現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法-2013

《現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法》Ⅱ課程內(nèi)容

第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡介

第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)概論

第三章典型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四章有限元法概述第五章平面問題有限元法基礎(chǔ)理論第六章Matlab

優(yōu)化工具箱和ANSYS軟件第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡介現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法:隨著當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛

應(yīng)用而在涉及領(lǐng)域發(fā)展起來的一門新興的多元交叉

學(xué)科。它是以設(shè)計(jì)產(chǎn)品為目標(biāo)的一個(gè)總的知識群體

的總稱。第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡介優(yōu)化設(shè)計(jì)可靠性設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)虛擬設(shè)計(jì)疲勞設(shè)計(jì)相似性設(shè)計(jì)現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法內(nèi)容主要包括：模塊化設(shè)計(jì)反求工程設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)有限元法并行設(shè)計(jì)工業(yè)藝術(shù)造型設(shè)計(jì)第一章現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法簡介第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)概論

第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述人工試湊和定性分析的比較過程，被動(dòng)的重復(fù)分析產(chǎn)品的性能——經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似計(jì)算、一般的安全壽命可行設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法:

基于手工勞動(dòng)或簡易計(jì)算工

具。方法低效，一般只能獲

得一個(gè)可行的設(shè)計(jì)方案。傳統(tǒng)機(jī)械設(shè)計(jì)理論與方法包

括疲勞壽命理論、強(qiáng)度理論、動(dòng)力學(xué)理論

常憑經(jīng)驗(yàn)、試算、校核等方法。優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的比較利用計(jì)算機(jī)程序主動(dòng)設(shè)計(jì)產(chǎn)品參數(shù)，獲得最優(yōu)方案——理論設(shè)計(jì)、精確計(jì)算、優(yōu)化設(shè)計(jì)第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述現(xiàn)代優(yōu)化方法：

基于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，設(shè)計(jì)過程包括：①從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型；②選擇合適的優(yōu)化方法求解數(shù)學(xué)模型。

特點(diǎn)：以人機(jī)配合或自動(dòng)搜索方式進(jìn)

行，能從“所有的”的可行方案中找

出“最優(yōu)的”的設(shè)計(jì)方案。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述來源：優(yōu)化一語來自英文Optimization，其本意是尋優(yōu)的

過程。優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值或極小

值的過程。例如,在右圖中，求得一維函數(shù)f(x)最小值的條件為：若ｘ取x0，則f(x)取得最小值f(x0)。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)概念第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)：是使某項(xiàng)機(jī)械設(shè)計(jì)在規(guī)定的各種設(shè)計(jì)限制條件下，優(yōu)選設(shè)計(jì)參數(shù)，使某項(xiàng)或幾項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)獲得最優(yōu)值。最優(yōu)化理論最優(yōu)化是從所有可能的方案中選擇最合理的一種方案,以達(dá)到最佳目標(biāo)的科學(xué).達(dá)到最佳目標(biāo)的方案是最優(yōu)方案,尋找最優(yōu)方案的方法----最優(yōu)化方法(算法)

。把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)：最優(yōu)化原理與方法，在科學(xué)、工程和社會(huì)的實(shí)際問題中的應(yīng)用，即為優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)可以使一項(xiàng)設(shè)計(jì)在一定的技術(shù)和物質(zhì)條件下，尋求一個(gè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)最佳的設(shè)計(jì)方案。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的歷史及發(fā)展1、古典優(yōu)化思想:17世紀(jì)，利用微分學(xué)和變分學(xué)的解析解法?！?/p>

僅能解決簡單的極值問題3、現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計(jì)：

20世紀(jì)80年代出現(xiàn)許多現(xiàn)代優(yōu)化算法：模擬退火算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法、蟻群優(yōu)化算法等。

從狹義優(yōu)化設(shè)計(jì)（零部件參數(shù)）轉(zhuǎn)向廣義優(yōu)化設(shè)計(jì)（面向產(chǎn)品的全系統(tǒng)、設(shè)計(jì)全過程、全壽命周期）。例如,針對涉及多領(lǐng)域復(fù)雜系統(tǒng)的多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和混合離散規(guī)劃等。優(yōu)化設(shè)計(jì)從無約束→有約束優(yōu)化問題；連續(xù)變量→離散變量；確定型→隨機(jī)型模型；單目標(biāo)優(yōu)化→多目標(biāo)優(yōu)化。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述2、經(jīng)典優(yōu)化方法：20世紀(jì)40年代，數(shù)學(xué)規(guī)劃方法

——可求解包

含等式約束和不等式約束的復(fù)雜優(yōu)化問題。最優(yōu)化方法用于機(jī)械設(shè)計(jì)是從二十世紀(jì)六十年代開始的,第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述早的成果主要反映在機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面,現(xiàn)已廣泛用于機(jī)械，零部件設(shè)計(jì)和機(jī)械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì).機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中發(fā)展較早的領(lǐng)域，連桿機(jī)構(gòu)、凸輪機(jī)構(gòu)等再現(xiàn)函數(shù)和軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)主要研究了慣性力最優(yōu)平衡，主動(dòng)件力矩最小波動(dòng)等的問題。機(jī)械零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)主要研究了各種減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)、液壓軸承和滾動(dòng)軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)以及軸、彈簧、制動(dòng)器等的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化從層次上可分為：拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，它們分別對應(yīng)著產(chǎn)品設(shè)計(jì)過程中的概念設(shè)計(jì)、基本設(shè)計(jì)和詳細(xì)設(shè)計(jì)階段。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述尺寸優(yōu)化形狀優(yōu)化拓?fù)鋬?yōu)化應(yīng)用案例美國BELL飛機(jī)公司利用優(yōu)化方法解決450個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題。一個(gè)機(jī)翼質(zhì)量減輕35%。利用一化工優(yōu)化系統(tǒng)，對一化工廠進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)給定數(shù)據(jù)，在16小時(shí)內(nèi)，進(jìn)行16000個(gè)可行性設(shè)計(jì)的選擇，從中選擇一成本最低、產(chǎn)量最大的方案，并給出必須的精確數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)：一組工程師，一年時(shí)間，僅僅3個(gè)方案，且并非最優(yōu)。波音公司，在747的機(jī)身設(shè)計(jì)中收到了減輕質(zhì)量、縮短生產(chǎn)周期、降低成本的效果。武漢鋼鐵公司從德國引進(jìn)的1700薄板軋機(jī)，經(jīng)該公司自主優(yōu)化后，就多盈利幾百萬馬克。第一節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)概述1。把實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)描述,建立一組數(shù)學(xué)表達(dá)式，稱數(shù)學(xué)模型2。尋找一種數(shù)值計(jì)算方法和相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序3。求解工程最優(yōu)化問題的求解的三個(gè)步驟：

現(xiàn)用薄板制造一體積為100m3，長度不小于5m的無上蓋的立方體貨箱，要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長、寬、高尺寸。

分析：（1）目標(biāo)：用料最少，即貨箱的表面積最小。（2）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：長

x1

、寬

x2、高

x3；（3）設(shè)計(jì)約束條件：

（a）體積要求

（b）長度要求貨箱的優(yōu)化設(shè)計(jì)2.1

引例第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型已知：傳動(dòng)比

i，轉(zhuǎn)速

n，傳動(dòng)功率

P，大小齒輪的材料，設(shè)計(jì)該齒輪副，使其重量最輕。（1）目標(biāo)：圓柱齒輪的體積V或重量w最?。唬?）設(shè)計(jì)參數(shù)確定：模數(shù)m、齒寬b、齒數(shù)z1（3）設(shè)計(jì)約束條件：

（a）大、小齒輪滿足彎曲強(qiáng)度要求；

（b）齒輪副滿足接觸疲勞強(qiáng)度要求；

（c）齒寬系數(shù)要求；

（d）最小齒數(shù)要求分析：齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)參數(shù)：設(shè)計(jì)目標(biāo)：約束條件：齒寬系數(shù)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三大要素：

設(shè)計(jì)變量

約束條件

目標(biāo)函數(shù)2.2優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型由設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件三部分組成，其一般形式如下：數(shù)學(xué)模型的一般形式求設(shè)計(jì)變量：x1,x2,…xn其中：

稱不等式約束條件，簡稱不等式約束；使目標(biāo)函數(shù)極小化:滿足約束條件:稱等式約束條件，簡稱等式約束。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型可寫為向量形式：s.t.表示滿足于用表示設(shè)計(jì)變量min表示極小化引例1的一般形式為：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型齒寬系數(shù)引例2的一般形式為：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的步驟：根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，

對優(yōu)化對象進(jìn)行分析；對結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)

常數(shù)和設(shè)計(jì)變量；根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件；對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化處理。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型1.設(shè)計(jì)變量

在設(shè)計(jì)過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中設(shè)計(jì)變量是不斷修改、調(diào)整，一直處于變化狀態(tài)。2.3

數(shù)學(xué)模型的組成

一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是：構(gòu)件幾何量（如尺寸、位置等），物理量（如質(zhì)量、頻率等），應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量，非物理量（如壽命、成本等）。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問題。其中任一個(gè)特定的向量都可以稱為一個(gè)“設(shè)計(jì)”。

設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問題（b）三維設(shè)計(jì)問題第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)連續(xù)時(shí),

為直線;

為平面;

為立體空間;為超越空間.

設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大，可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大，求解亦愈復(fù)雜。由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。記作目前已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

小型設(shè)計(jì)問題：2~10個(gè)設(shè)計(jì)變量；

中性設(shè)計(jì)問題：10~50個(gè)設(shè)計(jì)變量；

大型設(shè)計(jì)問題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。最優(yōu)化問題的目的：在設(shè)計(jì)空間中無窮多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)中，找到一個(gè)既滿足所有約束條件，又使目標(biāo)函數(shù)取得極小值的點(diǎn)，稱最優(yōu)點(diǎn)。它所代表的解稱最優(yōu)解。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如何選定設(shè)計(jì)變量？

抓主要，舍次要

對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至不考慮；任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，越可以詳細(xì)地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以選擇設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：根據(jù)要解決的設(shè)計(jì)問題的特殊性來選擇設(shè)計(jì)

變量。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型2、約束條件

根據(jù)約束性質(zhì)：約束分類：

一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。

性能約束——針對性能要求而提出的限制條件。如選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性要求等；側(cè)面約束（邊界約束）——針對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束。如允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍等。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

顯式約束和隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式，如復(fù)雜結(jié)構(gòu)中的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計(jì)算求得。

根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式：等式約束：

不等式約束：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型可行域：凡滿足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間的活動(dòng)范圍。（對應(yīng)不可行域）

如右下圖所示滿足兩項(xiàng)約束條件的二維設(shè)計(jì)問題的可行域D為ABC涵蓋區(qū)域，包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。約束條件：第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型一般情況下，設(shè)計(jì)可行域可表示為：

不可行域:

可行點(diǎn)和不可行點(diǎn)

D內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)為可行點(diǎn),

否則為不可行點(diǎn)（外點(diǎn)）。

邊界點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)

約束邊界上的可行點(diǎn)為邊界點(diǎn),其余可行點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)。

起作用的約束與不起作用的約束

滿足

的約束為起作用約束,否則為不起作用的約束.(等式約束一定是起作用約束)第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

為了對設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)。用它可以評價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被稱作評價(jià)函數(shù)。記作：

在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計(jì)變量的不斷向

f(X)

值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得的

f(X)

最好或最滿意的

X值。通常:3、目標(biāo)函數(shù)在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意:

目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量；

在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：最小體積，最輕重量，最高效率，最大承載能力，最小振幅或噪聲，最小成本，最高利潤等等。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。目前處理多目標(biāo)設(shè)計(jì)問題常用的方法是組合成一個(gè)復(fù)合的目標(biāo)函數(shù)，如采用線性加權(quán)的形式，即單目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。加權(quán)因子第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）

c

為一系列常數(shù)，代表一族

n

維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，f（x1，x2）=c

代表x1，x2設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。令目標(biāo)函數(shù)f(X)等于任意常數(shù)c由此得到的圖形稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線或等值面,即具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面。

目標(biāo)函數(shù)是

n

維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖形只能在

n+1維空間中描述出來。為了在

n

維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值線（面）的方法。

最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值，則可以看成是

[

-f(X)]

的最小值，當(dāng)然也可看成是求

1/f(X)

的極小值。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型無約束優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般形式：約束優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般形式：4、優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的一般形式優(yōu)化問題的本質(zhì)是求極值的數(shù)學(xué)問題。從理論上可以有解析法，即應(yīng)用極值理論求解，但由于實(shí)際優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)往往是非線性的，解析法求解非常困難，甚至無法實(shí)現(xiàn)。數(shù)值計(jì)算法可以較好地解決這類問題。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問題基本解法解析法

根據(jù)函數(shù)極值的必要條件和充分條件求得其最優(yōu)解析解的求解方法，適用于目標(biāo)函數(shù)比較簡單的情況。圖解法對簡單的低維問題，可以用作圖法，得到近似最優(yōu)點(diǎn)。數(shù)值法最優(yōu)化問題基本解法又稱為數(shù)值迭代方法。數(shù)值計(jì)算的迭代方法是從目標(biāo)函數(shù)出發(fā)，構(gòu)造一種使目標(biāo)函數(shù)值逐次

下降的數(shù)值計(jì)算方法；利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算，一步步搜索、調(diào)優(yōu)逐步逼近函數(shù)極值

點(diǎn)或最優(yōu)點(diǎn)，所得到的解即一定精度下的近似解。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型解析法圖解法數(shù)值法原理用數(shù)學(xué)方法（微分，變分等）直接求求數(shù)學(xué)方程的極值作目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)圖形后找極值點(diǎn)反復(fù)迭代，逐步逼近優(yōu)點(diǎn)精度高簡單直觀適用于復(fù)雜的和無法用方程描述的優(yōu)化問題缺點(diǎn)計(jì)算量大，費(fèi)時(shí)手工作圖，精度較低近似計(jì)算，精度受影響適用范圍易于求導(dǎo)的低維數(shù)優(yōu)化問題2維以下的優(yōu)化問題各種復(fù)雜的優(yōu)化問題第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型2.4數(shù)值迭代計(jì)算數(shù)值迭代法的基本思路：搜索、迭代、逼近

如下圖所示，按照某一迭代算式，從任意一個(gè)初始點(diǎn)

X0

開始，按某一遞推的格式產(chǎn)生出如下點(diǎn)列：X0

，X1

，X2，…，Xk，Xk+1

，…若對應(yīng)的函數(shù)值有如下的關(guān)系：必有：則構(gòu)成此點(diǎn)列的算式和遞推迭代格式就成為一種下降迭代算法。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的基本格式上述點(diǎn)的產(chǎn)生一般采用如下迭代算式用以求最優(yōu)步長因子的數(shù)值算法稱一維搜索法稱最優(yōu)步長因子其中:稱搜索方向第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的基本迭代格式可歸納如下:Step3:確定最優(yōu)步長因子，計(jì)算得到新的迭代點(diǎn)；Step1:給定初始點(diǎn)和收斂精度，并置計(jì)數(shù)單元；Step2:選取搜索方向；Step4:終止判斷：若點(diǎn)滿足收斂精度，則以它為最優(yōu)點(diǎn)，輸出：并終止迭代；否則，以它作為新的起點(diǎn)，即令轉(zhuǎn)Step2進(jìn)行下一輪迭代。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型下降迭代算法的計(jì)算框圖如下：不難看出，要構(gòu)成一個(gè)下降迭代算法必須解決以下問題：給定適當(dāng)?shù)慕K止

判斷準(zhǔn)則。初始點(diǎn)選擇合適的搜索

方向。確定最優(yōu)步長

因子。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型終止準(zhǔn)則（1）點(diǎn)距準(zhǔn)則迭代點(diǎn)向極小點(diǎn)的逼近速度是逐漸變慢的，越接近極小點(diǎn)，相鄰迭代點(diǎn)間的距離越近。當(dāng)時(shí)：令，輸出和,終止迭代。一般取收斂精度。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型（2）值差準(zhǔn)則在迭代點(diǎn)向極小點(diǎn)逼近的過程中，不僅相鄰迭代點(diǎn)間的距離逐漸縮短，它們的函數(shù)值也越來越接近。因此，也可將相鄰迭代點(diǎn)的函數(shù)值之差作為判斷近似最優(yōu)解的準(zhǔn)則，這就是值差準(zhǔn)則。即如果有:或令，輸出和,終止迭代。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型（3）梯度準(zhǔn)則多元函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度等于零。由此構(gòu)成如下梯度終止準(zhǔn)則。令，輸出和,終止迭代。

上述準(zhǔn)則都在一定程度上反映了逼近最優(yōu)點(diǎn)的程度，但都有一定的局限性。在實(shí)際應(yīng)用中，可取其中一種或多種同時(shí)滿足來進(jìn)行判定。采用哪種收斂準(zhǔn)則，可視具體問題而定。第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型數(shù)值法求解優(yōu)化問題具體解法無約束優(yōu)化問題：約束優(yōu)化問題：隨機(jī)方向搜索法復(fù)合形法可行方向法

懲罰函數(shù)法模擬退火法遺傳算法（GA）模糊優(yōu)化法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化多目標(biāo)優(yōu)化問題：一維搜索法梯度法

共軛梯度法牛頓法變尺度法坐標(biāo)輪換法

單純形法鮑威爾法統(tǒng)一目標(biāo)函數(shù)法主要目標(biāo)函數(shù)法功效系數(shù)法第二節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型第三章典型優(yōu)化設(shè)計(jì)方法導(dǎo)數(shù)法：利用梯度和二階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造搜索方向如梯度法、牛頓法、

變尺度法、共軛梯度法等求解無約束優(yōu)化問題minf（X）的數(shù)值迭代解法，稱為無約束優(yōu)化方法。方法的基本問題是：選擇搜索方向不同的搜索方向，構(gòu)成不同的無約束優(yōu)化算法。方法分：導(dǎo)數(shù)法和模式法兩類模式法：利用某些點(diǎn)上的函數(shù)值構(gòu)造搜索方向如坐標(biāo)輪換法、鮑威爾法、單純形法等第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法無約束優(yōu)化問題的流程圖開始給定x和S的初始值計(jì)算使f（x+S）極小xx+S結(jié)束形成新的S滿足收斂條件？

由于和S的形成和確定方法不同派生出不同的無約束優(yōu)化方法。

無約束優(yōu)化問題的解法是研究有約束優(yōu)化問題的基礎(chǔ)，也是優(yōu)化方法的基礎(chǔ)。有些實(shí)際問題，其數(shù)學(xué)模型

本身就是無約束優(yōu)化問題，

或者除了在非常接近極小點(diǎn)

的情況下，都可以按無約束

問題來處理。通過熟悉無約束優(yōu)化問題的

解法，可以為研究約束優(yōu)化

問題打下良好的基礎(chǔ)。約束優(yōu)化問題的求解往往可

以通過一系列無約束優(yōu)化方

法來實(shí)現(xiàn)。第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法YN第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法3.1

一維搜索法在優(yōu)化設(shè)計(jì)的迭代運(yùn)算中，在搜索方向

上尋求最優(yōu)步長的方法稱一維搜索法。一維搜索法是非線性優(yōu)化方法的基本算法，一維搜索法就是一元函數(shù)極小值的數(shù)值迭代算法；

多維目標(biāo)函數(shù)的迭代算法都可以歸結(jié)為在一系列逐步產(chǎn)生的下

降方向上的一維搜索。多維目標(biāo)函數(shù)的極值若出發(fā)點(diǎn)及搜索方向已確定，則從出發(fā)，沿方向搜索新點(diǎn)的迭代格式為為步長因子選擇一特定步長，使產(chǎn)生的新點(diǎn)是方向上目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，即:則稱為方向上的最優(yōu)步長因子。

第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法確定初始區(qū)間

確定單變量函數(shù)極小點(diǎn)所在的初始搜索區(qū)間

，該區(qū)間是單谷區(qū)間。對于單變量函數(shù)，其單谷區(qū)間用[a,b]表示，其中a<b

。單谷區(qū)間特征：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極小點(diǎn)。在極小點(diǎn)左邊的函數(shù)值應(yīng)是嚴(yán)

格下降，在極小點(diǎn)右邊的函數(shù)

值應(yīng)是嚴(yán)格上升，單谷區(qū)間內(nèi)的函數(shù)值具有的特

征是：“高—低—高”。第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法進(jìn)退法確定搜索區(qū)間若:，則極小值點(diǎn)在

的右邊，保持搜索方向，稱正向搜索外推法；令：比較：，函數(shù)值的大小Step1:確定搜索方向若:，則極小值點(diǎn)在

的左邊，掉轉(zhuǎn)搜索方向，稱反向搜索外推法。正向搜索外推法（前進(jìn)運(yùn)算）反向搜索外推法（后退運(yùn)算）Step2:小步試探令：比較：，函數(shù)值的大小若:，則區(qū)間為：注意:對反向搜索，在小步試探前自變量函數(shù)值沿前進(jìn)方向換名，區(qū)間為：。第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法正向搜索外推法（前進(jìn)運(yùn)算）反向搜索外推法（后退運(yùn)算）Step3:大步長搜索若:，步長增加一倍繼續(xù)搜索起始點(diǎn)和中間點(diǎn)向搜索方向移動(dòng)一步后，令：比較：，函數(shù)值的大小若:，則正向搜索區(qū)間為：反向搜索，區(qū)間為：。否則，加倍步長繼續(xù)搜索，直至函數(shù)值出現(xiàn)“高-低-高”為止。第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法進(jìn)退法確定搜索區(qū)間流程圖在得到初始區(qū)間以后，通過某種算法，不斷縮小包含極小點(diǎn)的區(qū)間，就可得到一維極小點(diǎn)。

縮小區(qū)間的方法，即一維搜索法。試探法插值法黃金分割法裴法納契法(Fibonacci)二次插值法三次插值法一維搜索法第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法

黃金分割法1.基本思想將區(qū)間按一定的比例縮小，且正常迭代時(shí)每縮短一次區(qū)間只需計(jì)算一次函數(shù)值。適用于單谷函數(shù)求極小值，且函數(shù)可以不連續(xù)的。選點(diǎn)的原則：對稱－對稱在區(qū)間[a，b]內(nèi)的兩個(gè)對稱點(diǎn)可由以下公式產(chǎn)生：x1=a+（1－λ）(b－a）x2=a+λ(b－a)其中：λ為比例系數(shù)(0<λ<1)第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法若初始區(qū)間為[a,b]，縮小一次后的新區(qū)間為[a,x2]。區(qū)間收縮率表示每次縮小所得到的新區(qū)間長度與縮小前舊區(qū)間長度之比區(qū)間收縮率即為，且每次分割保持不變。若使一次分割時(shí)的X1點(diǎn)與二次分割時(shí)的X2點(diǎn)在同一位置，則：即：解得：黃金分割法第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法黃金分割法以區(qū)間長度是否充分小作為終止準(zhǔn)則，并以收斂時(shí)區(qū)間的中間點(diǎn)作為一維搜索的極小點(diǎn)，即當(dāng)b-a≤ε時(shí)，取x*=(a+b)/22.區(qū)間取舍通過比較搜索區(qū)間內(nèi)兩試點(diǎn)的函數(shù)值，逐步縮短搜索區(qū)間，得到一

個(gè)不斷縮小的區(qū)間序列，逐步縮短搜索區(qū)間過程中保證極小點(diǎn)不會(huì)被舍棄；消去左邊區(qū)間消去右邊區(qū)間3.終止準(zhǔn)則第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法黃金分割法的算法框圖:

第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法二次插值法基本思想：用三點(diǎn)二次插值多項(xiàng)式來逼近原函數(shù)。取點(diǎn)的方法：二次插值函數(shù)的極小點(diǎn)第一次迭代第二次迭代第一節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法利用區(qū)間消去法原理將初始搜索區(qū)間不斷縮短，從而求得極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

函數(shù)的方向?qū)?shù)

一個(gè)二元函數(shù)，在點(diǎn)

處沿某一方向的方向?qū)?shù)

(即變化率)

可定義如下：

二元函數(shù)，在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)（即沿坐標(biāo)軸方向的變化率，或稱坐標(biāo)軸方向的方向?qū)?shù)）如下：優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系二元函數(shù)三元函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）n元函數(shù)式中，為S方向與坐標(biāo)軸方向xi夾角的余弦。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）

函數(shù)的梯度

函數(shù)F(X)在某點(diǎn)

X

的方向?qū)?shù)表明函數(shù)沿某一方向S的變化率。一般說來，函數(shù)在某一確定點(diǎn)沿不同方向的變化率是不同的。函數(shù)F(X)在點(diǎn)X處的梯度▽F(X),可記作gradF(X)方向S的單位向量

為求得函數(shù)在某點(diǎn)X方向?qū)?shù)為最大的方向，引入梯度的概念。

以二元函數(shù)為例:優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）的梯度:n元函數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）梯度▽F(X)是一個(gè)向量，梯度方向是函數(shù)具有最大變化率的方向（方向?qū)?shù)最大的方向），梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。即：分析:

函數(shù)F(X)沿S方向的方向?qū)?shù)等于向量▽F(X)在

S

方向上的投影。

當(dāng)

，即S與▽F(X)方向相同時(shí)，向量▽F(X)在S方向上的投影最大，其值為:說明：

梯度▽F(X)方向是函數(shù)F(X)的最速上升方向；負(fù)梯度-▽F(X)方向是函數(shù)F(X)的最速下降方向。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（一）第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法3.2

梯度法設(shè)想從某點(diǎn)出發(fā)，其搜索方向取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向，使函數(shù)值在該點(diǎn)附近下降最快。這種方法也稱為最速下降法。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基本原理梯度法的迭代公式為：

X(k+1)=X(k)-(k)g(k)g(k)

函數(shù)F(X)在迭代點(diǎn)X(k)處的梯度F(X(k))

(k)一般采用一維搜索的最優(yōu)步長即F(X(k+1))=F(X(k)-(k)g(k))=minF(X(k)-(k)g(k))=min()或(g(k+1))Tg(k)=0

’()=-(F(X(k)-(k)g(k)))T

g(k)

=0即（

f(x(k+1)))Tg(k)

=0相鄰的兩個(gè)迭代點(diǎn)的梯度是彼此正交的。根據(jù)極值的必要條件和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式，有:相鄰的搜索方向相互垂直向極小點(diǎn)的逼近路徑是一條曲折

的鋸齒形路線，而且越接近極小點(diǎn)，前進(jìn)速度越慢。離極小點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，一次迭代得到的函數(shù)下降量較大。許多收斂性較好的算法，第一步迭代都采用梯度法。梯度法特點(diǎn)：迭代終止條件采用梯度準(zhǔn)則：

||g(k)||第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法迭代步驟（1）給定初始點(diǎn)X0

和收斂精度

ε，置k=0；（2）計(jì)算梯度，并構(gòu)造搜索方向(歸一化)（3）一維搜索，求新的迭代點(diǎn)（4）收斂判斷：若滿足則令X*=X(k+1)，F(xiàn)(X*)=F(X(k+1))終止計(jì)算；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)（2）繼續(xù)迭代。第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法（2）第一個(gè)迭代點(diǎn)為解（1）求初始點(diǎn)的負(fù)梯度例3.1：已知目標(biāo)函數(shù)：設(shè)初始點(diǎn)為X(0）=(1,1),,用梯度法求極小值。轉(zhuǎn)化為求一維尋優(yōu)的問題，求導(dǎo)：新的迭代點(diǎn)：最佳步長第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法（3）求X(1)的梯度（4）求第二個(gè)迭代點(diǎn)X(2)因，繼續(xù)迭代。第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法以X(2)為起點(diǎn)繼續(xù)求X（3)

，此問題的最優(yōu)解為:因，可知也不是極值點(diǎn)，還應(yīng)繼續(xù)迭代。第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法解得：第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法3.3

坐標(biāo)輪換法算法特點(diǎn)：1）編程簡單，容易掌握；2）收斂速度通常較低，僅適于低維

的情況。搜索過程基本思想：每次搜索只允許一個(gè)變量變化，其余變量保持不變，也可稱為變量輪換法。收斂效果與目標(biāo)函數(shù)等值線有關(guān)(1)等值線為橢圓,且長短軸分別平行于坐標(biāo)軸時(shí)--高效(3)等值線為如圖脊線時(shí)--無效(2)長短軸不平等于坐標(biāo)軸--低效第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法

第二輪迭代。。。依次類推，不斷迭代，目標(biāo)函數(shù)值不斷下降，最后逼近該目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)。坐標(biāo)輪換法迭代步驟：沿第一坐標(biāo)軸的方向e1作一維搜索，用一維優(yōu)化方

法確定最優(yōu)步長11

;計(jì)算第一輪的第一個(gè)迭代點(diǎn)X11=X01+11

e1

；以X11為新起點(diǎn)，沿第二坐標(biāo)軸的方向e2作一維搜索，

確定步長21

，計(jì)算第一輪的第二個(gè)迭代點(diǎn)X21=X11+21

e2任取一初始點(diǎn)X0作為第一輪的始點(diǎn)X01;第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法終止準(zhǔn)則注意：若采用點(diǎn)距準(zhǔn)則或函數(shù)值準(zhǔn)則，其中采用的點(diǎn)應(yīng)該是一輪迭代的始點(diǎn)和終點(diǎn)，而不是某搜索方向的前后迭代點(diǎn)?？梢圆捎命c(diǎn)距準(zhǔn)則或者其它準(zhǔn)則。第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法坐標(biāo)輪換法的流程圖入口給定：x0，K=1i=1Xik=x0沿ei方向一維搜索求ixik=xi-1k+

ikeix=xkf=f(x)i=n?||xnk-x0k||?x*=xf*=f(x*)出口i=i+1x0=x0kk=k+1NYNY第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法設(shè)：初始點(diǎn)x0=(0,0),精度為，試用坐標(biāo)輪換法求極小值例3.2：目標(biāo)函數(shù)：第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法第三節(jié)無約束優(yōu)化問題設(shè)計(jì)方法

一般工程實(shí)際優(yōu)化問題絕大多數(shù)屬于約束非線性規(guī)劃問題，其一般數(shù)學(xué)模型如下：求解上述問題的方法稱為約束優(yōu)化方法。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法根據(jù)約束條件處理方法的不同，約束優(yōu)化方法可分為以下類型：

直接法直接從可行域中尋找它的約束最優(yōu)解。常用方法:約束坐標(biāo)輪換法,約束隨機(jī)方向法,復(fù)合形法,

可行方向法,線性逼近法等.特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：算法簡單、直觀性強(qiáng)、對函數(shù)無特殊要求。缺點(diǎn)：計(jì)算量大、收斂慢，因而效率低。適用場合：維數(shù)低、函數(shù)復(fù)雜、精度要求不高的問題。

間接法

把約束條件引入目標(biāo)函數(shù)，使約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)

化問題求解的算法。如：

常用方法:罰函數(shù)法,拉格朗日乘子法等.第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法4.1隨機(jī)方向搜索法約束隨機(jī)方向搜索法是解決小型約束最優(yōu)化問題的一種常用的直接求解方法。搜索方向---采用隨機(jī)產(chǎn)生的方向①若該方向不適用、可行，則試另一方向；②若該方向適用、可行，則以定步長前進(jìn)；基本思路③若在某處產(chǎn)生的方向足夠多，仍無一適用、可行，則采用收縮步長；④若步長小于預(yù)先給定的誤差限則終止迭代。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

隨機(jī)方向的實(shí)現(xiàn)1、隨機(jī)方向的產(chǎn)生需要在(0,1)和(-1,1)區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)，其步驟如下：

1)用RND(X)產(chǎn)生n個(gè)隨機(jī)數(shù)3).構(gòu)成隨機(jī)方向2).將(0,1)中的隨機(jī)數(shù)變換到(-1,1)中去;第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法2、初始點(diǎn)的選擇初始點(diǎn)必須位于可行域內(nèi)，即要滿足全部不等式約束，其方法有：1)通過判別直接給定，但對于復(fù)雜問題有一定的難度；2)利用隨機(jī)函數(shù)的方法來選擇。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法隨機(jī)選定初始點(diǎn)，它的各維分量取值范圍式中，和是n維設(shè)計(jì)變量的上限和下限，即初始點(diǎn)各維分量是在區(qū)間(0,1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)列。判斷是否在可行域內(nèi)3、生成可行搜索方向即在隨機(jī)方向中選擇一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降最快的方向，當(dāng)點(diǎn)滿足：則可行搜索方向?yàn)?、搜索步長采用加速步長法，即依次迭代的步長按一定的比例遞增，即第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5、收斂條件若前后函數(shù)值之差與可行點(diǎn)的范數(shù)均小于給定的精度，則收斂適用于求解小型的約束優(yōu)化問題。

隨機(jī)搜索的步驟：選擇可行初始點(diǎn)

;

若收斂條件滿足，迭代終止。否則，轉(zhuǎn)步驟②。產(chǎn)生

k個(gè)n維隨機(jī)單位向量；取試驗(yàn)步長，按計(jì)算k

個(gè)隨

機(jī)點(diǎn)；在k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)中，找出滿足條件的隨機(jī)點(diǎn)，產(chǎn)生可行搜索方向

;從初始點(diǎn)出發(fā)，沿可行搜索方向d

以步長進(jìn)行迭代計(jì)算，直到搜索一個(gè)滿足全部約束條件，且目標(biāo)函數(shù)值不再下降的新點(diǎn)

x

；第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例4.1:二維約束優(yōu)化問題試用兩個(gè)隨機(jī)數(shù)

構(gòu)成第

次搜索的隨機(jī)方向

，由當(dāng)前點(diǎn)

出發(fā)，按照該方向取步長

計(jì)算迭代點(diǎn)，確定該方向的終點(diǎn)

。解：隨機(jī)方向和新點(diǎn):

第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法適用性檢驗(yàn)：新點(diǎn)函數(shù)值小于舊點(diǎn)函數(shù)值，該點(diǎn)適用。可行性檢驗(yàn)：因此，為可行點(diǎn)，其函數(shù)值為：

第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法1.凸集凸函數(shù)、凸規(guī)劃優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）優(yōu)化問題一般要求目標(biāo)函數(shù)在某一區(qū)域內(nèi)的最小點(diǎn)，即有：然而由于函數(shù)本身的問題，會(huì)出現(xiàn)局部最小點(diǎn)和全局最小點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)集(或區(qū)域)，如果連接其中任意兩點(diǎn)X1和X2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集。其數(shù)學(xué)描述為：若有：且有有：如Y

總在集合D

內(nèi)，則稱D為凸集。2.凸函數(shù)

函數(shù)，如果連結(jié)其凸集定義域內(nèi)任意兩點(diǎn)X1

，X2的線段上，函數(shù)值小于或等于用及作線性內(nèi)插所得的值，那么稱為凸函數(shù)，用數(shù)學(xué)描述為：若F(X)為一元函數(shù)，可以用右圖表示優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）3.凸規(guī)劃對于約束優(yōu)化問題若都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃3)凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。其性質(zhì)為：1)若給定一點(diǎn)X0，則集合為凸集，即當(dāng)為二元函數(shù)時(shí)，其等值線呈現(xiàn)大圈套小圈形式。2)可行域?yàn)橥辜?yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）4.最優(yōu)點(diǎn)性質(zhì)目標(biāo)函數(shù)Y=G(X)，設(shè)計(jì)變量X,取值區(qū)間[a，b]即優(yōu)化問題的可行區(qū)域D={X∣a≤X≤b}?！?●2★3●1●3★2Y=G(X)abX★3和●3分別為閉區(qū)間上設(shè)計(jì)端點(diǎn)；★2為開區(qū)間內(nèi)極大點(diǎn)（或稱局部極值點(diǎn)或局部最優(yōu)點(diǎn)）;★1為可行區(qū)域D內(nèi)全局最大點(diǎn)（全局最優(yōu)點(diǎn)）;●1為開區(qū)間內(nèi)極小點(diǎn);●2為可行區(qū)域D內(nèi)全局最小點(diǎn)。局部及全局最優(yōu)點(diǎn)概念最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)可分為：局部最優(yōu)點(diǎn)、全局最優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）局部及全局最優(yōu)點(diǎn)性質(zhì)討論

全局最優(yōu)點(diǎn)一定也是局部最優(yōu)點(diǎn)，而局部最優(yōu)點(diǎn)不一

定是全局最優(yōu)點(diǎn)。

判斷是否全局、局部最優(yōu)點(diǎn)的依據(jù)和最實(shí)用方法是高等數(shù)學(xué)中的極值原理（開區(qū)間上講極值，閉區(qū)間上講最值）。

最優(yōu)化問題常要求解全局最優(yōu)點(diǎn)，然而由于優(yōu)化算法本

身結(jié)構(gòu)、優(yōu)化問題本身的復(fù)雜性等原因，很多情況下算

的是局部最優(yōu)點(diǎn)：

傳統(tǒng)優(yōu)化算法：如黃金分割法，單純形法、復(fù)合形法、最小二

乘法等算的是局部最優(yōu)點(diǎn)

目前，求解全局最優(yōu)點(diǎn)的有效方法主要有：遺傳優(yōu)化法、多個(gè)

局部最優(yōu)點(diǎn)比較綜合法。

新發(fā)展的模糊優(yōu)化法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化法都很難直接求出全局最

優(yōu)點(diǎn)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（二）4.2

懲罰函數(shù)法——是一種使用廣泛、很有效的間接解法基本思想：第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法數(shù)學(xué)基礎(chǔ)用約束條件構(gòu)造一個(gè)制約函數(shù)，當(dāng)約束條件不滿足時(shí)，該函數(shù)受

到制約，反之當(dāng)約束條件滿足時(shí)，則不受制約；將制約函數(shù)加權(quán)后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新目標(biāo)函數(shù)—懲罰函數(shù)；將約束問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束問題求解和稱懲罰因子，是一個(gè)遞增或遞減的數(shù)列，使懲罰項(xiàng)所起的作用越來越小，即：和分別是由不等式約束函數(shù)和等式約束函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，分別稱障礙項(xiàng)和懲罰項(xiàng)。其中稱為懲罰函數(shù)；結(jié)果：與收斂于同一最優(yōu)解。障礙項(xiàng)：當(dāng)?shù)c(diǎn)在可行域內(nèi)時(shí)，在迭代過程中阻止迭代點(diǎn)越出邊界。懲罰項(xiàng)：當(dāng)?shù)c(diǎn)在非可行域或不滿足不等式約束條件時(shí)，在迭代

過程之中迫使迭代點(diǎn)逼近約束邊界或等式約束曲面。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法懲罰函數(shù)法又可分為外點(diǎn)法、內(nèi)點(diǎn)法和混合法?？蛇m用于求解含不等式約束的優(yōu)化問題。4.2.1內(nèi)點(diǎn)法基本思想：內(nèi)點(diǎn)法將新目標(biāo)函數(shù)定義于可行域內(nèi)，這樣它的初始點(diǎn)及后面的迭代點(diǎn)序列必定在可行域內(nèi)。對約束優(yōu)化問題：轉(zhuǎn)化后的內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)可以有如下兩種形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法倒數(shù)形式：對數(shù)形式：依次對各個(gè)罰函數(shù)求極值，所得極小點(diǎn)序列是向約束問題的最優(yōu)點(diǎn)逼近的。障礙項(xiàng)①懲罰函數(shù)的有效區(qū)域是約束的可行域，目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的所

有點(diǎn)都受到懲罰，且愈靠近約束邊界懲罰得愈多；②不同的懲罰因子對應(yīng)不同的罰函數(shù)，懲罰因子愈小，函數(shù)的極小點(diǎn)愈接近約束邊界處的最優(yōu)點(diǎn)；③當(dāng)懲罰因子趨近于零時(shí)，懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)，就是原約束問題的

最優(yōu)點(diǎn)。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例4-1用內(nèi)點(diǎn)處罰函數(shù)法求問題約束最優(yōu)解。解：用內(nèi)點(diǎn)法求解，首先構(gòu)造內(nèi)點(diǎn)

懲罰函數(shù)：用解析法對函數(shù)求極小值。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解得不滿足約束條件，舍去。無約束極值點(diǎn)為：31.20.360[1.8230][1.4220][1.1560][10]3.9073.0572.00513.3232.0221.3361第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法內(nèi)點(diǎn)法中的初始點(diǎn)、懲罰因子初值及其縮減系數(shù)的選取和收斂條件的確定:1.初始點(diǎn)的選取離約束邊界較遠(yuǎn)的可行點(diǎn)。程序設(shè)計(jì)時(shí)，一般，考慮具有人工輸入、和計(jì)算機(jī)自動(dòng)生成可行初始點(diǎn)的兩種功能。2.懲罰因子的初值的選取懲罰因子的初值選取應(yīng)適當(dāng)，否則會(huì)影響迭代計(jì)算的正常進(jìn)行。太大會(huì)影響迭代次數(shù)，太小會(huì)使懲罰函數(shù)的形態(tài)變壞，難以收斂到極值點(diǎn)。

1）取r0=1，根據(jù)試算的結(jié)果，再?zèng)Q定增加或減少r0

值。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法2）按經(jīng)驗(yàn)公式這樣選取的r0

，可以是懲罰函數(shù)中的障礙項(xiàng)和原目標(biāo)函數(shù)的值大致相等，不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太大則其支配作用，也不會(huì)因障礙項(xiàng)的值太小而被忽略掉。3.懲罰因子的縮減系數(shù)c的選取

在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時(shí)，懲罰因子r是一個(gè)逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為：第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法懲罰因子的縮減系數(shù)通常的取值范圍：0.1-0.7之間。4.收斂條件第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可適用于求解含不等式約束和等式約束的優(yōu)化問題。4.2.2外點(diǎn)法基本思想：新目標(biāo)函數(shù)在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。對約束優(yōu)化問題：轉(zhuǎn)化后的外點(diǎn)懲罰函數(shù)的形式為：式中：r為懲罰因子，即取第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法①在可行域內(nèi)懲罰函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)是完全重合的，在可行域外懲罰函數(shù)的曲線被抬高，且離邊界越遠(yuǎn)，曲線被抬高得越多；②懲罰因子越大，懲罰函數(shù)被抬高得越多，極小點(diǎn)越靠近約束邊界；③懲罰因子趨于無窮大時(shí)，懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)就是約束問題的最優(yōu)點(diǎn)。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例6-6用外點(diǎn)法求問題約束最優(yōu)解。首先構(gòu)造外點(diǎn)懲罰函數(shù)：用解析法求解第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法求解得0.31.27.5[0.2310][0.60][0.8820][10]0.2310.5520.78510.0530.360.781第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法外點(diǎn)法懲罰因子按下式遞增遞增系數(shù)，通常取c=5-10。選取的r0

太大則會(huì)使懲罰函數(shù)等值線偏心或變形，難以取得極小值。但r0太小，勢必增加迭代次數(shù)。經(jīng)驗(yàn)計(jì)算一般取r0=1，c=10常常可以取得滿意的效果。也可以通過經(jīng)驗(yàn)公式獲得r0

值第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法內(nèi)點(diǎn)法的特點(diǎn)： 1．初始點(diǎn)必須為嚴(yán)格內(nèi)點(diǎn) 2．不適于具有等式約束的數(shù)學(xué)模型3．迭代過程中各個(gè)點(diǎn)均為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較慢5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．罰因子為遞減，遞減率c有0<c<1。 第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法外點(diǎn)法的特點(diǎn)：

1．初始點(diǎn)可以任選，但應(yīng)使各函數(shù)有定義2．對等式約束和不等式約束均可適用3．僅最優(yōu)解為可行設(shè)計(jì)方案4．一般收斂較快5．初始罰因子要選擇得當(dāng)6．懲罰因子為遞增，遞增率c有c>1。第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法例：用內(nèi)點(diǎn)法求目標(biāo)函數(shù)f(x)=ax受約束g(x)=b-x<0時(shí)的最優(yōu)解。

構(gòu)造懲罰函數(shù)

求可求出極值點(diǎn)表達(dá)式為：懲罰函數(shù)值為：r(k)為一遞減序列：0.1，0.01，0.0014.2.2混合法混合法是綜合外點(diǎn)法和內(nèi)點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)建立的一種算法，對不等式約束按內(nèi)點(diǎn)法建立懲罰項(xiàng)，對等式約束按外點(diǎn)法建立懲罰項(xiàng)，即:稱混合懲罰函數(shù)。式中，懲罰因子rk1取正的遞減數(shù)列；rk2取正的遞增數(shù)列。或:第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法顯然，當(dāng)懲罰因子rk

取正的遞減數(shù)列并趨近于零時(shí)，混合懲罰函數(shù)的極小點(diǎn)就是原約束最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。若將兩個(gè)懲罰因子合并，即令：得到只包含一個(gè)懲罰因子的混合懲罰函數(shù)或第四節(jié)約束問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法工程實(shí)際問題通常有多種評價(jià)設(shè)計(jì)質(zhì)量好壞的技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。稱多目標(biāo)最優(yōu)化問題，簡稱多目標(biāo)問題。以,

,…代表多個(gè)目標(biāo)函數(shù)或設(shè)計(jì)目標(biāo)，構(gòu)成的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型：第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法多目標(biāo)問題的解：完全最優(yōu)解：使各個(gè)目標(biāo)函數(shù)都取得極小值的解；劣解：至少使一個(gè)目標(biāo)函數(shù)取得最大值的解；有效解：除完全最優(yōu)解和劣解之外的所有解。有效解之間是不能

直接比較優(yōu)劣的。無論哪一種方法都只能求得有效解，或相對最優(yōu)解。多目標(biāo)最優(yōu)化方法就是在對各個(gè)目標(biāo)加權(quán)量化的基礎(chǔ)上，將不可比問題轉(zhuǎn)化成可比問題，求得對每一個(gè)目標(biāo)來說都相對最優(yōu)的有效解。多目標(biāo)最優(yōu)化一般都是轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)求解的。如常用的主要目標(biāo)法、線性加權(quán)法、最大最小法和理想點(diǎn)法等。第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.1主要目標(biāo)法將多目標(biāo)問題，用主要目標(biāo)法構(gòu)造的多目標(biāo)問題如下：在所有技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中選出一個(gè)最重要的作為設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，而將其他的指標(biāo)分別給定一個(gè)可以接受的范圍，轉(zhuǎn)變?yōu)橐唤M約束條件，從而構(gòu)成一個(gè)單目標(biāo)最優(yōu)化問題。其中，fi1和fi2分別是第i個(gè)目標(biāo)fi的下限和上限。第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法由此求的就是原多目標(biāo)問題的一個(gè)相對最優(yōu)解。5.2線性加權(quán)法由q個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成綜合評價(jià)函數(shù):多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)約束最優(yōu)化問題：是反映各個(gè)分目標(biāo)重要性的系數(shù)，稱權(quán)因子。第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法一般情況下有如何確定合理的權(quán)因子是這一方法的關(guān)鍵。多數(shù)情況下權(quán)因子可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)直接給出，有時(shí)也可按下式計(jì)算:其中是以第i

個(gè)分目標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)所構(gòu)成的單目標(biāo)問題的最優(yōu)值。第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.3最大最小法對多目標(biāo)優(yōu)化問題采用各個(gè)目標(biāo)中的最大值作為評價(jià)函數(shù)的函數(shù)值來構(gòu)造新的目標(biāo)函數(shù)。即：評價(jià)函數(shù)其中：將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)為下列單目標(biāo)優(yōu)化問題：第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法5.4理想點(diǎn)法構(gòu)造如下單目標(biāo)優(yōu)化評價(jià)函數(shù)：可以證明，此問題的最優(yōu)解是一個(gè)最接近完全最優(yōu)解的有效解。故稱這種方法為理想點(diǎn)法。的意義與前述相同將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)為下列單目標(biāo)優(yōu)化問題：第五章多目標(biāo)問題優(yōu)化設(shè)計(jì)方法第六章有限元法第一節(jié)有限元法概覽第三節(jié)結(jié)構(gòu)離散化第四節(jié)單元位移模式第五節(jié)單元分析單元?jiǎng)偠染仃嚨诹?jié)整體分析總體剛度矩陣第七節(jié)邊界條件處理

計(jì)算成果整理第二節(jié)有限元法基本思路第一節(jié)有限元法概覽工程問題建模分析過程典型工程問題物理模型計(jì)算結(jié)果分析驗(yàn)證修改驗(yàn)證直接實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嗨茖?shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿?shù)學(xué)模型彈性力學(xué)問題熱傳導(dǎo)問題流體力學(xué)問題電磁場問題應(yīng)力場溫度場流速場電磁場邊界條件偏微分方程的邊值問題偏微分方程

典型工程問題的數(shù)學(xué)描述數(shù)學(xué)問題！解析法解析解（函數(shù)）僅解決某些特殊問題差分法數(shù)值解（近似）受邊界形狀限制且精度有限變分法解析解（近似）工程應(yīng)用受限有限元法數(shù)值解+解析解計(jì)算機(jī)應(yīng)用目前工程應(yīng)用最為廣泛的分析方法逆法、半逆法三角級數(shù)法復(fù)變函數(shù)法特殊函數(shù)法數(shù)學(xué)模型的求解偏微分方程的邊值問題求解方法：歷史

1943年數(shù)學(xué)家Courant

第一次提出了有限元的思想；有限元法是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法1956年JohnTurner

首次將這種方法應(yīng)用于波音飛機(jī)動(dòng)力學(xué)計(jì)算；

20世紀(jì)60年代后，F(xiàn)EM應(yīng)用于各種力學(xué)問題和非線性問題（Argyris1965年），并得到迅速發(fā)展。1960年Clough

提出了FiniteElementMethod的名稱。國內(nèi)：50年代數(shù)學(xué)家馮康

“基于變分原理的差分格式”。1970年后，F(xiàn)EM被引入我國，并很快地得到應(yīng)用和發(fā)展。1967年Zienkiewicz

出版《TheFiniteElementMethod》。彈性力學(xué)平面問題板殼，空間問題靜力學(xué)流體力學(xué)，熱力學(xué)，電磁學(xué)……固體力學(xué)動(dòng)力學(xué)，穩(wěn)定、波動(dòng)等問題彈性材料彈塑性，粘彈性材料小變形、幾何線性大變形、幾何非線性單一物理場多物理場耦合與CAD無縫集成開放性、二次開發(fā)網(wǎng)格處理能力發(fā)展數(shù)字化產(chǎn)品開發(fā)基本流程有限元應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域：結(jié)構(gòu)熱流體,包括CFD(計(jì)算流體動(dòng)力學(xué))電場/靜電電磁電子及器具重型設(shè)備及機(jī)械MEMS–微機(jī)電系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)品

有限元應(yīng)用的部分工業(yè)領(lǐng)域:航空航天汽車生物醫(yī)學(xué)橋梁和建筑應(yīng)用領(lǐng)域結(jié)構(gòu)分析用于確定結(jié)構(gòu)的變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反力。靜力分析用于靜力載荷條件可以模擬諸如大變形、大應(yīng)變、接觸、塑性、超彈、蠕變等非線性行為結(jié)構(gòu)分析動(dòng)力學(xué)分析模態(tài)分析

計(jì)算固有頻率及振型諧響應(yīng)分析

確定結(jié)構(gòu)對已知幅值和頻率的正弦載荷的響應(yīng)瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

確定結(jié)構(gòu)對隨時(shí)間變化載荷的響應(yīng)，可以包括非線性行為其他結(jié)構(gòu)功能譜分析隨機(jī)振動(dòng)特征值屈曲子結(jié)構(gòu),子模型疲勞、斷裂力學(xué)、復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分析側(cè)重慣性力占主導(dǎo)的大變形模擬用于模擬沖擊、碰撞、跌落、爆炸、快速成型等高度非線性問題結(jié)構(gòu)分析熱分析用于確定物體的溫度分布。其它如熱損失或吸收的熱量，熱梯度、熱通量等也可以獲得?？梢阅M所三種主要的傳熱方式：傳導(dǎo)、對流及輻射穩(wěn)態(tài)時(shí)間相關(guān)效應(yīng)可以忽略瞬態(tài)確定溫度等時(shí)間相關(guān)的量可以模擬相變(熔化或凝固)熱分析電磁分析用于計(jì)算電磁裝置的電磁場靜態(tài)及低頻

電磁場模擬直流電源操作裝置，低頻AC或低頻瞬態(tài)信號例如:電機(jī)、變壓器等電磁場可分析磁通量密度、場強(qiáng)磁力及磁矩、阻抗、電感、渦流、功率損失及通量泄漏等。機(jī)箱內(nèi)磁場分布機(jī)箱漏磁場分布

電磁場分析高頻電磁場模擬裝置的電磁波傳播例如:微波及RFpassive部件,波導(dǎo),同軸連結(jié)器感興趣的量包括S-參數(shù)，Q-因子,返回?fù)p失，電介質(zhì)和傳導(dǎo)損失，及電場和磁場螺旋天線

中心截面電場強(qiáng)度圖

中心截面磁場強(qiáng)度

電磁場分析靜電計(jì)算電壓或電荷激勵(lì)的電場例如:高壓裝置，微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS),傳輸線典型感興趣的量是電場強(qiáng)度及電容電流傳導(dǎo)計(jì)算給定電壓下導(dǎo)體的電流電路耦合電路與電磁裝置的耦合電場強(qiáng)度矢量圖

電場強(qiáng)度分布云圖

同軸電纜中的電場(EFSUM)

電場分析計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)確定流體的流動(dòng)及溫度分布ANSYS/FLOTRAN可以模擬層流和湍流，可壓和不可壓縮流動(dòng)及多組份流體應(yīng)用:航空航天,電子封裝，汽車設(shè)計(jì)典型量包括速度、壓力、溫度及對流換熱系數(shù)流體分析聲學(xué)用于模擬流體及其所包圍的固體間的相互作用。例如:揚(yáng)聲器,汽車interiors,聲納典型量包括壓力分布、位移及固有頻率容器內(nèi)流體分析用于模擬容器內(nèi)不流動(dòng)的流體計(jì)算及由于晃動(dòng)導(dǎo)致的靜水壓力例如:油箱,其他流體容器熱及質(zhì)量輸運(yùn)一維單元用于計(jì)算兩點(diǎn)間質(zhì)量輸運(yùn)產(chǎn)生的熱，如管道。流體分析雙金屬桿由于加熱產(chǎn)生變形耦合場分析考慮兩種或多于兩種場之間的相互作用。每一種場都依賴于另一種場使得不可能對每個(gè)場單獨(dú)求解，因此需要一個(gè)能夠?qū)⑽锢韱栴}綜合在一起考慮計(jì)算的程序。例如:熱應(yīng)力分析壓電分析(電及結(jié)構(gòu))聲學(xué)(流體及結(jié)構(gòu))熱－電分析導(dǎo)熱(磁和熱)靜電－結(jié)構(gòu)分析由壓電陶瓷產(chǎn)生的機(jī)電耦合場（超聲電機(jī)原理）耦合場分析拓?fù)鋬?yōu)化10040靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化:在體積約束下優(yōu)化結(jié)構(gòu)靜剛度ANSYS拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果（體積減少50%）拓?fù)鋬?yōu)化動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化:在體積約束下優(yōu)化低階固有頻率（即提高動(dòng)剛度）ANSYS拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算結(jié)果工程實(shí)際問題的有限元分析剛度、強(qiáng)度（應(yīng)用于整車、大小總成與零部件分析）；靜力學(xué)分析汽車結(jié)構(gòu)常規(guī)有限元分析：疲勞:分析研究多次使用載荷作用下的破壞FatigueSensitivitySafetyFactor工程實(shí)際問題的有限元分析輕量化設(shè)計(jì)；汽車控制臂有限元拓?fù)鋬?yōu)化工程實(shí)際問題的有限元分析NVH分析（各種振動(dòng)、噪聲）；動(dòng)力學(xué)特性分析工程實(shí)際問題的有限元分析Noise:20Hz-10000HzVibration:0.5Hz-500HzHarshness:20Hz-200Hz模態(tài)分析,頻率響應(yīng)或諧響應(yīng)分析,隨機(jī)振動(dòng)分析工程實(shí)際問題的有限元分析

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析；多剛體動(dòng)力學(xué)，剛-柔體動(dòng)力學(xué)工程實(shí)際問題的有限元分析車輛碰撞模擬分析；大變形非線線分析，沖擊分析工程實(shí)際問題的有限元分析金屬板件沖壓成型模擬分析;接觸非線性，大變形非線性工程實(shí)際問題的有限元分析應(yīng)用軟件用戶分布情況：

ANSYSABQUSLS-DYNAMARCADINAMSC.NASTRANHyperworks非線性動(dòng)力分析接觸非線性多物理場，通用性好求解器效率高接觸非線性，前后處理弱提供源代碼，二次開發(fā)功能強(qiáng)前處理功能強(qiáng)大軟件比較一般結(jié)構(gòu)非線性爆炸與沖擊電磁場聲學(xué)（噪聲）滲流多場耦合流體力學(xué)溫度場易用性價(jià)格二次開發(fā)ANSYS540542545555ABAQUS554344335455LS-DYNA125000202251MSC.MARC550330335345MSC.NASTRAN530343235152ADINA550335445345項(xiàng)目軟件第二節(jié)有限元法基本思路有限元法基本思路:問題分析結(jié)構(gòu)離散分片近似單元平衡整體平衡方程求解物理模型節(jié)點(diǎn)單元位移函數(shù)單剛方程總剛方程節(jié)點(diǎn)位移

離散化

構(gòu)造單元內(nèi)

位移函數(shù)；單元位移模式

單元分析；劃分網(wǎng)格，將連續(xù)體劃分為有限數(shù)量的單元。單元內(nèi)位移節(jié)點(diǎn)位移單元?jiǎng)偠染仃噯卧?jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)位移變分法思想

整體分析；總體剛度矩陣節(jié)點(diǎn)位移外載荷靜力平衡

求解；節(jié)點(diǎn)位移單元位移模式幾何方程物理方程差分法思想（1）平衡微分方程：（2）幾何方程：（3）物理方程：（4）邊界條件：三組方程+兩組邊界條件偏微分方程邊值問題平面問題彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型位移變分方程虛功方程極小勢能原理應(yīng)力邊界條件平衡微分方程等價(jià)!虛功方程：對單元，外力虛功等于內(nèi)力虛功。虛功方程矩陣表示第三節(jié)結(jié)構(gòu)離散化第二節(jié)結(jié)構(gòu)離散化

深梁（離散化結(jié)構(gòu)）

將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)：將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些節(jié)點(diǎn)處連接，構(gòu)成所謂“離散化結(jié)構(gòu)”。單元節(jié)點(diǎn)1單元要素節(jié)點(diǎn)：單元與單元之間的連接點(diǎn)（i,j,m）。節(jié)點(diǎn)位移：節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的位移。ijm節(jié)點(diǎn)力：通過節(jié)點(diǎn)傳遞的內(nèi)力。節(jié)點(diǎn)載荷：作用在節(jié)點(diǎn)上的載荷（外力）。單元位移：單元內(nèi)位移分布（u(x,y),v(x,y)）2單元類型一維單元：如桿單元，梁單元

二維單元：如三角形單元，四邊形單元。

三維單元：如四面體單元，六面體單元，棱柱單元。

3連續(xù)體離散化模型

單元間僅通過節(jié)點(diǎn)連接，沒有其它聯(lián)系；位移，載荷僅通過節(jié)點(diǎn)傳遞；單元內(nèi)依然是連續(xù)體，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。第四節(jié)單元位移模式單元位移函數(shù)