全是非常返狀態(tài),也不也許具有零常返狀態(tài)，從而不可約的有限馬氏鏈必為正常返的。推論２如馬氏鏈有一個(gè)零常返狀態(tài)，則必有無限多個(gè)零常返狀態(tài)。定理4．14如ｊ正常返，周期為ｄ，則對(duì)任意ｉ及有（4.３7）推論設(shè)不可約、正常返、周期d的馬氏鏈，其狀態(tài)空間為C，則對(duì)一切,有(４.３8）其中為定理４．11中所給出。特別，如d＝1,則對(duì)一切有(4.39)定理4．1５對(duì)任意狀態(tài)有推論如不可約，常返,則對(duì)任意，有?＝時(shí)，理解=０定義４.1１稱概率分布為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，若它滿足(4.41)值得注意的是，對(duì)平穩(wěn)分布,有(4.42）定理4.16不可約非周期馬爾可夫鏈?zhǔn)钦７档某湟獥l件是存在平穩(wěn)分布,且此平穩(wěn)分布就是極限分布。推論1有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必存在平穩(wěn)分布。推論2若不可約馬爾可夫鏈的所有狀態(tài)是非常返或零常返的，則不存在平穩(wěn)分布.推論3若是馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布,則第五章連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈§５.1連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈定義5.１設(shè)隨機(jī)過程{X(t),ｔ≥０},狀態(tài)空間，若對(duì)于任意及有=(５.1)則稱{X（t),t≥０}為連續(xù)時(shí)間的馬爾可夫鏈。記(5.1)式條件概率的一般形式為(5.２)定義５.2若(5.2)式的轉(zhuǎn)移概率與s無關(guān),則稱連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈具有平穩(wěn)的或齊次的轉(zhuǎn)移概率，此時(shí)轉(zhuǎn)移概率簡(jiǎn)記為(５.3)其轉(zhuǎn)移概率矩陣簡(jiǎn)記為。以下的討論均假定我們所考慮的連續(xù)時(shí)間馬爾柯夫鏈都具有齊次轉(zhuǎn)移概率。為方便起見,簡(jiǎn)稱為齊次馬爾可夫過程。定理5.1.1齊次馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率具有以下性質(zhì)：其中（3）式為馬爾可夫過程的Chａpman-Koｌmoｇｏrｏv（簡(jiǎn)稱C-K)方程。(1),（2）由概率定義及的定義易知，下面只證明(3)。定義5.1.3對(duì)于任一t≥0,記分別稱和為齊次馬爾可夫過程的絕對(duì)概率分布和初始概率分布。性質(zhì)5．1.１齊次馬爾可夫過程的絕對(duì)概率及有限維概率分布具有以下性質(zhì):§５．2柯爾莫哥洛夫微分方程引理5.２.1設(shè)齊次馬爾可夫過程滿足正則性條件，則對(duì)于任意固定的是ｔ的一致連續(xù)函數(shù)。定理５.3設(shè)是齊次馬爾可夫過程的轉(zhuǎn)移概率，則下列極限存在我們稱為齊次馬爾可夫過程從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移速率或跳躍強(qiáng)度。推論?對(duì)有限齊次馬爾可夫過程，有(5.2.1）定理５.4(柯爾莫哥洛夫向后方程)假設(shè),則對(duì)一切及t０,有（5．2．4)定理5.2．３（柯爾莫哥洛夫向前方程）在適當(dāng)?shù)恼齽t條件下(5.2.6)定理５.2．4齊次馬爾可夫鏈過程在ｔ時(shí)刻處在狀態(tài)ｊ∈I的絕對(duì)概率滿足如下方程：定理5.2.5設(shè)馬爾可夫過程是不可約的,則有下列性質(zhì):(１)若它是正常返的，則極限存在且等于,這里是方程組的唯一非負(fù)解，此時(shí)稱{}是該過程的平穩(wěn)分布,并且有(2）若它是零常返的或非常返的,則§5.３生滅過程定義設(shè)齊次馬爾可夫過程的狀態(tài)空間為,轉(zhuǎn)移概率為,假如則稱為生滅過程。其中，稱為出生率，稱為死亡率。(1)若(,為正常數(shù))，則稱為線性生滅過程；(2)若,則稱為純生過程;(3）若，則稱為純滅過程。第六章平穩(wěn)隨機(jī)過程§6.1平穩(wěn)過程的概念與例子一、平穩(wěn)過程的定義１.平穩(wěn)過程定義§6.2聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、聯(lián)合平穩(wěn)過程定義設(shè)和是兩個(gè)平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)及僅與有關(guān)，而與無關(guān)，則稱和是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程。定理６．１設(shè)為平穩(wěn)過程,則其相關(guān)函數(shù)具下列性質(zhì):(1)(2）(３)(4）是非負(fù)定的，即對(duì)任意實(shí)數(shù)及復(fù)數(shù)，有(5）若是周期為T的周期函數(shù)，即，則；(６)若是不含周期分量的非周期過程，當(dāng)時(shí)，與互相獨(dú)立,則(1)（2)§6．３隨機(jī)分析一、收斂性概念1、處處收斂對(duì)于概率空間上的隨機(jī)序列,每個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果e都相應(yīng)一序列。(６.２)故隨機(jī)序列事實(shí)上代表一族（６.2)式的序列,故不能用普通極限形式來定義隨機(jī)序列的收斂性。若(６.２)式對(duì)每個(gè)ｅ都收斂,則稱隨機(jī)序列處處收斂,即滿足其中X為隨機(jī)變量。2、以概率１收斂若使隨機(jī)序列滿足的e的集合的概率為１，即我們稱二階矩隨機(jī)序列以概率1收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e),或稱幾乎處處收斂于X(e)，記作。３、依概率收斂若對(duì)于任給的ε>０,若有,則稱二階矩隨機(jī)序列依概率收斂于二階矩隨機(jī)變量X(e),記作。4、均方收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列和二階矩隨機(jī)變量Ｘ，若有(6.３)成立,則稱均方收斂，記作。注：（6．3)式一般記為或。5、依分布收斂設(shè)有二階矩隨機(jī)序列和二階矩隨機(jī)變量Ｘ，若相應(yīng)的分布函數(shù)列,在X的分布函數(shù)F(x）的每一個(gè)連續(xù)點(diǎn)處，有則稱二階矩隨機(jī)序列依分布收斂于二階矩隨機(jī)變量Ｘ，記作對(duì)于以上四種收斂定義進(jìn)行比較，有下列關(guān)系:（1)若,則(2）若，則（3）若，則定理2二階矩隨機(jī)序列收斂于二階矩隨機(jī)變量X的充要條件為定理3設(shè)都是二階矩隨機(jī)序列,Ｕ為二階矩隨機(jī)變量，{}為常數(shù)序列，a，ｂ,c為常數(shù)。令，，,。則（1）；(2）；(3）；(4)；（５)；（6）;特別有。定理4設(shè)為二階矩隨機(jī)序列，則均方收斂的充要條件為下列極限存在。二、均方連續(xù)定義設(shè)有二階矩過程，若對(duì),有,則稱在點(diǎn)均方連續(xù)，記作。若對(duì)Ｔ中一切點(diǎn)都均方連續(xù),則稱在Ｔ上均方連續(xù)。定理(均方連續(xù)準(zhǔn)則）二階矩過程在t點(diǎn)均方連續(xù)的充要條件為相關(guān)函數(shù)。推論若相關(guān)函數(shù)在上連續(xù),則它在T×Ｔ上連續(xù)三、均方導(dǎo)數(shù)定義7設(shè)是二階矩過程，若存在一個(gè)隨機(jī)過程,滿足類似的有稱為在的廣義二階導(dǎo)數(shù)，記為定理６均方可微準(zhǔn)則二階矩過程在t點(diǎn)均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)的廣義二階導(dǎo)數(shù)存在。推論1二階矩過程在Ｔ上均方可微的充要條件為相關(guān)函數(shù)在上每一點(diǎn)廣義二階可微。推論2若在上每一點(diǎn)廣義二階可微，則在T上以及在上存在,且有四、均方積分定義８假如時(shí),均方收斂于，即，則稱在上均方可積，并記為定理7（均方可積準(zhǔn)則）在區(qū)間上均方可積的充要條件為存在。特別的，二階矩過程在上均方可積的充要條件為在上可積。定理8設(shè)在區(qū)間上均方可積，則有(1)特別有(2）特別的有。定理9設(shè)二階矩過程在上均方連續(xù)，則在均方意義下存在，且隨機(jī)過程在上均方可微,且有。推論設(shè)均方可微，且均方連續(xù)，則特別有§4平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性定義9設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,則分別稱為該過程的時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)。定義１０設(shè)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,若,即以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若,即以概率1成立,則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。定義１1假如均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性,則稱該平穩(wěn)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。定理10設(shè)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為(6.9)定理6．11設(shè)為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為(6.１5)其中(6.１6)定理６.12對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過程，等式以概率1成立的充要條件為若為實(shí)平穩(wěn)過程,則上式變?yōu)槎ɡ恚?１3對(duì)于均方連續(xù)平穩(wěn)過程,等式以概率１成立的充要條件為其中與（6.１６)式相同。若為實(shí)平穩(wěn)過程，則上式變?yōu)榈谄哒缕椒€(wěn)過程的譜分析§7.1平穩(wěn)過程的譜密度設(shè)是均方連續(xù)隨機(jī)過程,作截尾隨機(jī)過程