數(shù)學建模案例

一、建模示例三、四、五二、建模的方法三、建模的一般步驟四、數(shù)學建模的特點五、數(shù)學建模的分類六、數(shù)學建模競賽的相關(guān)知識三個建模示例、建模的方法、步驟、特點、分類，及建模競賽的相關(guān)知識一、建模示例三：安全渡河問題問題：三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行。隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨。但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中。商人們怎樣才能安全渡河呢？

1、問題分析：多步?jīng)Q策過程決策----每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人員。要求----在安全的前提下（兩岸的隨從數(shù)不比商人多），經(jīng)有限步使全體人員過河。

2、模型建立3、數(shù)學模型多步?jīng)Q策問題4、模型求解★

窮取法~編程上機★圖解法：我們著重介紹這一方法給出了安全渡河方案。狀態(tài)s=(x,y)~16個格點允許狀態(tài)~10個●點允許決策~移動1格或2格（k奇,左下移；k偶,右上移）5、模型評價規(guī)格化的方法，通俗易懂，易于推廣。思考題1．考慮4名商人各帶一名隨從的問題。

【問題背景】

溫州七中高一段學生到人民路天橋下的十字路口，對十字路口紅綠燈開設(shè)時間及車流量進行調(diào)查，經(jīng)學生分組觀察，并把數(shù)據(jù)平均，得到下面一組數(shù)據(jù)：東西方向綠燈即南北方向紅燈的時間為49秒；南北方向綠燈即東西方向紅燈的時間為39秒；所以紅綠燈變換一個周期的時間為88秒。在綠燈變換的一個周期內(nèi)，相應(yīng)的車流量：東西方向平均為30輛，南北平均為24輛。這組數(shù)據(jù)說明了什么問題？（紅綠燈時間設(shè)置合理與否）建模示例四：函數(shù)模型(交通問題模型)【問題抽象】

在紅綠燈變換的一個周期時間T內(nèi)，從東西方向到達十字路口的車輛數(shù)為H，從南北方向到達十字路口的車輛數(shù)為V，問如何確定十字路口某個方向紅燈與綠燈點亮的時間更合理？【問題分析】

所謂的合理，應(yīng)該就是從整體上看，在紅綠燈變換的一個周期內(nèi)，車輛在此路口的滯留總時間最少。

【模型假設(shè)】

1.黃燈時間忽略不計，只考慮機動車，不考慮人流量和非機動車輛；只考慮東西、南北方向，不考慮拐彎的情況。

2.車流量均勻。

3.一個周期內(nèi)，東西向綠燈，南北向紅燈的時間相等；東西與南北周期相同?！窘⒛Ｐ汀?/p>

設(shè)東西方向綠燈時間（即南北方向紅燈時間）為t秒，則東西方向紅燈時間（即南北方向綠燈時間）為（T－t）秒.設(shè)一個周期內(nèi)車輛在此路口的滯留總時間為y秒.

根據(jù)假設(shè),一個周期內(nèi)車輛在此路口滯留的總時間y分成兩部分,一部分是南北方向車輛在此路口滯留的時間y1,另一部分是東西方向車輛在此路口滯留的時間y2.

下面計算南北方向車輛在此路口滯留的時間y1.【模型求解】

【數(shù)值模擬】

輪廓模型是以量綱模型為基礎(chǔ)，利用量的比例關(guān)系而構(gòu)造簡單數(shù)學模型的一種方法。因為這種比例關(guān)系比較粗糙，因而成為輪廓模型。

（貨物的包裝成本）在超市中可以看到許多商品（如面粉、白糖、奶粉等）都以包裝的形式出售，同一種商品的包裝也經(jīng)常有大小不同的規(guī)格，出售的價格也高低不同。下表是一些例子。建模示例五：輪廓模型商品商品量價格單價高露潔牙膏190克15.7元0.83元/10克60克5.8元0.97元/10克詩芬洗發(fā)液400毫升35.9元0.89元/10毫升200毫升23.1元1.15元/10毫升富麗餅干450克8.8元0.19元/10克150克3.0元0.20元/10克奇寶餅250克5.9元0.24元/10克150克4.3元0.29元/10克麥氏咖啡200克62元3.1元/10克100克32元3.2元/10克從表中可以看到，大包裝的商品每單位重量的價格比小包裝的價格要低。這顯然是由于節(jié)約了包裝成本的緣故?，F(xiàn)在我們建立一個簡單的模型來看看商品貨物包裝的成本如何依賴于商品量的規(guī)律。問題假設(shè)：面對錯綜復雜的商品生產(chǎn)過程和包裝形式，為使問題簡化，假設(shè)如下：

1不考慮利潤及其他因素對商品價格的影響；

2所討論的商品的生產(chǎn)和包裝過程的工作效率是固定不變的；

3商品包裝的成本只由包裝的勞力投入和包裝材料的成本構(gòu)成；

4商品包裝的形狀大小是相似的，不同大小包裝所用的材料是相似的至少在價格上沒有太大差異。模型建立：統(tǒng)計分析法：以隨機數(shù)學為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計分析。二、建模的方法

機理分析法：以經(jīng)典數(shù)學為工具，分析其內(nèi)部的機理規(guī)律。系統(tǒng)分析法：對復雜性問題或主觀性問題的研究方法。把定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。模型準備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗模型應(yīng)用三、建模的步驟NY1）模型準備：了解問題的實際背景，明確建模目的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征。有時需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。2）模型假設(shè)：根據(jù)實際對象的特征和建模目的，對問題進行必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細，試圖把復雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進去，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當使用數(shù)學工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴密的數(shù)學推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，計算機技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗模型的合理性和適應(yīng)性檢驗結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學預測；最優(yōu)決策控制。四、數(shù)學建模的特點五、數(shù)學建模的分類1）按變量的性質(zhì)分：多變量模型非線性模型隨機性模型連續(xù)模型單變量模型線性模型確定性模型離散模型2）按時間變化對模型的影響分參數(shù)時變模型動態(tài)模型參數(shù)定常模型靜態(tài)模型3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學模型、醫(yī)學數(shù)學模型、地質(zhì)數(shù)學模型、數(shù)量經(jīng)濟學模型、數(shù)學社會學模型等。4）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等。

從1983年起，在美國就有一些有識之士開始探討組織一項應(yīng)用數(shù)學方面的競賽的可能性。1、數(shù)學建模競賽的發(fā)展歷史（美國）

1987年改為MathematicalContestinModeling,其縮寫均為MCM）。

1985年開始有了美國的第一屆大學生數(shù)學建模競賽，簡稱

MCM，這是最早的數(shù)學建模。1987年以前的全稱是Mathe

-maticalCompetitioninModeling。競賽由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學學會和美國運籌學會聯(lián)合主辦。從1985年起每年舉行一屆，在每年的二月下旬或三月初的某個星期五到星期日舉行，到2009年已舉行了25屆。

六、數(shù)學建模競賽的相關(guān)知識1990年我國大學生數(shù)學建模競賽開始舉辦，從最初的幾十所學校、幾百個隊發(fā)展到今年，除西藏外的30個省（市、自治區(qū)）以及香港都有院校參賽。全國大學生數(shù)學建模競賽，是由教育部高等教育司與中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學學會（CSIAM）聯(lián)合舉辦的大學生科技活動，競賽每年9月下旬舉行，競賽面向全國大專院校的學生，不分專業(yè)。由3位同學組成一個隊，在三天的時間里，團結(jié)協(xié)作，利用數(shù)學知識與計算機知識，建立一個數(shù)學模型，解決一個實際問題，最后提交一篇自己撰寫的論文。

2、數(shù)學建模競賽的發(fā)展歷史（中國）

大部分的數(shù)模競賽題都是源于生產(chǎn)實際或者科學研究的過程中，不要求參賽者預先掌握深入的專門知識，只需要學習過普通高校的數(shù)學課程。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。參賽者應(yīng)根據(jù)題目要求，完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解、計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果的分析和檢驗、模型的改進等方面的論文（即答卷）。競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰程度為主要標準。3、數(shù)學建模競賽出題的指導思想傳統(tǒng)的數(shù)學競賽一般偏重理論知識，它要考查的內(nèi)容單一，數(shù)據(jù)簡單明確，不允許用計算器完成。對此而言，數(shù)模競賽題是一個“課題”，它是一個綜合性的問題，數(shù)據(jù)龐大，需要用計算機來完成。解決這些問題，往往沒有現(xiàn)成的方法可以套用，它首先要求將實際的問題數(shù)學化，及建立數(shù)學模型。參賽同學必須像參加一個實際的科研項目那樣，不僅要充分發(fā)揮每個人的主觀能動性和創(chuàng)造力，而且要全隊密切配合、協(xié)同作戰(zhàn)。

此外，其答案往往不是唯一的,呈報的成果是一篇“論文”。

由此可見“數(shù)模競賽”偏重于應(yīng)用，它是以數(shù)學知識為引導、計算機應(yīng)用能力及文章的寫作能力為輔的綜合能力的競賽。數(shù)學知識的應(yīng)用能力：概率與數(shù)理統(tǒng)計統(tǒng)籌與線性規(guī)劃微分方程此外，有時還會用到數(shù)值計算、差分方程、和動態(tài)規(guī)劃等計算機的應(yīng)用能力：字處理軟件Word 電子表格Excel數(shù)學軟件Matlab程序語言C++計算機網(wǎng)絡(luò)6.Lindo、Lingo等4.參加數(shù)模競賽所需知識論文的寫作能力：要求參賽的三名選手中至少有一名同學具有較強的論文寫作能力。5、數(shù)學建模競賽的形式及規(guī)則

全國統(tǒng)一競賽題目，采取通訊競賽方式，以相對集中的形式進行。

競賽以隊的形式參加，每個參賽隊由三名具有正式學籍的在校本科或?qū)？茖W生組成，研究生不得參加（自2005年，新增研究數(shù)學建模競賽）。報名參加“甲組”或“乙組”的競賽，本科院校理工科學生只能參加甲組競賽，其他學生可參加甲組或乙組競賽。而每組由兩道題組成，“甲組”由A、B題組成，“乙組”由C、D題組成，每個參賽隊根據(jù)自己的實際情況情況從相應(yīng)兩個考題中任意選作一個題。每隊可設(shè)一名指導教師（或教師組），從事賽前輔導和參賽的組織工作，但在競賽期間必須回避參賽隊員，不得進行指導或參與討論，否則按違反紀律處分，也就是教師不得參賽。每次的考題都來自的實際問題或有強烈實際背景的問題，沒有固定的范圍，可能涉及各個非常不同的學科，領(lǐng)域。“全國大學生數(shù)模競賽”的時間通常安排在9月份的下旬，歷時三天三夜。競賽期間員可以使用各種圖書資料、計算機和軟件，在互聯(lián)網(wǎng)上瀏覽，但不得與隊外任何人(包括在網(wǎng)上)討論。

6、數(shù)學建模競賽的結(jié)果評定方法首先在各省進行評選，專家們不是對論文給出分數(shù)，也不采用“通過”、“失敗”這種記分，而只是將論文分成一些等級：一等獎，二等獎，成功參賽獎等，各省一等獎參加答辯，通過答辯者可參加國家獎的評選。在參加國家評選時，評審專家也是將論文分為幾個等級：Outstanding(特等獎)、Meritorious(一等獎)、HonorableMention(二等獎)等。評卷的標準并不是看答案對不對，而主要看論文的思想方法好不好，以及論述是否清晰。Outstanding的論文作為優(yōu)秀論文在專業(yè)雜志上發(fā)表。而所有參賽的隊員和教練都能得到一張獎狀。全國與各賽區(qū)的一、二等獎均頒發(fā)獲獎證書。競賽成績記入學生檔案，對成績優(yōu)秀的參賽學生，各院校在評優(yōu)秀生、獎學金及報考（或免試直升）研究生時應(yīng)予以適當考慮。7、近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題1997A零件的參數(shù)設(shè)計B截斷切割1998A投資的收益和風險B災情巡視路線1999A自動化車床管理

B鉆進布局