2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)2-22.1合情推理與演繹推理2.1.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1。2［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1．理解演繹推理的意義．2．掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理．3．了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系．［知識鏈接］1．演繹推理的結(jié)論一定正確嗎?答演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍,所以在演繹推理中,只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確．2．如何分清大前提、小前提和結(jié)論？答在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況,從中取出一個特例,特例也具有一般意義．例如，平行四邊形對角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形,這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有一般意義．3．演繹推理一般是怎樣的模式？答“三段論"是演繹推理的一般模式，它包括:(1）大前提-—已知的一般原理；(2）小前提——所研究的特殊情況；(3）結(jié)論--根據(jù)一般原理,對特殊情況做出的判斷．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．演繹推理含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理特點(diǎn)由一般到特殊的推理2。三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是P要點(diǎn)一用三段論的形式表示演繹推理例1把下列演繹推理寫成三段論的形式．（1)在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100℃，所以在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100℃(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，2100＋1是奇數(shù),所以2100＋1不能被2整除；(3）三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tanα是三角函數(shù)，因此y＝tanα是周期函數(shù)．解（1）在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下,水的沸點(diǎn)是100在一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100水會沸騰．結(jié)論(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，大前提2100＋1是奇數(shù),小前提2100＋1不能被2整除．結(jié)論(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù),大前提y＝tanα是三角函數(shù)，小前提y＝tanα是周期函數(shù)．結(jié)論規(guī)律方法用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來，揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系．有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提都省略．在尋找大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提．跟蹤演練1試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓軌道繞太陽運(yùn)行；(2)所有導(dǎo)體通電時發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時發(fā)熱;(3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；（4)等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q（p，q是常數(shù))，數(shù)列1，2，3,…,n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1，2，3，…,n的通項具有an＝pn＋q的形式．解（1）大前提：太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行；小前提：海王星是太陽系里的大行星；結(jié)論：海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行．(2）大前提：所有導(dǎo)體通電時發(fā)熱；小前提：鐵是導(dǎo)體；結(jié)論：鐵通電時發(fā)熱．(3）大前提：一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；小前提：函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)；結(jié)論：y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．（4）大前提:等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q；小前提:數(shù)列1,2,3，…,n是等差數(shù)列;結(jié)論：數(shù)列1，2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．要點(diǎn)二演繹推理的應(yīng)用例2正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長均為a，D、E分別為C1C與AB的中點(diǎn)，A1B交AB1于點(diǎn)（1）求證：A1B⊥AD；（2)求證：CE∥平面AB1D。證明（1）連接BD?！呷庵鵄BC－A1B1C1是棱長均為a∴A1ABB1為正方形，∴A1B⊥AB1.∵D是C1C∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D＝BD，∵G為A1B的中點(diǎn)，∴A1B⊥DG又∵DG∩AB1＝G，∴A1B⊥平面AB1D.又∵AD?平面AB1D，∴A1B⊥AD。（2)連接GE，∵EG∥A1A，∴GE⊥平面ABC∵DC⊥平面ABC，∴GE∥DC,∵GE＝DC＝eq\f(1,2)a，∴四邊形GECD為平行四邊形，∴CE∥GD。又∵CE?平面AB1D，DG?平面AB1D，∴CE∥平面AB1D.規(guī)律方法（1)應(yīng)用三段論解決問題時，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略．（2)數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)——大前提、小前提，注意前一個推理的結(jié)論會作為下一個三段論的前提．跟蹤演練2求證：函數(shù)y＝eq\f(2x－1,2x＋1）是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)．證明y＝eq\f（2x＋1－2，2x＋1）＝1－eq\f（2,2x＋1），所以f（x)的定義域?yàn)镽.f（－x)＋f(x）＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(2,2－x＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f(2,2x＋1））)＝2－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（2,2x＋1）＋\f(2,2－x＋1）)）＝2－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2，2x＋1)＋\f(2·2x,2x＋1)））＝2－eq\f（22x＋1,2x＋1）＝2－2＝0。即f(－x)＝－f(x），所以f（x)是奇函數(shù)．任取x1，x2∈R，且x1<x2。則f(x1）－f（x2）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（2,2x1＋1）））－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（2，2x2＋1））)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,2x2＋1)－\f(1，2x1＋1)）)＝2·eq\f（2x1－2x2，2x2＋12x1＋1).由于x1<x2，從而2x1〈2x2，2x1－2x2〈0，所以f(x1）〈f（x2），故f(x）為增函數(shù)．要點(diǎn)三合情推理、演繹推理的綜合應(yīng)用例3如圖所示，三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直,O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影．(1）求證:O為△BCD的垂心；(2）類比平面幾何的勾股定理,猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系,并給出證明．（1)證明∵AB⊥AD，AC⊥AD,AB∩AC＝A，∴AD⊥平面ABC，又BC?平面ABC.∴AD⊥BC，又∵AO⊥平面BCD，AO⊥BC,∵AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥DO,同理可證CD⊥BO，∴O為△BCD的垂心．（2）解猜想：Seq\o\al（2，△ABC)＋Seq\o\al(2，△ACD）＋Seq\o\al(2，△ABD）＝Seq\o\al(2,△BCD）.證明：連接DO并延長交BC于E，連結(jié)AE，由(1）知AD⊥平面ABC，AE?平面ABC,∴AD⊥AE，又AO⊥ED，∴AE2＝EO·ED,∴eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）BC·AE))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）BC·EO))·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)BC·ED))，即Seq\o\al（2，△ABC）＝S△BOC·S△BCD。同理可證：Seq\o\al(2，△ACD)＝S△COD·S△BCD，Seq\o\al(2，△ABD）＝S△BOD·S△BCD?！郤eq\o\al(2,△ABC)＋Seq\o\al（2,△ACD)＋Seq\o\al（2,△ABD)＝S△BCD·(S△BOC＋S△COD＋S△BOD）＝S△BCD·S△BCD＝Seq\o\al（2,△BCD).規(guī)律方法合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真．但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法,而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下）．跟蹤演練3已知命題：“若數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，且an〉0，則數(shù)列bn＝eq\r(n，a1a2…an)(n∈N＊）也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則數(shù)列bn＝eq\f（a1＋a2＋…＋an，n)也是等差數(shù)列．證明如下：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,則bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n）＝eq\f(na1＋\f（nn－1d，2）,n）＝a1＋eq\f(d,2)（n－1)，所以數(shù)列{bn}是以a1為首項，eq\f(d，2）為公差的等差數(shù)列．1．下面幾種推理過程是演繹推理的是()A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A＋∠B＝180°B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)D．在數(shù)列｛an｝中，a1＝1，an＝eq\f(1，2）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f（1,an－1)）)（n≥2）,由此歸納出｛an}的通項公式答案A解析A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理．2．“因?yàn)閷?shù)函數(shù)y＝logax是增函數(shù)（大前提),又y＝logeq\f（1,3)x是對數(shù)函數(shù)（小前提),所以y＝logeq\f（1，3）x是增函數(shù)(結(jié)論）．"下列說法正確的是()A．大前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤B．小前提錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤C．推理形式錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤D．大前提和小前提都錯誤導(dǎo)致結(jié)論錯誤答案A解析y＝logax是增函數(shù)錯誤．故大前提錯．3．把“函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線”恢復(fù)成三段論,則大前提：________；小前提:________;結(jié)論：________.答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線函數(shù)y＝x2＋x＋1是二次函數(shù)函數(shù)y＝x2＋x＋1的圖象是一條拋物線4．“如圖，在△ABC中，AC〉BC，CD是AB邊上的高，求證：∠ACD>∠BCD"．證明:在△ABC中，因?yàn)镃D⊥AB,AC〉BC， ①所以AD〉BD， ②于是∠ACD>∠BCD. ③則在上面證明的過程中錯誤的是________．（只填序號)答案 ③解析由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對大角”,小前提是“AD>BD”，而AD與BD不在同一三角形中，故③錯誤．1．演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況的推理方法；只要前提和推理形式正確，通過演繹推理得到的結(jié)論一定正確．2．在數(shù)學(xué)中，證明命題的正確性都要使用演繹推理，推理的一般模式是三段論，證題過程中常省略三段論的大前提.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理;⑤類比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③ B．②③④C．②④⑤ D．①③⑤答案D解析根據(jù)歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道①③⑤正確．2．《論語·學(xué)路》篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興；禮樂不興，則刑罰不中;刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足．"上述推理用的是（)A．類比推理 B．歸納推理C．演繹推理 D．一次三段論答案C解析這是一個復(fù)合三段論,從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論,屬演繹推理形式．3．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x）＝sin（x2＋1）是正弦函數(shù)，因此f(x）＝sin(x2＋1）是奇函數(shù)．以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確答案C解析由于函數(shù)f(x）＝sin(x2＋1）不是正弦函數(shù)．故小前提不正確．4．“∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD的對角線相等．”以上推理的大前提是(）A．正方形都是對角線相等的四邊形B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形答案B解析利用三段論分析：大前提：矩形都是對角線相等的四邊形；小前提：四邊形ABCD是矩形；結(jié)論：四邊形ABCD的對角線相等．5．三段論:“①小宏在2013年的高考中考入了重點(diǎn)本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常發(fā)揮就能考入重點(diǎn)本科院校；③小宏在2013年的高考中正常發(fā)揮”中，“小前提"是________（填序號）．答案③解析在這個推理中，②是大前提，③是小前提，①是結(jié)論．6．在求函數(shù)y＝eq\r（log2x－2）的定義域時，第一步推理中大前提是當(dāng)eq\r（a）有意義時，a≥0;小前提是eq\r（log2x－2）有意義；結(jié)論是________．答案y＝eq\r(log2x－2)的定義域是[4,＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0,解得x≥4.7．用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90°.證明因?yàn)槿我馊切蝺?nèi)角之和為180°(大前提)，而直角三角形是三角形（小前提),所以直角三角形內(nèi)角之和為180°(結(jié)論）．設(shè)直角三角形兩個銳角分別為∠A、∠B，則有∠A＋∠B＋90°＝180°，因?yàn)榈攘繙p等量差相等（大前提)，(∠A＋∠B＋90°）－90°＝180°－90°（小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(結(jié)論）．二、能力提升8．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M)，故某奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P）．”上述推理是(）A．小前提錯 B．結(jié)論錯C．正確的 D．大前提錯答案C解析由三段論推理概念知推理正確．9．已知三條不重合的直線m、n、l，兩個不重合的平面α、β,有下列命題：①若m∥n，n?α，則m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β;③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β;④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α.其中正確的命題個數(shù)是（)A．1 B．2C．3 D．4答案B解析①中，m還可能在平面α內(nèi)，①錯誤；②正確；③中,m與n相交時才成立，③錯誤；④正確．故選B。10．已知函數(shù)f(x)滿足：f（1）＝eq\f（1，4），4f（x）f(y）＝f（x＋y)＋f（x－y)(x，y∈R)，則f(2010）＝________。答案eq\f（1，2)解析令y＝1得4f(x)·f(1)＝f(x＋1）＋f(x－1即f(x)＝f（x＋1）＋f（x－1） ①令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x） ②由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x）＋f（x－1），即f(x－1）＝－f(x＋2)，∴f（x)＝－f（x＋3），∴f（x＋3）＝－f(x＋6)，∴f(x）＝f（x＋6)，即f(x)周期為6，∴f（2010)＝f（6×335＋0)＝f（0)對4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f（x－y)，令x＝1,y4f(1)f（0）＝2f（1∴f(0）＝eq\f(1,2)，即f（2010)＝eq\f(1,2)。11．用演繹推理證明函數(shù)f（x)＝｜sinx|是周期函數(shù)．證明大前提：若函數(shù)y＝f(x）對于定義域內(nèi)的任意一個x值滿足f(x＋T）＝f（x）(T為非零常數(shù)),則它為周期函數(shù)，T為它的一個周期．小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π）｜＝|sinx|＝f(x)．結(jié)論：函數(shù)f(x)＝|sinx|是周期函數(shù)．12．S為△ABC所在平面外一點(diǎn)，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。求證：AB⊥BC。證明如圖，作AE⊥SB于E。∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB。AE?平面SAB?！郃E⊥平面SBC，又BC?平面SBC?！郃E⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC?！逽A∩A