2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)版1.1任意角、弧度1.1.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．1.2弧度制課時目標(biāo)1．理解角度制與弧度制的概念,掌握角的不同度量制度,能對弧度和角度進(jìn)行正確的變換．2．掌握并會應(yīng)用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式．1．角的單位制(1）角度制:規(guī)定周角的________為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．(2）弧度制：把長度等于____________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作________．（3)角的弧度數(shù)求法：如果半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么l,α，r之間存在的關(guān)系是：__________；這里α的正負(fù)由角α的____________________決定．正角的弧度數(shù)是一個________，負(fù)角的弧度數(shù)是一個________，零角的弧度數(shù)是________．2．角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝________rad2πrad＝________180°＝________radπrad＝________1°＝________rad≈0.01745rad1rad＝________≈57°18′3.扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l,α（0〈α〈2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝________l＝________扇形的面積S＝________S＝________＝________一、填空題1．把－eq\f（11，4)π表示成θ＋2kπ（k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是________．2．若扇形圓心角為216°,弧長為30π,則扇形半徑為________．3．集合A＝eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π，2)，k∈Z））與集合B＝eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α｜α＝2kπ±\f(π,2），k∈Z)）的關(guān)系是________．4．已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個圓心角所對的弧長是________．5．扇形周長為6cm，面積為2cm6．已知集合A＝{α｜2kπ≤α≤(2k＋1）π，k∈Z}，B＝{α｜－4≤α≤4｝,則A∩B＝________.7．若角α，β終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱,且α＝－eq\f（π,3），則β角的集合是________．8．若角α的終邊與角eq\f（π,6）的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π),則角α的集合為________________．9．若2π<α<4π，且α與－eq\f（7π,6)角的終邊垂直，則α＝________.10．扇形圓心角為eq\f(π,3)，半徑長為a，則扇形內(nèi)切圓的圓面積與扇形面積之比為________．二、解答題11．已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大？12．如圖,動點(diǎn)P，Q從點(diǎn)A(4,0)同時出發(fā)沿圓周運(yùn)動，點(diǎn)P按逆時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f（π，3)弧度，點(diǎn)Q按順時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f(π，6)弧度，求P，Q第一次相遇時所用的時間及P，Q點(diǎn)各自走過的弧度數(shù)．能力提升13．已知一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正方形的周長,那么其圓心角的弧度數(shù)的絕對值為________．14．已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R.(1）若α＝60°,R＝10cm，（2)若扇形的周長是一定值c(c>0），當(dāng)α為多少弧度時,該扇形有最大面積?1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個角都有唯一的一個實(shí)數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應(yīng)；反過來，每一個實(shí)數(shù)也都有唯一的一個角（即弧度數(shù)等于這個實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)．2．解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝π”這一關(guān)系式．易知：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù),弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(180,π)）)＝度數(shù)．3．在弧度制下,扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應(yīng)用時，要注意角的單位取弧度．1．1.2弧度制知識梳理1．(1）eq\f（1,360)(2）半徑長1rad(3)｜α｜＝eq\f(l,r）終邊的旋轉(zhuǎn)方向正數(shù)負(fù)數(shù)02．2π360°π180°eq\f（π，180)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180，π)))°3.eq\f（απR,180）αReq\f（απR2，360）eq\f(1,2）αR2eq\f（1，2）lR作業(yè)設(shè)計(jì)1．－eq\f（3,4）π解析∵－eq\f（11,4）π＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f(3,4)π)），∴θ＝－eq\f（3，4）π.2．25解析216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π，5），l＝α·r＝eq\f(6π,5)r＝30π,∴r＝25.3．A＝B4.eq\f（2，sin1）解析r＝eq\f(1，sin1)，∴l(xiāng)＝|α｜r＝eq\f（2,sin1）。5．1或4解析設(shè)扇形半徑為r，圓心角為α，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，\f（1,2)αr2＝2）)，解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝1,α＝4）)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝2，α＝1）).6．{α|0≤α≤π｝解析集合A限制了角α終邊只能落在x軸上方或x軸上．7．｛β|β＝2kπ＋eq\f（2π，3）,k∈Z｝解析由對稱性知，β角的終邊與eq\f（2π，3)的終邊相同，∴β角的集合是｛β｜β＝2kπ＋eq\f（2π，3），k∈Z｝8.eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(－\f(11π，3)，－\f(5π,3），\f（π,3），\f（7π，3））)解析由題意,角α與eq\f（π,3)終邊相同，則eq\f(π,3）＋2π＝eq\f(7,3)π，eq\f(π，3)－2π＝－eq\f(5,3）π，eq\f（π，3)－4π＝－eq\f(11，3）π。9。eq\f(7，3）π或eq\f（10,3)π解析－eq\f（7,6）π＋eq\f（7，2）π＝eq\f（14，6)π＝eq\f（7,3）π，－eq\f(7，6）π＋eq\f（9，2)π＝eq\f(20，6)π＝eq\f（10，3)π。10．2∶3解析設(shè)扇形內(nèi)切圓半徑為r，則r＋eq\f(r，sin\f(π,6)）＝r＋2r＝a.∴a＝3r,∴S內(nèi)切＝πr2.S扇形＝eq\f（1,2)αr2＝eq\f（1,2）×eq\f（π,3）×a2＝eq\f(1，2)×eq\f（π，3)×9r2＝eq\f（3，2）πr2。∴S內(nèi)切∶S扇形＝2∶3。11．解設(shè)扇形的圓心角為θ,半徑為r，弧長為l，面積為S，則l＋2r＝40,∴l(xiāng)＝40－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f（1,2)×（40－2r)r＝20r－r2＝－（r－10)2＋100.∴當(dāng)半徑r＝10cm時，扇形的面積最大,最大值為100此時θ＝eq\f（l,r)＝eq\f(40－2×10,10）＝2rad.12．解設(shè)第一次相遇所用的時間為t秒．∵圓的半徑為R＝4，∴4(eq\f（π,3)t＋eq\f（π，6）t)＝2π×4,解得t＝4，故P點(diǎn)走過eq\f(4π,3）rad，Q點(diǎn)走過－eq\f(2π，3)rad.答P，Q第一次相遇時所用的時間為4秒，P，Q點(diǎn)各自走過的弧度分別為eq\f（4π,3）rad，－eq\f(2π，3）rad。13．4eq\r（2)解析設(shè)圓半徑為r,則內(nèi)接正方形的邊長為eq\r(2)r,圓弧長為4eq\r（2）r.∴圓弧所對圓心角｜θ｜＝eq\f(4\r（2）r,r）＝4eq\r（2).14．解（1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓,∵α＝60°＝eq\f（π，3），R＝10,∴l(xiāng)＝αR＝eq\f（10π，3）（cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1，2)×eq\f(10π，3)×10－eq\f（1,2)×102×sin60°＝50eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，3）－\f(\r(3），2)))（cm2）．(2)扇形周長c＝2R＋l＝2R＋αR,∴α＝eq\f（c－2R,R），∴S扇＝eq\f（1，2)αR2＝eq\f（1,2）·eq\f(c－2R，R)·R2＝eq\f（1,2