機(jī)械工程控制基礎(chǔ)~06控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

此課件除了PPT內(nèi)容，課件下方附帶的備注里講解內(nèi)容更細(xì)致：備注里有很多案例可以幫助理解；備注里有很多重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容的詳細(xì)講解；備注里有很多易錯(cuò)、易誤導(dǎo)內(nèi)容的講解。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院周雁冰第六章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及其條件6.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)6.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性?xún)?chǔ)備一、穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性定義：系統(tǒng)穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在干擾作用下偏離平衡位置，當(dāng)干擾撤除后，系統(tǒng)自動(dòng)回到平衡位置的能力。系統(tǒng)穩(wěn)定性說(shuō)明：若系統(tǒng)在初始狀態(tài)的影響下，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨向于0（即回到平衡位置），則稱(chēng)系統(tǒng)為穩(wěn)定的；反之，由它所引起的系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)隨著時(shí)間的推移而發(fā)散（即偏離平衡位置越來(lái)越遠(yuǎn)），則稱(chēng)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。6.1系統(tǒng)穩(wěn)定性概念及其條件二、關(guān)于穩(wěn)定性的相關(guān)提法1、李亞普諾夫穩(wěn)定性若o為系統(tǒng)的平衡工作點(diǎn)，擾動(dòng)使系統(tǒng)偏離此工作點(diǎn)的起始偏差（即初態(tài)）不超過(guò)域η，由擾動(dòng)引起的輸出（這種初態(tài)引起的零輸入響應(yīng)）及其終態(tài)不超過(guò)預(yù)先給定的整數(shù)ε，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。李亞普諾夫穩(wěn)定

漸近穩(wěn)定

不穩(wěn)定2、漸近穩(wěn)定性要求由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)最終趨于平衡狀態(tài)（衰減為0）。漸近穩(wěn)定性滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性定義，而輸出響應(yīng)比李氏穩(wěn)定性嚴(yán)格（漸進(jìn)穩(wěn)定要求系統(tǒng)輸出最終趨于平衡狀態(tài)，而李亞普諾夫穩(wěn)定性?xún)H要求系統(tǒng)輸出進(jìn)入的范圍即可），因此漸進(jìn)穩(wěn)定性的要求更高。3、大范圍穩(wěn)定性與大范圍漸近穩(wěn)定性若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱(chēng)為“大范圍穩(wěn)定”的；若系統(tǒng)在任意初始條件下都保持漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)稱(chēng)為“大范圍漸近穩(wěn)定。大范圍穩(wěn)定

大范圍漸近穩(wěn)定在工程中，通常不采用李亞普諾夫穩(wěn)定性的概念，而是采用條件更為苛刻的漸近穩(wěn)定的概念。對(duì)定線性定常系統(tǒng)，其穩(wěn)定性是漸近的，而且是大范圍漸近穩(wěn)定的，這給穩(wěn)定性討論帶來(lái)了極大的方便。起點(diǎn)終點(diǎn)（或收斂域）李雅普諾夫穩(wěn)定性有限起始域有限平衡域漸進(jìn)穩(wěn)定性有限起始域有限平衡域中的平衡點(diǎn)大范圍穩(wěn)定性任意有限平衡域大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定性任意有限平衡域中的平衡點(diǎn)對(duì)于線性定常系統(tǒng)：三、系統(tǒng)穩(wěn)定的條件式中，z1，z2，…，zm為零點(diǎn)；s1，s2，…，sn為極點(diǎn)；M(s)為傳遞函數(shù)的分子；D(s)為傳遞函數(shù)的分母，

D(s)=0稱(chēng)為系統(tǒng)的特征方程，方程的根si表示系統(tǒng)的特征根。1、若系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負(fù)實(shí)部（位于[s]平面的左半平面）響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定Why?

對(duì)于單位脈沖輸入，假設(shè)特征方程根互異（無(wú)重極根、無(wú)共軛根），無(wú)干擾時(shí)其輸出拉氏變換和響應(yīng)為：4、若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點(diǎn)），其余極點(diǎn)位于[s]平面的左半平面響應(yīng)收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定。響應(yīng)等幅振動(dòng)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，工程上認(rèn)為不穩(wěn)定。3、若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點(diǎn)位于[s]平面的左半平面響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、若有至少一個(gè)sk具有正實(shí)部（位于[s]平面的右半平面）線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)根或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)根，即特征方程的根均在復(fù)平面（[s]平面）的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，因此也可以說(shuō)，線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)閉環(huán)傳函的極點(diǎn)均在復(fù)平面（[s]平面）的左半平面。結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根，這是系統(tǒng)的固有特性即結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的特征方程有重極根、有共軛根時(shí)，不影響以上分析結(jié)果，詳細(xì)分析過(guò)程參考書(shū)上。線性定常系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：如何判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定？求出特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）再判斷？實(shí)驗(yàn)？①高階難求；②不必要。如果不穩(wěn)定，可能導(dǎo)致嚴(yán)重后果。思路：①特征方程→根的分布（避免求解）；②開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)→閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)易知，閉環(huán)極點(diǎn)難求）。穩(wěn)定判據(jù)特征方程為：一、Routh穩(wěn)定判據(jù)1、系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)的特征方程為：兩邊同除an6.2控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)依據(jù)上式，s的同次冪前系數(shù)應(yīng)對(duì)等，則有下式：按習(xí)慣，一般取最高階次項(xiàng)的系數(shù)為正（即an>0），要使系統(tǒng)穩(wěn)定，那么系統(tǒng)全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下條件（即系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件）：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)都大于0（即ai>0）。2、

勞斯判據(jù)下系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對(duì)系統(tǒng)的特征方程：其各階系數(shù)排成Routh表如下：必須為正Routh判據(jù)：Routh表中第一列各元符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。因此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件可表述為：Routh表中第一列各元的符號(hào)均為正。例：系統(tǒng)特征方程試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。首列元素改變符號(hào)兩次。解：由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)有兩個(gè)具有正實(shí)部的特征根。3、低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

二階系統(tǒng)勞斯表為：s2

a2

a0s1

a1 0s0

a0a0>0，a1>0，a2>0二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：

三階系統(tǒng)勞斯表為：s3

a3

a1s2

a2

a0s1 0s0

a0三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0,a2>0,a1>0,a0>0,a1a2-

a0a3>0例：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K和T的取值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：這是三階系統(tǒng)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定條件為：4、系統(tǒng)穩(wěn)定的特殊情況如果Routh表中任意一行的第一個(gè)元素為0，而其它各素元不全為0，則在計(jì)算下一行的元素時(shí)，將趨向于無(wú)窮大。于是Routh表計(jì)算無(wú)法繼續(xù)，為克服這一困難，用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替第一列的0（攝動(dòng)法），然后計(jì)算Routh表的其余各元素。情況一：例：系統(tǒng)特征方程：試用Routh表判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：改變符號(hào)兩次，由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如果Routh表中任意一行的所有元素都為0，Routh表的計(jì)算無(wú)法繼續(xù)。此時(shí)，可以利用該行的上一行的元素構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用輔助多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。這樣，Routh表就可以繼續(xù)計(jì)算下去。

出現(xiàn)這種情況，一般是由于系統(tǒng)的特征根中，或存在兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根（響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定），或存在一對(duì)共軛的純虛根（響應(yīng)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定），或是以上幾種根（復(fù)根）的組合。情況二：例：系統(tǒng)特征方程：試用Routh判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。解：列Routh表如下：Routh表中出現(xiàn)0元素行，構(gòu)造輔助多項(xiàng)式如下：取F(s)對(duì)s的導(dǎo)數(shù)得新方程：用上式中的系數(shù)8和96代替0元素行，繼續(xù)進(jìn)行運(yùn)算。改變符號(hào)一次，由Routh判據(jù)：系統(tǒng)不穩(wěn)定。本例中輔助多項(xiàng)式為：解此輔助多項(xiàng)式可得：這兩對(duì)復(fù)根是原特征方程的根的一部分。應(yīng)用Routh判據(jù)可檢驗(yàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性方法如下：5、勞斯判據(jù)下系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的檢驗(yàn)首先，將s平面的虛軸向左移動(dòng)某個(gè)數(shù)值（減某數(shù)），即令s＝z-σ（σ為正實(shí)數(shù)），代入系統(tǒng)傳遞函數(shù)的原特征方程，則得到關(guān)于z的新方程；

為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，且具有良好的動(dòng)態(tài)特性，在控制工程中還要涉及相對(duì)穩(wěn)定性的問(wèn)題，用它來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的穩(wěn)定程度高低。在時(shí)域分析中，以實(shí)部最大的特征根與虛軸的距離σ

來(lái)表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量。0例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖如圖所示，已知T1=0.1，T2=0.25，求:解：1）求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的取值范圍1）系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值的取值范圍；2）若要求系統(tǒng)的特征根（閉環(huán)極點(diǎn)）均位于s=-1線的左側(cè)，K值的取值范圍。然后，利用Routh表和Routh判據(jù)對(duì)新的特征方程（z為自變量）進(jìn)行穩(wěn)定性判別。如果新系統(tǒng)穩(wěn)定，則說(shuō)明原系統(tǒng)特征方程的根均在新的虛軸之左邊，σ越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越好，則系統(tǒng)具有σ的穩(wěn)定裕量。列Routh表如下：解得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍為：由Routh表和Routh判據(jù)得：2）令s＝z－1，代入特征方程得：因?yàn)椋簩1和T2代入得：列Routh表如下：解得：由Routh表和Routh判據(jù)得：與1)的結(jié)果比較可知，K的取值范圍變小了。即：提出原因：1、代數(shù)判別方法根難以求取、不能清晰反應(yīng)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；2、在系統(tǒng)系統(tǒng)時(shí)或在實(shí)際系統(tǒng)測(cè)試中，通常容易給出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，這就希望謀求一個(gè)能用開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法。判斷方法：將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程1+G(s)H(s)=0與開(kāi)環(huán)頻率特性GK(jω)聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)GK(jω)的Nyquist圖，利用圖解法來(lái)判明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二、

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)中的幅角原理。提出過(guò)程：該穩(wěn)定性判據(jù)由H.Nyquist于1932年提出，在1940年以后得到廣泛應(yīng)用。Nyquist判據(jù)不需要求取閉系統(tǒng)的特征根，而是應(yīng)用開(kāi)環(huán)頻率特性Gk(j)，即G(j)H(j)曲線，進(jìn)而分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。特別是當(dāng)系統(tǒng)的某些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)無(wú)法用分析法求得時(shí)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得這些環(huán)節(jié)的頻率特性曲線或系統(tǒng)的Gk(j)。1、輔助函數(shù)F(s)與開(kāi)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)的關(guān)系Xi(s)G(s)H(s)Xo(s)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

可求得：推導(dǎo)過(guò)程：亦可求得：做輔助函數(shù)：式中MGH(s)、NGH(s)為s的多項(xiàng)式，s的階次分別為m、n，且nm。零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同故有：定常線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)特征方程的全部根具有負(fù)實(shí)部，即在[s]右半平面內(nèi)沒(méi)有極點(diǎn)，也就是說(shuō)，F(xiàn)(s)在[s]平面的右半平面沒(méi)有零點(diǎn)。根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）在[s]左半平面、右半平面的分布系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標(biāo)：根據(jù)輔助函數(shù)F的零點(diǎn)在[s]左半平面、右半平面的分布目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：判斷判斷

觀察F(s)與開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk，注意到它們之間之間只差常量1。所以，的幾何意義為：[F]平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)就是[GH]平面上的 點(diǎn)。**平面就是**坐標(biāo)系，[s]平面是一種復(fù)數(shù)域，是自變量s的坐標(biāo)系，[F]平面就是依據(jù)F(s)的值域構(gòu)成的平面，也是一種復(fù)平面。[s]平面通過(guò)計(jì)算F(s)可以映射到[F]平面。[s]平面、[F]平面、[GH]平面的關(guān)系[F]0ReIm(1,j0)F(s)[GH]0ReIm(1,j0)G(s)H(s)[s]0ReImF(s)虛軸平移映射在此坐標(biāo)系中畫(huà)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。在此坐標(biāo)系中判斷系統(tǒng)特征根的分布情況。2、幅角原理（Cauchy定理）當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)在[s]平面上沿一封閉曲線Ls按順時(shí)針轉(zhuǎn)一周，只要曲線Ls不經(jīng)過(guò)F(s)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，則在[F(s)]平面上的像將繞原點(diǎn)按順時(shí)針轉(zhuǎn)N周。N=Z-P，其中Z和P分別為包含在封閉曲線Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)（閉環(huán)極點(diǎn)）和極點(diǎn)（開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）的個(gè)數(shù)。這種映射關(guān)系稱(chēng)為映射定理，又稱(chēng)Cauchy幅角定理。Ls映射LFLF在[F]平面內(nèi)包圍原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)Z圈，同時(shí)包圍原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)P圈，即總共順時(shí)針轉(zhuǎn)N圈。Ls在[s]平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，包圍了F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)、P極點(diǎn)。

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗(yàn)F(s)有無(wú)零點(diǎn)位于[s]平面的右半平面，可選擇一條包圍整個(gè)[s]右半平面的封閉曲線Ls。3、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

Ls由兩部分組成：1、L1為ω→-∞到+∞的整個(gè)虛軸；2、L2為半徑R趨于無(wú)窮大的半圓弧。因此，Ls封閉地包圍了整個(gè)[s]平面的右半平面。

[s]平面上這一特定封閉曲線Ls的映射即為的Nyquist曲線。當(dāng)ω→-∞到+∞時(shí)，Ls軌跡的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颉＃?biāo)準(zhǔn)的奈氏圖要求ω=0→+∞，此處應(yīng)該再做關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng)的奈氏圖讓其ω=-∞→0，在奈奎斯特判據(jù)中，經(jīng)常用到ω→-∞到+∞及對(duì)應(yīng)的奈氏圖。

）N=Z-P

Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是特征方程式的根都具有負(fù)實(shí)部，即Z=0，也就是N=-P。（N：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線順時(shí)針?lè)较虬鼑?1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)；

Z：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)在[s]平面右側(cè)的個(gè)數(shù)；P：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在[s]平面右側(cè)的個(gè)數(shù)。）因此，當(dāng)由變到+時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)奈奎斯特曲線逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)N等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面右側(cè)的個(gè)數(shù)P，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)Z極點(diǎn)P零點(diǎn)極點(diǎn)相同相同根據(jù)閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）在[s]平面的分布。系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標(biāo)為：根據(jù)輔助函數(shù)F的零點(diǎn)在[s]平面的分布。目標(biāo)轉(zhuǎn)化為：根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk在[F]平面的奈奎斯特曲線包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N，以及開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P。系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)是否穩(wěn)定目標(biāo)再轉(zhuǎn)為：根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk在[GH]平面的奈奎斯特曲線包圍(-1,0j)點(diǎn)的圈數(shù)N，以及開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P。目標(biāo)確定為：判斷判斷判斷判斷引入輔助函數(shù)F(s)幅角原理[F]到[GH]平移虛軸例：以下兩個(gè)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Z=0,穩(wěn)定Z=2,不穩(wěn)定

對(duì)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定（閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的，即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部）的系統(tǒng)，即有P=0，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(j)H(j)的奈奎斯特曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)。例：開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，確定P；作G(j)H(j)的Nyquist圖，確定N；運(yùn)用判據(jù)N=Z-P，確定Z。Nyquist判據(jù)的判別步驟：已知所有T都大于0，P=1，判斷開(kāi)、閉環(huán)穩(wěn)定性？在應(yīng)用幅角原理時(shí)，要求曲線Ls不能通過(guò)F(s)函數(shù)的任何零、極點(diǎn)，所以當(dāng)函數(shù)F(s)有若干極點(diǎn)（即開(kāi)環(huán)極點(diǎn)）位于[s]平面的原點(diǎn)處時(shí)，應(yīng)增加以原點(diǎn)為圓心、以無(wú)窮小為半徑的圓弧按逆時(shí)針?lè)较蚶@過(guò)原點(diǎn)?？梢哉J(rèn)為L(zhǎng)s曲線仍然包圍了整個(gè)[s]平面的右半平面。（此時(shí)Ls包含三部分：由負(fù)到正整個(gè)虛軸（除原點(diǎn)）、順時(shí)針大半圓、逆時(shí)針小半圓）4、開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡及穩(wěn)定判據(jù)軌跡特點(diǎn)：當(dāng)系統(tǒng)中串聯(lián)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，那么開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有位于[s]平面坐標(biāo)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。積分環(huán)節(jié)：輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。設(shè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：式中，v為系統(tǒng)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)，當(dāng)s沿?zé)o窮小半圓弧逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)時(shí)，如果映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：當(dāng)s沿小半圓從ω＝0－變化到ω＝0＋時(shí)，θ

角從－π/2變化到π/2，這時(shí)[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿?zé)o窮大半徑按順時(shí)針?lè)较驈膙π/2轉(zhuǎn)到-vπ/2。在[GH]平面怎么補(bǔ)全Nyquist軌跡？根據(jù)ω從0+到+∞的曲線補(bǔ)足ω從－∞到0-的曲線；根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的型次，從ω=0-到0+順時(shí)針補(bǔ)足曲線。N=2N=-1Ι型系統(tǒng)Ι型系統(tǒng)例：某系統(tǒng)前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

其幅相頻率特性曲線如圖所示，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中無(wú)右平面極點(diǎn)，即P=0，由圖可見(jiàn)，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist不包圍(1,j0)點(diǎn)，即N=0，故N=P，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[GH]0ReIm1=0-=+=0+例：某單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

試用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡如圖所示。圖中虛線是按=2畫(huà)的總相角增補(bǔ)圓弧，開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線順時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)兩圈，所以N=2。另外，開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=0，即NP，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。[GH]0ReIm=+=0+=0-=-關(guān)于Nyquist判據(jù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：Nyquist判據(jù)是根據(jù)GK在[GH]平面的形態(tài)來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；Nyquist判據(jù)證明復(fù)雜，但應(yīng)用簡(jiǎn)單；開(kāi)環(huán)、閉環(huán)是否穩(wěn)定主要看GK（對(duì)應(yīng)P）、GB（對(duì)應(yīng)Z）的極點(diǎn)有無(wú)正實(shí)部；頻率由-∞到+∞的開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡是對(duì)稱(chēng)的。（奈奎斯特圖僅是正頻率對(duì)應(yīng)的軌跡。）例：若由上式易得：P=0。若K不變，亦可增加導(dǎo)前環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T4、T5使相位絕對(duì)值減小，曲線①變成曲線②。由于曲線②不包圍(－1，j0)點(diǎn)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。若G(j)H(j)如圖曲線①所示，包圍（-1，j0）點(diǎn)1圈，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。減小K值，使G(j)H(j)減小，曲線①有可能因模減小變成曲線③，相位不變，而不包圍(-1，j0）點(diǎn)，因而系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。例：當(dāng)導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用小，即當(dāng)T4小時(shí)，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡為曲線①，它包圍點(diǎn)(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用大，即當(dāng)T4大時(shí)，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡為曲線②，它不包圍點(diǎn)(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由上式易得：P=0。例：導(dǎo)前環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的作用若T1、T2均為正，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：1、T2大，表示導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用大，可使系統(tǒng)穩(wěn)定；2、開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)越多，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡越容易包圍點(diǎn)（-1，j0）。1、根據(jù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)Gk(s)的極點(diǎn)，確定P；2、根據(jù)G(j)H(j)的Nyquist圖，確定N；3、運(yùn)用判據(jù)N=Z-P，確定Z。二、利用Nyquist判據(jù)判別：一、系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist圖繪制：1、由Gk(s)寫(xiě)出U(ω)、V(ω)，，并估算象限，再寫(xiě)出A(ω)、φ(ω)；2、算出起終點(diǎn)的A、φ，再令U=0、V=0算出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的A、φ；3、由U、V的表達(dá)式估算曲線在哪些象限，畫(huà)出曲線。根據(jù)Gk(s)式子利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的判別步驟：三、

Bode穩(wěn)定判據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系1、乃奎斯特圖和伯德圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)的奈奎斯特軌跡與單位圓相交的一點(diǎn)頻率為ωc（稱(chēng)為：幅值穿越頻率、剪切頻率、幅值交界頻率），即是對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與0dB線交點(diǎn)的頻率；開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)的奈奎斯特軌跡與實(shí)軸相交的一點(diǎn)頻率為ωg（稱(chēng)為：相位穿越頻率、相位交界頻率），即是對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180°線交點(diǎn)的頻率。當(dāng)幅值A(chǔ)(ω)≥1時(shí)(在單位圓上或外)就相當(dāng)于當(dāng)幅值A(chǔ)(ω)<1時(shí)(在單位圓內(nèi))就相當(dāng)于Nyquist圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖上的0dB線；Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于Bode圖上的-180o線。2、穿越原理穿越：開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡在點(diǎn)(-1,j0）以左穿過(guò)負(fù)實(shí)軸。正/負(fù)穿越：沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自上而下（相位增加）穿過(guò)點(diǎn)(-1,j0）以左的負(fù)實(shí)軸為正穿越；反之，沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自下而上（相位減?。┐┻^(guò)點(diǎn)(-1,j0）以左的負(fù)實(shí)軸為負(fù)穿越。[GH]0ReIm(1,j0)

=0cabd單位圓+

=+20lg|GH|

0cabdGH

180

+

在L(ω)>0的范圍內(nèi)，沿頻率ω增加的方向，若對(duì)數(shù)相頻特性圖中曲線自下而上（相位增加）穿越-180°線稱(chēng)為正穿越；相反，若曲線自上而下（相位減?。┐┰?180°線稱(chēng)為負(fù)穿越。半次正/負(fù)穿越：若沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自(1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上，出現(xiàn)向下的行進(jìn)，稱(chēng)為半次正穿越；反之，沿頻率ω增加的方向，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡自(1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上，出現(xiàn)向上的行進(jìn)，為半次負(fù)穿越。對(duì)應(yīng)于Bode圖，若對(duì)數(shù)相頻特性曲線自180°線出發(fā)向上，為半次正穿越；反之，對(duì)數(shù)相頻特性曲線自180°線出發(fā)向下，為半次負(fù)穿越。=+[GH]0ReIm(1,j0)

cAB20lg|GH|

0cABGH

180

++

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：在開(kāi)環(huán)Bode圖上，當(dāng)ω由0變到+∞過(guò)程中，在對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180

°線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2或(P+1)/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。3、Bode判據(jù)20lg|GH|

0cabdGH

180

+

0.5-0=P/2，所以閉環(huán)穩(wěn)定0-0.5≠P/2，所以閉環(huán)不穩(wěn)定例1：2-1=P/2，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=2P=2P=0----+++不穩(wěn)定穩(wěn)定穩(wěn)定+例2：在開(kāi)環(huán)Bode圖上，當(dāng)ω由0變到+∞過(guò)程中，在對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為正值的頻率范圍內(nèi)，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180

°線的正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差等于P/2或(P+1)/2時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。4、Bode判據(jù)的優(yōu)點(diǎn)：1）利用Bode圖上的漸近線，可以粗略地快速判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）在Bode圖中，可以分別作出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線、對(duì)數(shù)相頻特性曲線，以便明確哪些環(huán)節(jié)是造成不穩(wěn)定性的主要因素，從而對(duì)其中參數(shù)進(jìn)行合理選擇或校正；3）在調(diào)整開(kāi)環(huán)增益K時(shí)，只需將Bode圖中的對(duì)數(shù)幅頻特性上下平移即可，因此很容易看出為保證穩(wěn)定性所需的增益值。6.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性?xún)?chǔ)備

當(dāng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，即P=0時(shí)，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡在單位圓上的交點(diǎn)離(1，j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越高；相反，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡越靠近(1，j0)點(diǎn)，其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性裕度越低。這一相對(duì)關(guān)系稱(chēng)為系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。

它通過(guò)G(j)H(j)與點(diǎn)(1，j0)的靠近程度來(lái)定量描述系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，即穩(wěn)定性?xún)?chǔ)備，表示為幅值儲(chǔ)備Kg和相位儲(chǔ)備。也就是，若閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡與單位圓相交時(shí)，其交點(diǎn)c處的相角尚未減小到180，離系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定還有相角的儲(chǔ)備；而開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡在g處，其幅值為1/Kg，尚未達(dá)到1。

在[GH]平面中，Nyquist軌跡與單位圓的交點(diǎn)c和原點(diǎn)的連線，與負(fù)實(shí)軸的相位差值，稱(chēng)為相位裕度（又稱(chēng)相角裕度），記為：，相角(c)為負(fù)值。一、相位裕度，

對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)=c時(shí)，Nyquist軌跡從負(fù)實(shí)軸下方進(jìn)入單位圓，其相位(c)大于180°，為正值，這時(shí)稱(chēng)為正的相位裕度。

對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)=c時(shí)，Nyquist軌跡在負(fù)實(shí)軸上方進(jìn)入單位圓，其相位(c)小于180°，為負(fù)值，這時(shí)稱(chēng)為負(fù)相位裕度。

相應(yīng)地，在Bode圖中，相位儲(chǔ)備表示為，當(dāng)=c時(shí)，相頻特性∠GH距180°線的相位差值。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，

在Bode圖180°線以上，這時(shí)稱(chēng)系統(tǒng)具有正相位裕度；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，

在Bode圖180°線之下，稱(chēng)為負(fù)相位裕度。

正的相位裕度表示系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性?xún)?chǔ)備，它可以在c的頻率下，允許相位再增加絕對(duì)值為的相角才達(dá)到g=c的臨界穩(wěn)定條件。因此，相位裕度

又稱(chēng)相位儲(chǔ)備。二、幅值裕度Kg

開(kāi)環(huán)Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸線交點(diǎn)

(相位穿越頻率)g

處幅值|G(j)H(j)|的倒數(shù)稱(chēng)為系統(tǒng)的幅值裕度，即幅值裕度也可以用分貝數(shù)來(lái)表示：

對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0分貝線以下，Kg(dB)>0，（或Kg>1），此時(shí)稱(chēng)為正的幅值裕度；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，Kg(dB)在0分貝線以上，Kg(dB)<0，（或Kg<1），此時(shí)稱(chēng)為負(fù)的幅值裕度。

幅值裕度的含義是，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益增大到原來(lái)的Kg倍（即新的Kg=1），則系統(tǒng)就將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，因此，幅值裕度是系統(tǒng)在幅值上的幅值穩(wěn)定性?xún)?chǔ)備的裕量，又稱(chēng)幅值儲(chǔ)備。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，當(dāng)相位裕度大于零且幅值裕度Kg大于1(Kg的分貝值大于0)時(shí)，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。和Kg越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定程度越好；當(dāng)<0、Kg<1(Kg分貝值為負(fù))時(shí)，則表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。正幅值裕度，正相角裕度=+[GH]ReImc單位圓g(c)1/Kgcg=+[GH]ReIm單位圓(c)1/Kg90

270

20lg|GH|

0GH

180

cgKg(dB)>0Kg(dB)<090

270

20lg|GH|

0GH

180

cg正幅值裕度，正相角裕度負(fù)幅值裕度，負(fù)相角裕度負(fù)幅值裕度，負(fù)相角裕度例：設(shè)系統(tǒng)的GK(s)為：解：做出系統(tǒng)的Nyquist圖和Bode圖：=+[GH]0ReImc單位圓g1/Kg90

270

20lg|GH|

0GH

180

cgKg(dB)20dB/dec60dB/decK=10K=1c'試分析阻尼比和增益K與該閉環(huán)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的關(guān)系。結(jié)果分析：1、阻尼比與相對(duì)穩(wěn)定性關(guān)系：假定增益K=1，較小，取<0.3。系統(tǒng)的G(j)H(j)將具有如圖所示的形狀。由于在很小時(shí)，振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性峰值很高，盡管其相位儲(chǔ)備

較大，但幅值儲(chǔ)備Kg(dB)卻很小。也就是說(shuō)，G(j)H(j)的剪切頻率c處大，但在頻率g附近，Nyqiust軌跡十分靠近[GH]平面上的點(diǎn)(1，j0)，可見(jiàn)Kg過(guò)小。如果僅以來(lái)評(píng)定該系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，將得出系統(tǒng)穩(wěn)定程度高的結(jié)論，此結(jié)論不合實(shí)際情況。如果阻尼比極小，0，由于諧振峰值很高，系統(tǒng)幾乎沒(méi)有幅值儲(chǔ)備，甚至不穩(wěn)定。2、分析增益與相對(duì)穩(wěn)定性關(guān)系：假定=0.2，比較圖