第4章 MATLAB數(shù)值和符號計算

第4章MATLAB數(shù)值和符號計算2023/2/514.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計處理

4.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。1．求向量的最大值和最小值求一個向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復數(shù)元素，則按模取最大值。(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。例4-1求向量x的最大值。命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,l]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置2．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：(1)max(A)：返回一個行向量，向量的第i個元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時，該函數(shù)返回一個列向量，其第i個元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。例4-2分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個矩陣的最大值和最小值。3．兩個向量或矩陣對應元素的比較函數(shù)max和min還能對兩個同型的向量或矩陣進行比較，調(diào)用格式為：(1)U=max(A,B)：A,B是兩個同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A,B對應元素的較大者。(2)U=max(A,n)：n是一個標量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個元素等于A對應元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例6-3求兩個2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。4.1.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個向量，A是一個矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于sum(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于prod(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。4.1.3平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：返回一個行向量，其第i個元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于mean(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的算術(shù)平均值。median(A,dim)：當dim為1時，該函數(shù)等同于median(A)；當dim為2時，返回一個列向量，其第i個元素是A的第i行的中值。例4-5分別求向量x與y的平均值和中值。4.1.4排序MATLAB中對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個對X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對A的列還是行進行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。4.2曲線擬合在MATLAB中，用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多項式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項式計算所給出的點上的函數(shù)近似值。polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為：[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點X和采樣點函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個m次多項式P及其在采樣點的誤差向量S。其中X,Y是兩個等長的向量，P是一個長度為m+1的向量，P的元素為多項式系數(shù)。polyval函數(shù)的功能是按多項式的系數(shù)計算x點多項式的值。例4-6已知數(shù)據(jù)表[t,y]，試求2次擬合多項式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點的函數(shù)近似值。4.3多項式計算

4.3.1多項式的四則運算1．多項式的加減運算2．多項式乘法運算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個多項式系數(shù)向量。例4-7求多項式x4+8x3-10與多項式2x2-x+3的乘積。3．多項式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對多項式P1和P2作除法運算。其中Q返回多項式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。例4-8求多項式x4+8x3-10除以多項式2x2-x+3的結(jié)果。4.3.2多項式的導函數(shù)對多項式求導數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項式P的導函數(shù)p=polyder(P,Q)：求P·Q的導函數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導函數(shù)，導函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項式的向量表示。例4-9求有理分式的導數(shù)。命令如下：P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)4.3.3多項式的求值MATLAB提供了兩種求多項式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項式求值，而后者是矩陣多項式求值。1．代數(shù)多項式求值polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項式在該點的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個元素求其多項式的值。例6-19已知多項式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個2×3矩陣為自變量計算該多項式的值。2．矩陣多項式求值polyvalm函數(shù)用來求矩陣多項式的值，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項式的值。設(shè)A為方陣，P代表多項式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))例4-10仍以多項式x4+8x3-10為例，取一個2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyvalm計算該多項式的值。4.3.4多項式求根n次多項式具有n個根，當然這些根可能是實根，也可能含有若干對共軛復根。MATLAB提供的roots函數(shù)用于求多項式的全部根，其調(diào)用格式為：x=roots(P)其中P為多項式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項式的n個根。例4-11求多項式x4+8x3-10=0的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多項式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若x為具有n個元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項式，且將該多項式的系數(shù)賦給向量P。例4-12已知f(x)=3x5+4x3-5x2-7x+5(1)計算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個多項式g(x)，并與f(x)進行對比。命令如下：P=[3,0,4,-5,-7,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多項式g(x)4.4線性方程組求解

4.4.1直接解法1．利用左除運算符的直接解法對于線性方程組Ax=b，可以利用左除運算符“\”求解：

x=A\b例4-13用直接解法求解下列線性方程組命令如下：A=[2,-3,1;8,3,2;45,1,-9];b=[4;2;17]';x=A\b4.5函數(shù)極值MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：

x=fmin('fname',x1,x2)x=fmins('fname',x0)這兩個函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fmin函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點。fname是被最小化的目標函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fmins函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點，x0是求解的初始值向量。MATLAB沒有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的最大值。

例4-14求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小值點。

(1)建立函數(shù)文件mymin.m。functionfx=mymin(x)fx=x.^3-2*x-5;(2)調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點。x=fmin('mymin',0,5)x=0.81654.6.1數(shù)值積分基本原理求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個積分區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問題就分解為求和問題。4.6數(shù)值積分4.6.2數(shù)值積分的實現(xiàn)方法1．變步長辛普生法基于變步長辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來控制積分精度，缺省時取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過程，若取非0則展現(xiàn)積分過程，取0則不展現(xiàn)，缺省時取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。

例4-15求定積分

(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=772．牛頓－柯特斯法基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。例4-16求定積分(1)被積函數(shù)文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8('fx',0,pi)I=2.4674例4-17分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。調(diào)用函數(shù)quad求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65

調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333．被積函數(shù)由一個表格定義在MATLAB中，對由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。例4-18用trapz函數(shù)計算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163934.6.3二重定積分的數(shù)值求解使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。例4-19計算二重定積分(1)建立一個函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于統(tǒng)計被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=10384.7數(shù)值微分

4.7.1數(shù)值差分與差商4.7.2數(shù)值微分的實現(xiàn)在MATLAB中，沒有直接提供求數(shù)值導數(shù)的函數(shù)，只有計算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：DX=diff(X)：計算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：計算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：計算矩陣A的n階差分，dim=1時(缺省狀態(tài))，按列計算差分；dim=2，按行計算差分。例4-20生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]為基礎(chǔ)的范得蒙矩陣，按列進行差分運算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%計算V的一階差分例4-21用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導數(shù)，并在同一個坐標系中做出f'(x)的圖像。程序如下：f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多項式p擬合f(x)dp=polyder(p);%對擬合多項式p求導數(shù)dpdpx=polyval(dp,x);%求dp在假設(shè)點的函數(shù)值dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%直接對f(x)求數(shù)值導數(shù)gx=g(x);%求函數(shù)f的導函數(shù)g在假設(shè)點的導數(shù)plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');%作圖4.8符號對象

4.8.1建立符號對象1．建立符號變量和符號常量MATLAB提供了兩個建立符號對象的函數(shù)：sym和syms，兩個函數(shù)的用法不同。(1)sym函數(shù)sym函數(shù)用來建立單個符號量，一般調(diào)用格式為：符號量名=sym('符號字符串')該函數(shù)可以建立一個符號量，符號字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達式。應用sym函數(shù)還可以定義符號常量，使用符號常量進行代數(shù)運算時和數(shù)值常量進行的運算不同。下面的命令用于比較符號常量與數(shù)值常量在代數(shù)運算時的差別。(2)syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個符號變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個函數(shù)syms，一次可以定義多個符號變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號變量名1符號變量名2…符號變量名n用這種格式定義符號變量時不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號分隔。2．建立符號表達式含有符號對象的表達式稱為符號表達式。建立符號表達式有以下3種方法：(1)利用單引號來生成符號表達式。(2)用sym函數(shù)建立符號表達式。(3)使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達式。4.8.2符號表達式運算1．符號表達式的四則運算符號表達式的加、減、乘、除運算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來實現(xiàn)，冪運算可以由sympow來實現(xiàn)。2．符號表達式的提取分子和分母運算如果符號表達式是一個有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來提取符號表達式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：[n,d]=numden(s)該函數(shù)提取符號表達式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。3．符號表達式的因式分解與展開MATLAB提供了符號表達式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對符號表達式s分解因式。expand(s)：對符號表達式s進行展開。collect(s)：對符號表達式s合并同類項。collect(s,v)：對符號表達式s按變量v合并同類項。4．符號表達式的化簡MATLAB提供的對符號表達式化簡的函數(shù)有：simplify(s)：應用函數(shù)規(guī)則對s進行化簡。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對表達式進行綜合化簡，并顯示化簡過程。5．符號表達式與數(shù)值表達式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達式變換成它的符號表達式。函數(shù)numeric或eval可以將符號表達式變換成數(shù)值表達式。4.8.3符號表達式中變量的確定MATLAB中的符號可以表示符號變量和符號常量。findsym可以幫助用戶查找一個符號表達式中的的符號變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號表達式s中的n個符號變量，若沒有指定n，則返回s中的全部符號變量。4.8.4符號矩陣符號矩陣也是一種符號表達式，所以前面介紹的符號表達式運算都可以在矩陣意義下進行。但應注意這些函數(shù)作用于符號矩陣時，是分別作用于矩陣的每一個元素。由于符號矩陣是一個矩陣，所以符號矩陣還能進行有關(guān)矩陣的運算。MATLAB還有一些專用于符號矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個的數(shù)據(jù)無意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實，曾介紹過的許多應用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應用于符號矩陣。4.8.5符號極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1)limit(f,x,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。即計算當變量x趨近于常數(shù)a時，f(x)函數(shù)的極限值。(2)limit(f,a)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。由于沒有指定符號函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時，符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認自變量，即變量x趨近于a。(3)limit(f)：求符號函數(shù)f(x)的極限值。符號函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認變量；沒有指定變量的目標值時，系統(tǒng)默認變量趨近于0，即a=0的情況。(4)limit(f,x,a,'right')：求符號函數(shù)f的極限值。'right'表示變量x從右邊趨近于a。(5)limit(f,x,a,‘left’)：求符號函數(shù)f的極限值。‘left’表示變量x從左邊趨近于a。例

求下列極限。極限1：symsamx;f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a極限2：symsxt;limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)極限3：symsx;f=x*(sqrt(x^2+1)-x);limit(f,x,inf,'left')ans=1/2極限4：symsx;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,'right')ans=-1/24.8.6符號導數(shù)diff函數(shù)用于對符號表達式求導數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒有指定變量和導數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求一階導數(shù)。diff(s,'v')：以v為自變量，對符號表達式s求一階導數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認變量對符號表達式s求n階導數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,'v',n)：以v為自變量，對符號表達式s求n階導數(shù)。4.8.7符號積分符號積分由函數(shù)int來實現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒有指定積分變量和積分階數(shù)時，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認變量對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對被積函數(shù)或符號表達式s求不定積分。int(s,v,a,b)：求定積分運算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個具體的數(shù)，也可以是一個符號表達式，還可以是無窮(inf)。當函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間[a,b]上可積時，函數(shù)返回一個定積分結(jié)果。當a,b中有一個是inf時，函數(shù)返回一個廣義積分。當a,b中有一個符號表達式時，函數(shù)返回一個符號函數(shù)。4.8.8積分變換常見的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1．傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。2．拉普拉斯(Laplace)變換在MATLAB中，進行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)