2017-2018版高中數(shù)學第二章解三角形1.2余弦定理(一)學案5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1.2余弦定理(一）學習目標1。掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．知識點一余弦定理的推導思考1根據(jù)勾股定理，若△ABC中，∠C＝90°，則c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcosC．①試驗證①式對等邊三角形還成立嗎？你有什么猜想?思考2在c2＝a2＋b2－2abcosC中,abcosC能解釋為哪兩個向量的數(shù)量積？你能由此證明思考1的猜想嗎？梳理余弦定理的發(fā)現(xiàn)是基于已知兩邊及其夾角求第三邊的需要．因為兩邊及其夾角恰好是平面向量一組基底的條件，所以能把第三邊用基底表示進而求出模．另外，也可通過建立坐標系利用兩點間距離公式證明余弦定理．知識點二余弦定理的呈現(xiàn)形式1．a(chǎn)2＝__________________,b2＝____________________,c2＝____________.2．cos____＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc)；cos____＝eq\f(c2＋a2－b2，2ca)；cos____＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab)。知識點三適宜用余弦定理解決的兩類基本的解三角形問題思考1觀察知識點二第1條中的公式結(jié)構,其中等號右邊涉及幾個量？你認為可用來解哪類三角形?思考2觀察知識點二第2條中的公式結(jié)構，其中等號右邊涉及幾個量？你認為可用來解哪類三角形？梳理余弦定理適合解決的問題：（1）已知兩邊及其夾角,解三角形；（2）已知三邊，解三角形．類型一余弦定理的證明例1已知△ABC，BC＝a，AC＝b和角C，求解c。反思與感悟所謂證明，就是在新舊知識間架起一座橋梁．橋梁架在哪兒，要勘探地形，證明一個公式,要考察公式兩邊的結(jié)構特征，聯(lián)系已經(jīng)學過的知識,看有沒有相似的地方．跟蹤訓練1例1涉及線段長度，能不能用解析幾何的兩點間距離公式來研究這個問題？類型二用余弦定理解三角形命題角度1已知兩邊及其夾角例2在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角度精確到1°,邊長精確到1cm)反思與感悟已知三角形兩邊及其夾角時，應先從余弦定理入手求出第三邊，再利用正弦定理求其余的角．跟蹤訓練2在△ABC中,已知a＝2，b＝2eq\r（2），C＝15°，求A.命題角度2已知三邊例3在△ABC中，已知a＝134。6cm，b＝87。8cm,c＝161。7cm,解三角形(角度精確到1′）．反思與感悟已知三邊求三角,可利用余弦定理的變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）,cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac)，cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ba)求一個角,求其余角時，可用余弦定理也可用正弦定理．跟蹤訓練3在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，判斷三角形的形狀．1．一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是－eq\f(3,5)，則三角形的另一邊長為()A．52B．2eq\r（13)C．16D．42．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r（3），c＝eq\r(13）,則△ABC的最小角為（)A。eq\f（π，3）B。eq\f（π,6)C。eq\f（π,4)D.eq\f(π，12)3．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍,那么它的頂角的余弦值為()A。eq\f（5，18)B.eq\f(3，4)C.eq\f(\r(3)，2)D。eq\f（7，8)4．在△ABC中,a,b,c分別為角A，B，C的對邊，如果a,b，c成等差數(shù)列，B＝30°,△ABC的面積為eq\f（3，2),那么b等于（)A.eq\f（1＋\r（3）,2）B．1＋eq\r(3）C.eq\f(2＋\r（3),2)D．2＋eq\r（3）1．利用余弦定理可以解決兩類有關三角形的問題：（1）已知兩邊和夾角,解三角形．（2）已知三邊求三角形的任意一角．2．余弦定理與勾股定理的關系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．（1）如果一個三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角．(2)如果一個三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角．(3）如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角．

答案精析問題導學知識點一思考1當a＝b＝c時，∠C＝60°，a2＋b2－2abcosC＝c2＋c2－2c·ccos60°＝c2，即①式仍成立，據(jù)此猜想,對一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcosC.思考2abcosC＝｜Ceq\o（B，\s\up6（→））|·|Ceq\o（A，\s\up6(→)）｜coseq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o（CA,\s\up6(→))＝eq\o（CB，\s\up6(→）)·eq\o（CA,\s\up6（→)）?！郺2＋b2－2abcosC＝eq\o（CB，\s\up6(→））2＋eq\o(CA，\s\up6(→）)2－2eq\o（CB,\s\up6(→))·eq\o（CA,\s\up6（→))＝（eq\o（CB,\s\up6（→））－eq\o（CA,\s\up6(→））)2＝eq\o（AB，\s\up6(→）)2＝c2.猜想得證．知識點二1．b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2．ABC知識點三思考1每個公式右邊都涉及三個量，兩邊及其夾角．故如果已知三角形的兩邊及其夾角，可用余弦定理解三角形．思考2每個公式右邊都涉及三個量，即三角形的三條邊,故如果已知三角形的三邊，也可用余弦定理解三角形．題型探究例1解如圖，設Ceq\o（B,\s\up6(→)）＝a，Ceq\o(A，\s\up6(→））＝b,Aeq\o(B,\s\up6（→））＝c，由Aeq\o（B，\s\up6（→）)＝Ceq\o（B,\s\up6（→）)－Ceq\o（A,\s\up6（→）)，知c＝a－b，則｜c｜2＝c·c＝(a－b）·（a－b）＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜cosC。所以c2＝a2＋b2－2abcosC。跟蹤訓練1解如圖，以A為原點,邊AB所在直線為x軸建立直角坐標系，則A（0，0），B（c,0),C（bcosA，bsinA），∴BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.例2解根據(jù)余弦定理，a2＝b2＋c2－2bccosA＝602＋342－2×60×34×cos41°≈1676。78，所以a≈41(cm)．由正弦定理得，sinC＝eq\f(csinA,a)≈eq\f（34×sin41°，41)≈0。5440.因為c不是三角形中最大的邊，所以C為銳角，利用計算器可得C≈33°,所以B＝180°－（A＋C)≈180°－(41°＋33°）＝106°.跟蹤訓練2解由余弦定理,得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－4eq\r(3)，所以c＝eq\r(6）－eq\r（2).由正弦定理，得sinA＝eq\f(asinC,c）＝eq\f(1,2），因為b>a,所以B>A，所以A為銳角，所以A＝30°。例3解∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f(87.82＋161。72－134。62，2×87。8×161.7)≈0.5543,∴A≈56°20′?！遚osB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac）＝eq\f（134。62＋161.72－87。82，2×134。6×161.7)≈0。8398，∴B≈32°53′.∴C＝180°－(A＋B)≈180°－（56°20′＋32°53′)＝90°47′.跟蹤訓練3解因為a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝2∶4∶5，所以可令a＝2k,b