2017-2018版高中數(shù)學第二章解三角形章末復(fù)習課學案5

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第二章解三角形學習目標1。整合知識結(jié)構(gòu)，梳理知識網(wǎng)絡(luò)，進一步鞏固、深化所學知識。2.能靈活、熟練運用正弦、余弦定理解三角形．3．能解決三角形與三角變換的綜合問題及實際問題.知識點一正弦定理及其推論設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則（1）eq\f（a，sinA)＝________＝________＝________.(2）a＝________，b＝________，c＝________。(3）sinA＝______，sinB＝______，sinC＝______.(4）在△ABC中，A>B?________?____________.知識點二余弦定理及其推論1．a(chǎn)2＝________________，b2＝__________________，c2＝______________________。2．cosA＝______________；cosB＝________________;cosC＝_______________。3．在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為________;c2〉a2＋b2?C為________;c2〈a2＋b2?C為________．知識點三三角形面積公式（1)S＝eq\f(1，2)aha＝eq\f（1,2)bhb＝eq\f（1，2）chc；（2）S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f（1,2）bcsinA＝eq\f（1，2)casinB.類型一利用正弦、余弦定理解三角形例1如圖，在△ABC中,AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3),點D在BC邊上,∠ADC＝45°，求AD的長度．反思與感悟解三角形的一般方法:（1）已知兩角和一邊，如已知A、B和c,由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b。(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C,應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況．(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C。跟蹤訓練1如圖,在△ABC中,∠B＝eq\f(π，3),AB＝8,點D在BC邊上,CD＝2，cos∠ADC＝eq\f（1，7）.（1)求sin∠BAD；（2）求BD，AC的長．類型二三角變換與解三角形的綜合問題命題角度1三角形形狀的判斷例2在△ABC中,若（a2＋b2)sin(A－B）＝（a2－b2）·sin(A＋B），試判斷△ABC的形狀．命題角度2三角形邊、角、面積的求解例3△ABC的內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b，c,已知a＝bcosC＋csinB.(1）求B；（2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值．跟蹤訓練2在△ABC中,a,b,c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊,若a＝2，C＝eq\f(π，4)，coseq\f（B,2)＝eq\f(2\r(5),5），求△ABC的面積S。反思與感悟該類問題以三角形為載體，在已知條件中涉及了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的等式，通過定理的運用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公式等．類型三正弦、余弦定理在實際中的應(yīng)用例4某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型"氣象觀測儀器的垂直彈射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C處進行該儀器的垂直彈射,觀測點A、B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時間比在B地晚eq\f(2,17)秒．在A地測得該儀器彈至最高點H時的仰角為30°，求該儀器的垂直彈射高度CH（聲音的傳播速度為340米/秒）．反思與感悟應(yīng)用解三角形知識解決實際問題需要下列四步：(1)分析題意,準確理解題意,分清已知與所求,尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、視角、方位角等；（2)根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標出；(3)將所求問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中,通過合理運用正弦、余弦定理等有關(guān)知識正確求解；(4)檢驗解出的結(jié)果是否具有實際意義，對結(jié)果進行取舍，得出正確答案．跟蹤訓練3甲船在A處，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處，乙船以每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向北偏西60°方向行駛，問經(jīng)過多少小時后，甲、乙兩船相距最近？1．在△ABC中,關(guān)于x的方程（1＋x2)sinA＋2xsinB＋（1－x2）sinC＝0有兩個不等的實根，則A為（)A．銳角B．直角C．鈍角D．不存在2．在△ABC中,AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，則邊AC上的高為()A.eq\f(3\r（2）,2)B。eq\f（3\r(3），2）C。eq\f(3,2）D．3eq\r（3)3．如圖所示，在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100米后到達點B，又從點B測得斜度為45°,建筑物的高CD為50米．求此山對于地平面的傾斜角θ的余弦值．1．在三角形中,大角對大邊,大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A〉B等價于a〉b等價于sinA〉sinB。2．對所給條件進行變形，主要有兩種途徑:(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換．3．正弦定理是一個關(guān)于邊角關(guān)系的連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或等量關(guān)系就可以通過約分達到解決問題的目的，在解題時要學會靈活運用．運用余弦定理時,要注意整體思想的運用．

答案精析知識梳理知識點一（1)eq\f(b，sinB)eq\f（c，sinC）2R(2)2RsinA2RsinB2RsinC(3）eq\f（a,2R)eq\f(b，2R）eq\f(c，2R)(4）a〉bsinA〉sinB知識點二1．b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC2。eq\f(b2＋c2－a2，2bc)eq\f（c2＋a2－b2，2ca)eq\f(a2＋b2－c2,2ab)3．直角鈍角銳角題型探究例1解在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2eq\r（3)，由余弦定理，得cosC＝eq\f（BC2＋AC2－AB2,2BC×AC）＝eq\f（\r（3），2）,∴sinC＝eq\f（1,2)。在△ADC中，由正弦定理,得eq\f(AD，sinC）＝eq\f（AC,sin∠ADC)，∴AD＝eq\f（2,\f(\r（2)，2）)×eq\f(1，2)＝eq\r(2）.跟蹤訓練1解(1）在△ADC中,因為cos∠ADC＝eq\f(1，7），所以sin∠ADC＝eq\f(4\r（3），7).所以sin∠BAD＝sin（∠ADC－∠B）＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f（4\r（3),7)×eq\f（1,2）－eq\f（1,7)×eq\f(\r（3）,2）＝eq\f(3\r(3),14)。（2）在△ABD中,由正弦定理,得BD＝eq\f(ABsin∠BAD,sin∠ADB)＝eq\f（8×\f(3\r（3),14)，\f(4\r（3)，7)）＝3.在△ABC中,由余弦定理,得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×eq\f（1，2)＝49，所以AC＝7.例2解∵（a2＋b2)sin(A－B)＝（a2－b2)sin（A＋B）,∴b2[sin(A＋B）＋sin（A－B）］＝a2［sin（A＋B）－sin(A－B）],∴2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a＝2RsinA,b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB,∴sin2A＝sin2B。在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝eq\f（π,2)?！唷鰽BC為等腰三角形或直角三角形．方法二由正弦定理、余弦定理，得a2b×eq\f（b2＋c2－a2，2bc)＝b2a×eq\f(a2＋c2－b2，2ac),∴a2（b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴（a2－b2）（a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0。即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形例3解(1)由正弦定理a＝2RsinA,b＝2RsinB，c＝2RsinC.得2RsinA＝2RsinBcosC＋2RsinCsinB即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.又A＝π－(B＋C）,∴sin［π－（B＋C)]＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋sinCsinB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB.∵sinC≠0,∴cosB＝sinB且B為三角形內(nèi)角，∴B＝eq\f(π,4)。（2)S△ABC＝eq\f(1，2)acsinB＝eq\f(\r(2),4)ac，由正弦定理，a＝eq\f(bsinA，sinB)＝eq\f(2，\f（\r(2），2）)×sinA＝2eq\r(2)sinA，同理,c＝2eq\r（2)sinC，∴S△ABC＝eq\f（\r(2),4)×2eq\r(2）sinA×2eq\r(2)sinC＝2eq\r(2)sinAsinC＝2eq\r（2）sinAsin（eq\f(3π,4)－A）＝2eq\r(2）sinA(sineq\f(3,4）πcosA－coseq\f（3，4）πsinA）＝2(sinAcosA＋sin2A）＝sin2A＋1－cos2A＝eq\r(2)sin(2A－eq\f(π，4))＋1∴當2A－eq\f(π,4）＝eq\f（π,2），即A＝eq\f(3π，8）時，S△ABC有最大值eq\r(2)＋1。跟蹤訓練2解因為cosB＝2cos2eq\f(B，2）－1＝eq\f(3，5），故B為銳角，所以sinB＝eq\f(4,5)，所以sinA＝sin（π－B－C)＝sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3π，4)－B))＝sineq\f(3π，4)cosB－coseq\f（3π，4)sinB＝eq\f(7\r（2),10)。由正弦定理，得c＝eq\f（asinC，sinA)＝eq\f(10,7)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1，2)×2×eq\f(10，7）×eq\f（4，5）＝eq\f（8，7）.例4解由題意，設(shè)AC＝x，則BC＝x－eq\f（2,17)×340＝x－40。在△ABC中,由余弦定理，得BC2＝BA2＋AC2－2×BA×AC×cos∠BAC,即(x－40)2＝10000＋x2－100x,解得x＝420。在Rt△ACH中，AC＝420,∠CAH＝30°，所以CH＝AC×tan∠CAH＝140eq\r（3)。所以該儀器的垂直彈射高度CH為140eq\r（3）米．跟蹤訓練3解設(shè)甲、乙兩船經(jīng)t小時后相距最近且分別到達P、Q兩處，因乙船到達A處需2小時．①當0≤t＜2時,如圖(1），在△APQ中,AP＝8t，AQ＝20－10t,所以PQ＝eq\r（AQ2＋AP2－2AQ×AP×cos120°)＝eq\r（20－10t2＋8t2－220－10t×8t×\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)））)＝eq\r(84t2－240t＋400)＝2eq\r(21t2－60t＋100）;②當t＝2時，PQ＝8×2＝16；③當t>2時，如圖（2)，在△APQ中，AP＝8t，AQ＝10t－20，∴PQ＝eq\r（AQ2＋AP2－2AQ·APcos60°）＝2eq\r（21t2－60t＋100）.綜合①②③知，PQ＝2eq\r(21t2－60t＋100）(t≥0）．當且僅當t＝eq\f（30，21)＝eq\f(10,7)時,PQ最小．答甲、乙兩船行駛eq\f(10，7)小時后，相距最近．當堂訓練1．A2。B3．解在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米，∠ACB＝45°－15°＝30°.根據(jù)正弦定理，有eq\f(100,sin30°)＝eq\f（BC,sin15°），∴BC＝eq