第4章 MATLAB數(shù)值和符號(hào)計(jì)算

第4章MATLAB數(shù)值和符號(hào)計(jì)算2023/2/514.1數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理

4.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式和操作過(guò)程類似。1．求向量的最大值和最小值求一個(gè)向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：(1)y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。(2)[y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號(hào)存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。例4-1求向量x的最大值。命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x)%求向量x中的最大值[y,l]=max(x)%求向量x中的最大值及其該元素的位置2．求矩陣的最大值和最小值求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：(1)max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。(2)[Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號(hào)。(3)max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。例4-2分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個(gè)矩陣的最大值和最小值。3．兩個(gè)向量或矩陣對(duì)應(yīng)元素的比較函數(shù)max和min還能對(duì)兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：(1)U=max(A,B)：A,B是兩個(gè)同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A,B對(duì)應(yīng)元素的較大者。(2)U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A對(duì)應(yīng)元素和n中的較大者。min函數(shù)的用法和max完全相同。例6-3求兩個(gè)2×3矩陣x,y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。4.1.2求和與求積數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘積。sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。例6-4求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。4.1.3平均值和中值求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的算術(shù)平均值。median(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。median(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于median(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的中值。例4-5分別求向量x與y的平均值和中值。4.1.4排序MATLAB中對(duì)向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對(duì)X中的元素按升序排列的新向量。sort函數(shù)也可以對(duì)矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：[Y,I]=sort(A,dim)其中dim指明對(duì)A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。4.2曲線擬合在MATLAB中，用polyfit函數(shù)來(lái)求得最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為：[P,S]=polyfit(X,Y,m)函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn)X和采樣點(diǎn)函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個(gè)m次多項(xiàng)式P及其在采樣點(diǎn)的誤差向量S。其中X,Y是兩個(gè)等長(zhǎng)的向量，P是一個(gè)長(zhǎng)度為m+1的向量，P的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。polyval函數(shù)的功能是按多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算x點(diǎn)多項(xiàng)式的值。例4-6已知數(shù)據(jù)表[t,y]，試求2次擬合多項(xiàng)式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點(diǎn)的函數(shù)近似值。4.3多項(xiàng)式計(jì)算

4.3.1多項(xiàng)式的四則運(yùn)算1．多項(xiàng)式的加減運(yùn)算2．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。例4-7求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。3．多項(xiàng)式除法函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對(duì)多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。例4-8求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。4.3.2多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)p=polyder(P,Q)：求P·Q的導(dǎo)函數(shù)[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項(xiàng)式的向量表示。例4-9求有理分式的導(dǎo)數(shù)。命令如下：P=[1];Q=[1,0,5];[p,q]=polyder(P,Q)4.3.3多項(xiàng)式的求值MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。1．代數(shù)多項(xiàng)式求值polyval函數(shù)用來(lái)求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：Y=polyval(P,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。例6-19已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)2×3矩陣為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。2．矩陣多項(xiàng)式求值polyvalm函數(shù)用來(lái)求矩陣多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值。設(shè)A為方陣，P代表多項(xiàng)式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))例4-10仍以多項(xiàng)式x4+8x3-10為例，取一個(gè)2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyvalm計(jì)算該多項(xiàng)式的值。4.3.4多項(xiàng)式求根n次多項(xiàng)式具有n個(gè)根，當(dāng)然這些根可能是實(shí)根，也可能含有若干對(duì)共軛復(fù)根。MATLAB提供的roots函數(shù)用于求多項(xiàng)式的全部根，其調(diào)用格式為：x=roots(P)其中P為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項(xiàng)式的n個(gè)根。例4-11求多項(xiàng)式x4+8x3-10=0的根。命令如下：A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項(xiàng)式，其調(diào)用格式為：P=poly(x)若x為具有n個(gè)元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量P。例4-12已知f(x)=3x5+4x3-5x2-7x+5(1)計(jì)算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式g(x)，并與f(x)進(jìn)行對(duì)比。命令如下：P=[3,0,4,-5,-7,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多項(xiàng)式g(x)4.4線性方程組求解

4.4.1直接解法1．利用左除運(yùn)算符的直接解法對(duì)于線性方程組Ax=b，可以利用左除運(yùn)算符“\”求解：

x=A\b例4-13用直接解法求解下列線性方程組命令如下：A=[2,-3,1;8,3,2;45,1,-9];b=[4;2;17]';x=A\b4.5函數(shù)極值MATLAB提供了基于單純形算法求解函數(shù)極值的函數(shù)fmin和fmins，它們分別用于單變量函數(shù)和多變量函數(shù)的最小值，其調(diào)用格式為：

x=fmin('fname',x1,x2)x=fmins('fname',x0)這兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似。其中fmin函數(shù)用于求單變量函數(shù)的最小值點(diǎn)。fname是被最小化的目標(biāo)函數(shù)名，x1和x2限定自變量的取值范圍。fmins函數(shù)用于求多變量函數(shù)的最小值點(diǎn)，x0是求解的初始值向量。MATLAB沒(méi)有專門提供求函數(shù)最大值的函數(shù)，但只要注意到-f(x)在區(qū)間(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的最大值。

例4-14求f(x)=x3-2x-5在[0,5]內(nèi)的最小值點(diǎn)。

(1)建立函數(shù)文件mymin.m。functionfx=mymin(x)fx=x.^3-2*x-5;(2)調(diào)用fmin函數(shù)求最小值點(diǎn)。x=fmin('mymin',0,5)x=0.81654.6.1數(shù)值積分基本原理求解定積分的數(shù)值方法多種多樣，如簡(jiǎn)單的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛頓－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是經(jīng)常采用的方法。它們的基本思想都是將整個(gè)積分區(qū)間[a,b]分成n個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。這樣求定積分問(wèn)題就分解為求和問(wèn)題。4.6數(shù)值積分4.6.2數(shù)值積分的實(shí)現(xiàn)方法1．變步長(zhǎng)辛普生法基于變步長(zhǎng)辛普生法，MATLAB給出了quad函數(shù)來(lái)求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被積函數(shù)名。a和b分別是定積分的下限和上限。tol用來(lái)控制積分精度，缺省時(shí)取tol=0.001。trace控制是否展現(xiàn)積分過(guò)程，若取非0則展現(xiàn)積分過(guò)程，取0則不展現(xiàn)，缺省時(shí)取trace=0。返回參數(shù)I即定積分值，n為被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。

例4-15求定積分

(1)建立被積函數(shù)文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)調(diào)用數(shù)值積分函數(shù)quad求定積分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=772．牛頓－柯特斯法基于牛頓－柯特斯法，MATLAB給出了quad8函數(shù)來(lái)求定積分。該函數(shù)的調(diào)用格式為：[I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace)其中參數(shù)的含義和quad函數(shù)相似，只是tol的缺省值取10-6。該函數(shù)可以更精確地求出定積分的值，且一般情況下函數(shù)調(diào)用的步數(shù)明顯小于quad函數(shù)，從而保證能以更高的效率求出所需的定積分值。例4-16求定積分(1)被積函數(shù)文件fx.m。functionf=fx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));(2)調(diào)用函數(shù)quad8求定積分。I=quad8('fx',0,pi)I=2.4674例4-17分別用quad函數(shù)和quad8函數(shù)求定積分的近似值，并在相同的積分精度下，比較函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。調(diào)用函數(shù)quad求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254766n=65

調(diào)用函數(shù)quad8求定積分：formatlong;fx=inline('exp(-x)');[I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10)I=0.28579444254754n=333．被積函數(shù)由一個(gè)表格定義在MATLAB中，對(duì)由表格形式定義的函數(shù)關(guān)系的求定積分問(wèn)題用trapz(X,Y)函數(shù)。其中向量X,Y定義函數(shù)關(guān)系Y=f(X)。例4-18用trapz函數(shù)計(jì)算定積分。命令如下：X=1:0.01:2.5;Y=exp(-X);%生成函數(shù)關(guān)系數(shù)據(jù)向量trapz(X,Y)ans=0.285796824163934.6.3二重定積分的數(shù)值求解使用MATLAB提供的dblquad函數(shù)就可以直接求出上述二重定積分的數(shù)值解。該函數(shù)的調(diào)用格式為：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)該函數(shù)求f(x,y)在[a,b]×[c,d]區(qū)域上的二重定積分。參數(shù)tol，trace的用法與函數(shù)quad完全相同。例4-19計(jì)算二重定積分(1)建立一個(gè)函數(shù)文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于統(tǒng)計(jì)被積函數(shù)的調(diào)用次數(shù)f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)調(diào)用dblquad函數(shù)求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=10384.7數(shù)值微分

4.7.1數(shù)值差分與差商4.7.2數(shù)值微分的實(shí)現(xiàn)在MATLAB中，沒(méi)有直接提供求數(shù)值導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，只有計(jì)算向前差分的函數(shù)diff，其調(diào)用格式為：DX=diff(X)：計(jì)算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：計(jì)算X的n階向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：計(jì)算矩陣A的n階差分，dim=1時(shí)(缺省狀態(tài))，按列計(jì)算差分；dim=2，按行計(jì)算差分。例4-20生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]為基礎(chǔ)的范得蒙矩陣，按列進(jìn)行差分運(yùn)算。命令如下：V=vander(1:6)DV=diff(V)%計(jì)算V的一階差分例4-21用不同的方法求函數(shù)f(x)的數(shù)值導(dǎo)數(shù)，并在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出f'(x)的圖像。程序如下：f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2');g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5');x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5);%用5次多項(xiàng)式p擬合f(x)dp=polyder(p);%對(duì)擬合多項(xiàng)式p求導(dǎo)數(shù)dpdpx=polyval(dp,x);%求dp在假設(shè)點(diǎn)的函數(shù)值dx=diff(f([x,3.01]))/0.01;%直接對(duì)f(x)求數(shù)值導(dǎo)數(shù)gx=g(x);%求函數(shù)f的導(dǎo)函數(shù)g在假設(shè)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-');%作圖4.8符號(hào)對(duì)象

4.8.1建立符號(hào)對(duì)象1．建立符號(hào)變量和符號(hào)常量MATLAB提供了兩個(gè)建立符號(hào)對(duì)象的函數(shù)：sym和syms，兩個(gè)函數(shù)的用法不同。(1)sym函數(shù)sym函數(shù)用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)量名=sym('符號(hào)字符串')該函數(shù)可以建立一個(gè)符號(hào)量，符號(hào)字符串可以是常量、變量、函數(shù)或表達(dá)式。應(yīng)用sym函數(shù)還可以定義符號(hào)常量，使用符號(hào)常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。下面的命令用于比較符號(hào)常量與數(shù)值常量在代數(shù)運(yùn)算時(shí)的差別。(2)syms函數(shù)函數(shù)sym一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量，使用不方便。MATLAB提供了另一個(gè)函數(shù)syms，一次可以定義多個(gè)符號(hào)變量。syms函數(shù)的一般調(diào)用格式為：syms符號(hào)變量名1符號(hào)變量名2…符號(hào)變量名n用這種格式定義符號(hào)變量時(shí)不要在變量名上加字符串分界符(‘)，變量間用空格而不要用逗號(hào)分隔。2．建立符號(hào)表達(dá)式含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱為符號(hào)表達(dá)式。建立符號(hào)表達(dá)式有以下3種方法：(1)利用單引號(hào)來(lái)生成符號(hào)表達(dá)式。(2)用sym函數(shù)建立符號(hào)表達(dá)式。(3)使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。4.8.2符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算1．符號(hào)表達(dá)式的四則運(yùn)算符號(hào)表達(dá)式的加、減、乘、除運(yùn)算可分別由函數(shù)symadd、symsub、symmul和symdiv來(lái)實(shí)現(xiàn)，冪運(yùn)算可以由sympow來(lái)實(shí)現(xiàn)。2．符號(hào)表達(dá)式的提取分子和分母運(yùn)算如果符號(hào)表達(dá)式是一個(gè)有理分式或可以展開為有理分式，可利用numden函數(shù)來(lái)提取符號(hào)表達(dá)式中的分子或分母。其一般調(diào)用格式為：[n,d]=numden(s)該函數(shù)提取符號(hào)表達(dá)式s的分子和分母，分別將它們存放在n與d中。3．符號(hào)表達(dá)式的因式分解與展開MATLAB提供了符號(hào)表達(dá)式的因式分解與展開的函數(shù)，函數(shù)的調(diào)用格式為：factor(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s分解因式。expand(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s進(jìn)行展開。collect(s)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s合并同類項(xiàng)。collect(s,v)：對(duì)符號(hào)表達(dá)式s按變量v合并同類項(xiàng)。4．符號(hào)表達(dá)式的化簡(jiǎn)MATLAB提供的對(duì)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)的函數(shù)有：simplify(s)：應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)s進(jìn)行化簡(jiǎn)。simple(s)：調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過(guò)程。5．符號(hào)表達(dá)式與數(shù)值表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)換利用函數(shù)sym可以將數(shù)值表達(dá)式變換成它的符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)numeric或eval可以將符號(hào)表達(dá)式變換成數(shù)值表達(dá)式。4.8.3符號(hào)表達(dá)式中變量的確定MATLAB中的符號(hào)可以表示符號(hào)變量和符號(hào)常量。findsym可以幫助用戶查找一個(gè)符號(hào)表達(dá)式中的的符號(hào)變量。該函數(shù)的調(diào)用格式為：findsym(s,n)函數(shù)返回符號(hào)表達(dá)式s中的n個(gè)符號(hào)變量，若沒(méi)有指定n，則返回s中的全部符號(hào)變量。4.8.4符號(hào)矩陣符號(hào)矩陣也是一種符號(hào)表達(dá)式，所以前面介紹的符號(hào)表達(dá)式運(yùn)算都可以在矩陣意義下進(jìn)行。但應(yīng)注意這些函數(shù)作用于符號(hào)矩陣時(shí)，是分別作用于矩陣的每一個(gè)元素。由于符號(hào)矩陣是一個(gè)矩陣，所以符號(hào)矩陣還能進(jìn)行有關(guān)矩陣的運(yùn)算。MATLAB還有一些專用于符號(hào)矩陣的函數(shù)，這些函數(shù)作用于單個(gè)的數(shù)據(jù)無(wú)意義。例如transpose(s)：返回s矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。determ(s)：返回s矩陣的行列式值。其實(shí)，曾介紹過(guò)的許多應(yīng)用于數(shù)值矩陣的函數(shù)，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接應(yīng)用于符號(hào)矩陣。4.8.5符號(hào)極限limit函數(shù)的調(diào)用格式為：(1)limit(f,x,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)a時(shí)，f(x)函數(shù)的極限值。(2)limit(f,a)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。由于沒(méi)有指定符號(hào)函數(shù)f(x)的自變量，則使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)自變量，即變量x趨近于a。(3)limit(f)：求符號(hào)函數(shù)f(x)的極限值。符號(hào)函數(shù)f(x)的變量為函數(shù)findsym(f)確定的默認(rèn)變量；沒(méi)有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，系統(tǒng)默認(rèn)變量趨近于0，即a=0的情況。(4)limit(f,x,a,'right')：求符號(hào)函數(shù)f的極限值。'right'表示變量x從右邊趨近于a。(5)limit(f,x,a,‘left’)：求符號(hào)函數(shù)f的極限值?！甽eft’表示變量x從左邊趨近于a。例

求下列極限。極限1：symsamx;f=(x*(exp(sin(x))+1)-2*(exp(tan(x))-1))/(x+a);limit(f,x,a)ans=(1/2*a*exp(sin(a))+1/2*a-exp(tan(a))+1)/a極限2：symsxt;limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf)ans=exp(6*t)極限3：symsx;f=x*(sqrt(x^2+1)-x);limit(f,x,inf,'left')ans=1/2極限4：symsx;f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4);limit(f,x,2,'right')ans=-1/24.8.6符號(hào)導(dǎo)數(shù)diff函數(shù)用于對(duì)符號(hào)表達(dá)式求導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：diff(s)：沒(méi)有指定變量和導(dǎo)數(shù)階數(shù)，則系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,'v')：以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求一階導(dǎo)數(shù)。diff(s,n)：按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)，n為正整數(shù)。diff(s,'v',n)：以v為自變量，對(duì)符號(hào)表達(dá)式s求n階導(dǎo)數(shù)。4.8.7符號(hào)積分符號(hào)積分由函數(shù)int來(lái)實(shí)現(xiàn)。該函數(shù)的一般調(diào)用格式為：int(s)：沒(méi)有指定積分變量和積分階數(shù)時(shí)，系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)被積函數(shù)或符號(hào)表達(dá)式s求不定積分。int(s,v)：以v為自變量，對(duì)被積函數(shù)或符號(hào)表達(dá)式s求不定積分。int(s,v,a,b)：求定積分運(yùn)算。a,b分別表示定積分的下限和上限。該函數(shù)求被積函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分。a和b可以是兩個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)符號(hào)表達(dá)式，還可以是無(wú)窮(inf)。當(dāng)函數(shù)f關(guān)于變量x在閉區(qū)間[a,b]上可積時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)定積分結(jié)果。當(dāng)a,b中有一個(gè)是inf時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)廣義積分。當(dāng)a,b中有一個(gè)符號(hào)表達(dá)式時(shí)，函數(shù)返回一個(gè)符號(hào)函數(shù)。4.8.8積分變換常見(jiàn)的積分變換有傅立葉變換、拉普拉斯變換和Z變換。1．傅立葉(Fourier)變換在MATLAB中，進(jìn)行傅立葉變換的函數(shù)是：fourier(f,x,t)：求函數(shù)f(x)的傅立葉像函數(shù)F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立葉像函數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x)。2．拉普拉斯(Laplace)變換在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯變換的函數(shù)是：laplace(fx,x,t)：求函數(shù)f(x)