2017-2018版高中數學第二章圓錐曲線與方程1.1橢圓及其標準方程學案1-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE1．1橢圓及其標準方程學習目標1。了解橢圓的實際背景，經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程、橢圓標準方程的推導與化簡過程。2。掌握橢圓的定義、標準方程及幾何圖形．知識點一橢圓的定義思考1給你兩個圖釘、一根無彈性的細繩、一張紙板能畫出橢圓嗎？思考2在上述畫出橢圓的過程中,你能說出筆尖(動點）滿足的幾何條件嗎？梳理把平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于____________________的點的集合叫作橢圓，這兩個定點F1，F2叫作橢圓的焦點，兩個焦點F1，F2間的距離叫作橢圓的焦距．知識點二橢圓的標準方程思考1橢圓方程中，a、b以及參數c有什么幾何意義,它們滿足什么關系？思考2橢圓定義中，為什么要限制常數｜PF1|＋｜PF2｜＝2a>｜F1F2｜?梳理焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f（y2，a2)＋eq\f（x2,b2）＝1（a〉b>0)圖形焦點坐標a，b,c的關系類型一求橢圓的標準方程命題角度1焦點位置已知求橢圓的方程例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：(1）焦點在x軸上,a∶b＝2∶1，c＝eq\r(6)；(2）經過點(3，eq\r（15)),且與橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f(y2,9）＝1有共同的焦點．反思與感悟用待定系數法求橢圓的標準方程的基本思路：首先根據焦點的位置設出橢圓的方程，然后根據條件建立關于待定系數的方程(組），再解方程（組)求出待定系數，最后寫出橢圓的標準方程．跟蹤訓練1求適合下列條件的橢圓的標準方程:（1）兩個焦點的坐標分別是(0，－2),(0，2),并且橢圓經過點（－eq\f(3，2），eq\f(5,2));（2)焦點在x軸上，且經過兩個點(2，0)和(0,1）．命題角度2焦點位置未知求橢圓的方程例2求經過（2，－eq\r（2)）和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f（\r（14）,2）)）兩點的橢圓的標準方程．反思與感悟如果不能確定焦點的位置，那么求橢圓的標準方程有以下兩種方法：一是分類討論,分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上設出橢圓的標準方程，再解答;二是設出橢圓的一般方程Ax2＋By2＝1(A〉0,B>0,A≠B),再解答．跟蹤訓練2求經過A(0，2）和B(eq\f（1，2)，eq\r(3))兩點的橢圓的標準方程．類型二橢圓方程中參數的取值范圍例3“方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f（y2,3－m）＝1表示焦點在y軸上的橢圓"的充分不必要條件是（)A．1〈m〈eq\f(3，2） B．1〈m〈2C．2<m<3 D．1〈m〈3反思與感悟(1)利用橢圓方程解題時，一般首先要化成標準形式．(2）eq\f(x2,m）＋eq\f（y2，n）＝1表示橢圓的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m〉0，，n〉0，，m≠n;)）表示焦點在x軸上的橢圓的條件是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m>0，,n〉0，，m〉n；））表示焦點在y軸上的橢圓的條件是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m〉0，，n>0，，n>m。）)跟蹤訓練3已知x2sinα＋y2cosα＝1（0≤α≤π)表示焦點在x軸上的橢圓．求α的取值范圍．類型三橢圓定義的應用例4如圖所示，點P是橢圓eq\f（x2，5）＋eq\f(y2，4)＝1上的一點，F1和F2是焦點，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積．引申探究在例4中,若圖中的直線PF1與橢圓相交于另一點B，連接BF2，其他條件不變，求△BPF2的周長．跟蹤訓練4已知橢圓的方程為eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1，橢圓上有一點P滿足∠PF1F2＝90°(如圖)．求△PF1F2的面積．1．已知F1，F2是定點，｜F1F2｜＝8，動點M滿足|MF1｜＋｜MF2｜＝8，則動點M的軌跡是()A．橢圓 B．直線C．圓 D．線段2．已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個焦點坐標是（0,1),則實數k的值是()A．1B．2C．3D．43．“m>n〉0"是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的（)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2eq\r（15），則此橢圓的標準方程為________．5．已知橢圓eq\f（x2，49)＋eq\f（y2，24)＝1上一點P與橢圓兩焦點F1、F2的連線夾角為直角，則|PF1|·｜PF2｜＝________.1．平面內到兩定點F1，F2的距離之和為常數，即｜MF1｜＋｜MF2|＝2a，當2a>|F1F2｜時，軌跡是橢圓；當2a＝|F1F2|時，軌跡是線段F1F2；當2a〈|F1F2｜時,軌跡不存在．2．對于求解橢圓的標準方程一般有兩種方法:可以通過待定系數法求解，也可以通過橢圓的定義進行求解．3．用待定系數法求橢圓的標準方程時，若已知焦點的位置,可直接設出標準方程；若焦點位置不確定，可分兩種情況求解，也可設Ax2＋By2＝1(A>0，B〉0,A≠B）求解,避免了分類討論，達到了簡化運算的目的．

答案精析問題導學知識點一思考1固定兩個圖釘，繩長大于圖釘間的距離是畫出橢圓的關鍵．思考2筆尖(動點)到兩定點(繩端點的固定點)的距離之和始終等于繩長．梳理常數(大于｜F1F2|）知識點二思考1橢圓方程中，a表示橢圓上的點M到兩焦點間距離之和的一半，可借助圖形幫助記憶，a、b、c(都是正數)恰構成一個直角三角形的三條邊,a是斜邊，c是焦距的一半．a、b、c始終滿足關系式a2＝b2＋c2。思考2只有當2a〉｜F1F2|時，動點M的軌跡才是橢圓；當2a＝|F1F2｜時，點的軌跡是線段F1F2；當2a<|F1F2｜時，滿足條件的點不存在．梳理F1(－c，0），F2(c,0）F1（0，－c)，F2(0，c）c2＝a2－b2題型探究例1解（1）∵c＝eq\r（6)，∴a2－b2＝c2＝6。①又由a∶b＝2∶1，得a＝2b,代入①,得4b2－b2＝6，解得b2＝2,∴a2＝8。又∵焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為eq\f（x2,8）＋eq\f（y2，2）＝1。(2）方法一橢圓eq\f(x2,25）＋eq\f（y2,9)＝1的焦點為(－4,0）和(4，0），由橢圓的定義可得2a＝eq\r(3＋42＋\r(15）－02)＋eq\r(3－42＋\r(15)－02)，∴2a＝12,即a＝6?！遚＝4,∴b2＝a2－c2＝62－42＝20,∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,36）＋eq\f（y2,20）＝1。方法二由題意可設橢圓的標準方程為eq\f(x2,25＋λ）＋eq\f(y2,9＋λ）＝1，將x＝3,y＝eq\r（15）代入上面的橢圓方程，得eq\f(32，25＋λ）＋eq\f（\r(15）2,9＋λ)＝1，解得λ＝11或λ＝－21（舍去)，∴橢圓的標準方程為eq\f（x2,36）＋eq\f（y2，20)＝1.跟蹤訓練1解（1）∵橢圓的焦點在y軸上,∴設橢圓的標準方程為eq\f（y2，a2)＋eq\f(x2，b2)＝1（a>b>0）．由橢圓的定義知，2a＝eq\r（－\f(3,2）2＋\f(5,2)＋22)＋eq\r（－\f(3,2）2＋\f（5，2)－22）＝2eq\r(10）,即a＝eq\r(10).又c＝2，∴b2＝a2－c2＝6?！嗨髾E圓的標準方程為eq\f(y2，10)＋eq\f（x2,6）＝1.（2)∵橢圓的焦點在x軸上，∴設橢圓的標準方程為eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2）＝1(a>b〉0）．又橢圓經過點(2，0)和（0，1），∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(4，a2)＋\f（0，b2）＝1，,\f（0,a2)＋\f（1,b2）＝1，)）∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1。))∴所求橢圓的標準方程為eq\f（x2,4）＋y2＝1.例2解設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A〉0,B>0，A≠B）．將點（2，－eq\r(2）)，eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－1，\f（\r(14），2)）)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4A＋2B＝1，,A＋\f(14,4）B＝1，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（A＝\f（1,8),，B＝\f（1，4）。)）故所求橢圓的標準方程為eq\f（x2,8）＋eq\f(y2,4）＝1。跟蹤訓練2解當焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0),∵A(0，2)，B(eq\f(1，2）,eq\r（3))在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（4，b2）＝1,，\f（\f（1，2)2，a2）＋\f(\r（3）2,b2）＝1,）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝1，,b2＝4，))這與a>b相矛盾，故應舍去．當焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為eq\f(y2,a2）＋eq\f（x2，b2)＝1（a>b>0)，∵A(0，2），B（eq\f（1，2），eq\r(3))在橢圓上，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(4，a2）＝1，,\f(\r(3）2，a2)＋\f（\f(1,2）2，b2）＝1,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＝4，,b2＝1，））∴橢圓的標準方程為eq\f（y2,4）＋x2＝1，綜上可知，橢圓的標準方程為eq\f（y2，4）＋x2＝1.例3A[要使方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,3－m）＝1表示焦點在y軸上的橢圓，則m應滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（m－1〉0，，3－m>0,,3－m>m－1，））解得1〈m<2，∵A選項中{m｜1<m<eq\f(3，2）}｛m｜1〈m〈2}，故選A。]跟蹤訓練3解x2sinα＋y2cosα＝1，可化為eq\f（x2，\f（1，sinα））＋eq\f（y2，\f（1,cosα））＝1，由題意知eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（1,sinα）〉\f（1,cosα），，\f（1,sinα)〉0，，\f（1，cosα)>0，,0≤α≤π，)）解得0〈α〈eq\f（π,4）?！唳恋娜≈捣秶莈q\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4)））.例4解在橢圓eq\f(x2,5）＋eq\f(y2,4)＝1中,a＝eq\r(5），b＝2，∴c＝eq\r(a2－b2）＝1.又∵P在橢圓上，∴｜PF1｜＋|PF2｜＝2a＝2eq\r（5），①由余弦定理知，｜PF1|2＋｜PF2|2－2|PF1|·｜PF2｜·cos30°＝｜F1F2｜2＝（2c)2＝4，②①式兩邊平方，得|PF1｜2＋|PF2|2＋2|PF1｜·|PF2|＝20，③③－②,得（2＋eq\r（3)）｜PF1｜·｜PF2|＝16，∴|PF1｜·｜PF2｜＝16(2－eq\r（3）)．∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)｜PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4eq\r(3)－12。引申探究解由橢圓的定義，可得△BPF2的周長為｜PB｜＋|PF2|＋｜BF2|＝（|PF1|＋|PF2｜)＋（｜BF1｜＋|BF2|）＝2a＋2a＝4a＝4eq\r(5).跟蹤訓練4解由已知得a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝eq\r（a2－b2）＝eq\r(4－3）＝1.從而|F1F2｜＝2c＝2.在△PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2＝｜PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2｜2＝|PF1｜2＋4。又由橢圓定義知｜PF1｜＋｜PF2|＝2×2＝4，