第二章 數(shù)學(xué)模型概述

環(huán)境系統(tǒng)分析大連民族學(xué)院環(huán)境工程系Office:634Email:ouxiaoxia@

歐曉霞數(shù)學(xué)模型概述2.1數(shù)學(xué)模型的定義和分類(lèi)2.2數(shù)學(xué)模型的建立2.2.1建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程2.2.2對(duì)模型的基本要求2.2.3數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析2.3Excel在建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)1數(shù)學(xué)模型的定義和分類(lèi)1.定義:根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象，歸結(jié)成一套反映其數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式與算法，用以描述對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這套公式和算法稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。廣義定義:數(shù)學(xué)公式+計(jì)算方法和計(jì)算過(guò)程特征:抽象性(數(shù)學(xué)規(guī)律→突破約束→反應(yīng)本質(zhì))2.數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)多變量模擬；可以任意改變模型參數(shù)和結(jié)構(gòu)，有利于發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征；不需要實(shí)驗(yàn)設(shè)備和空間，速度快，費(fèi)用低；具有描述目標(biāo)系統(tǒng)的狀態(tài)外，具有分析能力。3.模型的分類(lèi)模型抽象模型具體模型數(shù)學(xué)模型:方程式,函數(shù),邏輯式圖象模型:流程圖,方向圖,框圖；計(jì)算機(jī)程序:計(jì)算程序,模擬程序相似模型:(實(shí)物放大縮小)建筑模型，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ湍M模型:電模擬模型3.模型的分類(lèi)動(dòng)態(tài)模型/靜態(tài)模型線形模型/非線模型確定性模型/隨機(jī)模型模擬模型/管理模型集中參數(shù)模型/分布參數(shù)模型通常環(huán)境系統(tǒng)分析模型——?jiǎng)討B(tài)模型/非線模型/隨機(jī)模型/分布參數(shù)模型討論題用建立數(shù)學(xué)模型的方法討論，用一盆水清洗衣服和將該盆水分成兩個(gè)半盆水來(lái)洗衣服，哪個(gè)效果好。

定義：M中包含有一些元素(分量)，每個(gè)元素(分量)分別對(duì)應(yīng)和代表S中的一個(gè)元素(分量)；M中的上述分量之間應(yīng)存在一定的關(guān)系，這種個(gè)關(guān)系可以用于與S的分量間關(guān)系進(jìn)行類(lèi)比。

設(shè)，一盆水水量L，衣服中污染物質(zhì)量M，余水量L1，殘余物比較；物理簡(jiǎn)化法；數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化法。2.2數(shù)學(xué)模型的建立2.2.1對(duì)模型的基本要求2.2.2建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程2.2.3數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析2.2.1對(duì)模型的基本要求利用對(duì)客觀系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí)和理解建立模型-演繹法-機(jī)理模型-白箱模型利用對(duì)系統(tǒng)的輸入、輸出數(shù)據(jù)的觀察建立模型-歸納法-經(jīng)驗(yàn)或統(tǒng)計(jì)模型-黑箱模型灰箱模型：介于機(jī)理和經(jīng)驗(yàn)之間1.根據(jù)模型結(jié)構(gòu)分類(lèi)2.對(duì)模型的基本要求依據(jù)充分；足夠的精確度；可操作、實(shí)用2.2.2建模過(guò)程

數(shù)據(jù)的收集與分析

實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)/歷史數(shù)據(jù)變量/變量；變量/時(shí)間；變量/空間模型結(jié)構(gòu)的選擇與確定模型參數(shù)估值模型驗(yàn)證與修正模型的應(yīng)用和反饋建立數(shù)學(xué)模型的步驟觀測(cè)數(shù)據(jù)組Ⅰ模型結(jié)構(gòu)選擇模型應(yīng)用觀測(cè)數(shù)據(jù)組Ⅱ參數(shù)估計(jì)檢驗(yàn)與驗(yàn)證圖2-4模型的建立過(guò)程模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)白箱模型根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解,以客觀事物變化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有唯一性。(2)灰箱模型即半機(jī)理模型。在建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中,幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù),這些待定參數(shù)一般無(wú)法由過(guò)程機(jī)理來(lái)確定。通常要借助于觀測(cè)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。(3)黑箱模型即輸入-輸出模型。需要大量的輸入,輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中積累,也可由專(zhuān)門(mén)實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè),在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍浴?.3Excel在建立數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用2.3.1污水處理的線性回歸分析2.3.2結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)污水處理的線性回歸分析例2-2某污水處理廠提供的3、4月份的日常監(jiān)測(cè)臺(tái)帳如表2-4所示，試根據(jù)3月份的數(shù)據(jù)建立其出水COD對(duì)應(yīng)入水COD的線性回歸模型，然后用4月份的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

表2-5

出水COD對(duì)應(yīng)入水COD回歸統(tǒng)計(jì)結(jié)果MultipleR0.630237Intercept43.25682XVariable10.136996標(biāo)準(zhǔn)誤差26.22009觀測(cè)值24因此，出水COD對(duì)應(yīng)入水COD的線性回歸的模型形式是：

Y=0.137X+43.257結(jié)構(gòu)分析和曲線擬合例2-3十二胺降解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2-7所示，使用Excel工作表進(jìn)行曲線擬合。

表2-7十二胺降解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)從獲得的三個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)看，指數(shù)模型R2

與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合的相關(guān)系數(shù)高達(dá)98.6%（R2=0.9726）,應(yīng)是較好的選擇。2.3.3用Excel進(jìn)行參數(shù)估計(jì)用Copy計(jì)算式結(jié)合多元線性回歸進(jìn)行復(fù)雜模型參數(shù)估值

例2-4根據(jù)對(duì)某一種反應(yīng)的分析，獲得灰箱模型為：試根據(jù)表2-8所示的一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)值，進(jìn)行灰箱模型的參數(shù)估值，并討論其是否可信。解：首先建立Excel的工作表，輸入已知的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在新的兩列中分別通過(guò)輸入計(jì)算式和用Copy命令求得對(duì)應(yīng)的x10.5和ln(x2)，該反應(yīng)測(cè)定的原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和兩列中間計(jì)算結(jié)果均列入表2-8。

用最優(yōu)化方法進(jìn)行復(fù)雜模型的參數(shù)估值使用Excel電子表格，對(duì)于因變量y相應(yīng)于自變量X（可以是包含多個(gè)元素的向量）的試驗(yàn)或觀測(cè)數(shù)據(jù)，由經(jīng)驗(yàn)給定參數(shù)的初值開(kāi)始，計(jì)算計(jì)算值與觀測(cè)值之間的誤差，用最優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)估值，使該參數(shù)取值條件下誤差的平方和最小。

例2-5已知河流平均流速為4.0km／h，飽和溶解氧(DO)為lO.Omg／L，河流起點(diǎn)的BOD(L0)濃度為20mg／L，沿程的溶解氧(ＤＯ)的測(cè)定數(shù)據(jù)如下：第二章數(shù)學(xué)模型概述學(xué)習(xí)難點(diǎn)的闡述通過(guò)例題例2-2學(xué)習(xí)，進(jìn)一步闡述該學(xué)習(xí)難點(diǎn)，用具體計(jì)算和圖形展示誤差的取值、累積頻率曲線；認(rèn)識(shí)中值誤差(累積頻率為50％)的概念和采用來(lái)作為衡量模型精確度的度量。掌握數(shù)學(xué)建模方法。第二章數(shù)學(xué)模型概述學(xué)習(xí)要點(diǎn)為：(1)

滿足模型條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式和算法叫做數(shù)學(xué)模型，它具有高度的抽象性和經(jīng)濟(jì)性。環(huán)境系統(tǒng)工程中的數(shù)學(xué)模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法來(lái)描述環(huán)境污染過(guò)程中的物理、化學(xué)、生物化學(xué)、生物生態(tài)以及社會(huì)等方面的內(nèi)在規(guī)律和相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。(2)

數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程包括：數(shù)據(jù)的搜集和初步分析、模型的結(jié)構(gòu)選擇、估計(jì)模型的參數(shù)以及模型的檢驗(yàn)和修正等。(3)

MicrosoftExcel提供了一組數(shù)據(jù)分析工具，要使用分析工具庫(kù)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的驗(yàn)證和誤差分析，必須對(duì)所提供的分析函數(shù)定義和在統(tǒng)計(jì)、誤差分析中的作用有相應(yīng)的了解。(4)

練習(xí)掌握用Excel解決環(huán)境問(wèn)題的線性回歸分析、曲線擬合及參數(shù)估計(jì)等數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。難點(diǎn)重點(diǎn)作業(yè)已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),就下列模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并說(shuō)明哪種模型結(jié)構(gòu)更適合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。(1)y=abx；(2)y=axbx12