新8重積分-習題課

習題課一、主要內(nèi)容二、典型例題

第八章重積分的計算及應用良鄉(xiāng)1-101工科數(shù)學分析Ⅱ07011401、07011402、07011406良鄉(xiāng)1-106工科數(shù)學分析Ⅱ05941402考試時間：2015年5月9日（第9周周6）上午9:50-11:50良鄉(xiāng)1-102工科數(shù)學分析Ⅱ07011407、08111401、08111402良鄉(xiāng)1-105工科數(shù)學分析Ⅱ08111403、08111404定義幾何意義性質(zhì)計算法應用二重積分定義物理意義性質(zhì)計算法應用三重積分一、主要內(nèi)容1、二重積分的定義２、二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是曲頂柱體的體積．當被積函數(shù)小于零時，二重積分是曲頂柱體的體積的負值．性質(zhì)１當為常數(shù)時，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積性質(zhì)５若在D上，特殊地性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）性質(zhì)8設函數(shù)D位于

x軸上方的部分為D1,當區(qū)域關于

y軸對稱,函數(shù)關于變量

x有奇偶性時,在

D上在閉區(qū)域上可積,域D關于x軸,則則仍有類似結果.對稱，若４、二重積分的計算［X－型］

X-型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（１）直角坐標系下

Y型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.［Y－型］（２）極坐標系下5、二重積分的應用(1)體積設S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積當薄片是均勻的，重心稱為形心.(3)重心薄片對于x軸的轉動慣量薄片對于y軸的轉動慣量(4)轉動慣量薄片對

軸上單位質(zhì)點的引力為引力常數(shù)(5)引力6、三重積分的定義7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．對稱性9、三重積分的計算(１)直角坐標(２)柱面坐標(３)球面坐標10、三重積分的應用(１)質(zhì)心(２)轉動慣量在閉區(qū)域D上可積,若域D關于線關于輪換對稱性在重積分計算中的應用y=x對稱,則有(2)設函數(shù)在空間有界閉區(qū)域則有上可積,(1)設函數(shù)域若將的形狀不變，例1

計算二重積分在第一象限部分.其中D

為圓域解

兩部分作輔助線將D分成二、典型例題例2計算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對稱性,得例3計算二重積分其中:D:例4計算三重積分其中:例5求例6

證例7

證從改變積分次序入手．例8解:

在球坐標系下利用洛必達法則與導數(shù)定義,得其中例9證明證:左端=右端例10設函數(shù)f(x)

連續(xù)且恒大于零,其中(1)討論F(t)

在區(qū)間(0,+∞)

內(nèi)的單調(diào)性;(2)證明t>0

時,解:

(1)

因為兩邊對

t

求導,得(2)

問題轉化為證即證故有因此t>0

時,因例11如圖所示交換下列二次積分的順序:解:例12計算其中: