2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.1函數(shù)的概念和圖象（一）學(xué)案版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE23學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE2．1。1函數(shù)的概念和圖象(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)、定義域、值域的概念.2。了解構(gòu)成函數(shù)的三要素。3.正確使用函數(shù)符號(hào),會(huì)求簡單函數(shù)的定義域、值域．知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念思考初中是用兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系定義函數(shù)，用這種觀點(diǎn)能否判斷只有一個(gè)點(diǎn)（0,1)，是函數(shù)圖象？梳理設(shè)A，B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某種____________，對于集合A中的每一個(gè)元素x,在集合B中都有________的元素y和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個(gè)函數(shù)，通常記為______________．其中,所有的輸入值x組成的集合A叫做函數(shù)y＝f(x)的定義域．知識(shí)點(diǎn)二判斷兩個(gè)變量是否具有函數(shù)關(guān)系的方法思考用函數(shù)的上述定義可以輕松判斷：A＝｛0｝，B＝｛1}，f:0→1,滿足函數(shù)定義，其圖象(0，1)自然是函數(shù)圖象．試用新定義判斷下列對應(yīng)是不是函數(shù)?(1）f:求周長；A＝｛三角形｝，B＝R；（2）x123y321；（3)x123y111；(4)x111y123；(5)x123y12.梳理（1)如果一個(gè)輸入值對應(yīng)到唯一的輸出值，就稱這種對應(yīng)為單值對應(yīng)．（2）檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系的方法①定義域和對應(yīng)法則是否給出；②根據(jù)對應(yīng)法則，確認(rèn)是否為兩個(gè)非空數(shù)集上的單值對應(yīng)．知識(shí)點(diǎn)三值域思考下圖所示的“箭頭圖”表示的對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)？如果是，3是不是輸出值？梳理若A是函數(shù)y＝f(x）的定義域，則對于A中的每一個(gè)x，都有一個(gè)輸出值y與之對應(yīng)．我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域．對于函數(shù)f：A→B而言，如果值域是C,那么C?B，不能將B當(dāng)作函數(shù)的值域．類型一函數(shù)關(guān)系的判斷命題角度1給出三要素判斷是否為函數(shù)例1判斷下列對應(yīng)是否為集合A到集合B的函數(shù)．（1）A＝R,B＝{x｜x＞0｝，f：x→y＝|x|；(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2;(3）A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(x)；(4)A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝{0｝,f：x→y＝0.反思與感悟判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù),主要從以下三個(gè)方面去判斷（1）A，B必須是非空數(shù)集．（2）A中任何一個(gè)輸入值在B中必須有輸出值與其對應(yīng)．(3)A中任何一個(gè)輸入值在B中必須有唯一一個(gè)輸出值與其對應(yīng)．跟蹤訓(xùn)練1下列對應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是________．（填序號(hào))①A＝R，B＝｛x∈R｜x＞0｝，f：x→eq\f(1,|x|）;②A＝N，B＝N＊，f：x→|x－1｜；③A＝{x∈R|x＞0｝，B＝R，f：x→x2；④A＝R，B＝｛x∈R｜x≥0}，f:x→eq\r(x).命題角度2給出圖形判斷是否為函數(shù)圖象例2下列圖形中可以作為函數(shù)圖象的是____________．（填序號(hào))反思與感悟在圖形中,橫坐標(biāo)相當(dāng)于輸入值，縱坐標(biāo)相當(dāng)于輸出值．判斷圖形是否為函數(shù)圖象，就是看橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)是否單值對應(yīng)．跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)镸＝｛x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y｜0≤y≤2｝，則函數(shù)y＝f(x）的圖象可能是____________．(填序號(hào)）類型二已知函數(shù)的解析式，求其定義域例3求下列函數(shù)的定義域．（1）y＝3－eq\f（1，2)x； （2）y＝2eq\r（x）－eq\r(1－7x)；(3)y＝eq\f（x＋10，\r（x＋2)); (4)y＝eq\r（2x＋3)－eq\f（1，\r(2－x))＋eq\f（1，x)。反思與感悟求函數(shù)定義域的常用依據(jù)(1)若f(x)是分式,則應(yīng)考慮使分母不為零．(2）若f(x)是偶次根式,則被開方數(shù)大于或等于零．（3)若f(x）是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集．（4)若f(x）是實(shí)際問題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問題，使實(shí)際問題有意義．跟蹤訓(xùn)練3函數(shù)f（x)＝eq\f(\r（x），x－1）的定義域?yàn)開_______．類型三對于f（a)，f（x)的理解例4（1）已知函數(shù)f(x）＝eq\r（x＋2）,若f（a)＝4，則實(shí)數(shù)a＝________.（2）已知f（x)＝eq\f(1，1＋x)(x∈R且x≠－1)，g（x)＝x2＋2（x∈R）．①求f(2)，g（2）的值；②求f(g（2）)的值；③求f（a＋1）,g（a－1）．反思與感悟（1)f（x)中的x可以是一個(gè)具體的數(shù)，也可以是一個(gè)字母或者是一個(gè)表達(dá)式，不管是什么,只需把相應(yīng)的x都換成對應(yīng)的數(shù)或式子．(2）f(a）有3個(gè)含義①a∈定義域．②f(a)∈值域．③輸入值a按對應(yīng)法則f對應(yīng)輸出值f（a）．跟蹤訓(xùn)練4已知f（x)＝eq\f(1－x，1＋x)（x≠－1)．(1）求f(0）及f(f（eq\f（1，2)）)的值；(2）求f(1－x）及f(f(x）)．類型四求函數(shù)值域例5求下列函數(shù)的值域．(1)y＝x＋1，x∈{1，2,3,4,5};(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3）；（3)y＝eq\f(2x＋1,x－3）；（4)y＝2x－eq\r(x－1)。反思與感悟求函數(shù)值域的方法（1）觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到．(2）配方法：此方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法．（3）分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類"的形式，便于求值域．（4)換元法：對于一些無理函數(shù)(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通過換元把它們轉(zhuǎn)化為有理函數(shù)，然后利用有理函數(shù)求值域的方法,間接地求解原函數(shù)的值域．跟蹤訓(xùn)練5求下列函數(shù)的值域．（1）f(x)＝x2＋x＋1，x∈{－1,0,1，2，3｝；(2）f(x)＝x2＋2(x∈[－1,3]）;（3)f（x)＝eq\f(2x－1，x＋1）；(4）f(x）＝x－eq\r(x＋1）.1．對于函數(shù)y＝f(x)，以下說法正確的是________．(填序號(hào))①y是x的函數(shù)；②對于不同的x，y的值也不同；③f(a）表示當(dāng)x＝a時(shí)函數(shù)f(x）的值，是一個(gè)常量；④f(x)一定可以用一個(gè)具體的式子表示出來．2．函數(shù)y＝eq\r(1－x）＋eq\f（\r(x),x－1)的定義域?yàn)開_______．3．函數(shù)f（x）＝eq\r(2x－1)（x≥1)的值域?yàn)開_______．4．設(shè)f(x)＝eq\f（x2－1，x2＋1)，則eq\f（f2,f\f(1,2)）＝________。5．下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是________．（填序號(hào))①f（x)＝eq\r(－2x3)與g（x)＝xeq\r(－2x)；②f(x）＝x與g(x)＝eq\r(x2）；③f(x)＝x0與g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1與g(t）＝t2－2t－1。1．函數(shù)的本質(zhì)：兩個(gè)非空數(shù)集間的一種單值對應(yīng)．由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則一經(jīng)確定,值域也隨之確定，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等只需兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則一樣即可．2．定義域是一個(gè)集合，所以需要寫成集合的形式，在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時(shí),定義域就是使函數(shù)式有意義的輸入值x的集合．3．在y＝f（x）中，x是自變量，f代表對應(yīng)法則，不要因?yàn)楹瘮?shù)的定義而認(rèn)為自變量只能用x表示,其實(shí)用什么字母表示自變量都可以，關(guān)鍵是符合定義，x只是一個(gè)較為常用的習(xí)慣性符號(hào)，也可以用t等表示自變量．關(guān)于對應(yīng)法則f，它是函數(shù)的本質(zhì)特征，好比是計(jì)算機(jī)中的某個(gè)“程序"，當(dāng)在f（）中的括號(hào)內(nèi)輸入一個(gè)值時(shí)，在此“程序”作用下便可輸出某個(gè)數(shù)據(jù)，即函數(shù)值．如f（x)＝3x＋5，f表示“自變量的3倍加上5”,如f(4）＝3×4＋5＝17.我們也可以將“f"比喻為一個(gè)“數(shù)值加工器"（如圖），當(dāng)投入x的一個(gè)值后，經(jīng)過“數(shù)值加工器f”的“加工"就得到一個(gè)對應(yīng)值．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考因?yàn)橹挥幸粋€(gè)點(diǎn)，用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)判斷就顯得牽強(qiáng)，因此有必要引入用集合和對應(yīng)來定義的函數(shù)概念．梳理對應(yīng)法則f唯一y＝f（x)，x∈A知識(shí)點(diǎn)二思考(1)不是，因?yàn)榧螦不是數(shù)集．（2)是．對于數(shù)集A中的每一個(gè)x，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)．（3)是．對于數(shù)集A中的每一個(gè)x，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)．(4)不是．一個(gè)x＝1,對應(yīng)了三個(gè)不同的y，違反了“唯一確定”．(5）不是．x＝3沒有相應(yīng)的y與之對應(yīng)．知識(shí)點(diǎn)三思考對于A中任意一個(gè)元素，B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，故上圖中的對應(yīng)關(guān)系是函數(shù),但B中元素3沒有輸入值與之對應(yīng)，故3不是輸出值．題型探究例1解（1）輸入值0在B中沒有輸出值與之對應(yīng)，故不是集合A到集合B的函數(shù)．(2）對于集合A中的任意一個(gè)整數(shù)x,按照對應(yīng)法則f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)x2與其對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．(3)集合A中的負(fù)整數(shù)沒有平方根，在集合B中沒有對應(yīng)的輸出值，故不是集合A到集合B的函數(shù)．(4)對于集合A中任意一個(gè)輸入值x,按照對應(yīng)法則f:x→y＝0在集合B中都有唯一一個(gè)確定的輸出值0和它對應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1③解析①中,當(dāng)x＝0時(shí)，輸出值為0,而集合B中沒有0；②中,當(dāng)x＝1時(shí)，輸出值為0,而集合B中沒有0;③正確；④不正確．例2②③④解析①中至少存在一處如x＝0，一個(gè)橫坐標(biāo)對應(yīng)兩個(gè)縱坐標(biāo)，這相當(dāng)于A中至少有一個(gè)輸入值在B中對應(yīng)的輸出值不唯一，故①不是函數(shù)圖象，其余②③④均符合函數(shù)定義．跟蹤訓(xùn)練2②解析①中，定義域?yàn)椋郏?，0]，不符合題意;②中，定義域?yàn)閇－2，2]，值域?yàn)椋?，2],符合題意;③中，存在一個(gè)x值對應(yīng)2個(gè)y值的情形，不是函數(shù)；④中，定義域?yàn)閇－2，2］，但值域不是[0,2]，不符合題意．例3解(1)函數(shù)y＝3－eq\f(1，2）x的定義域?yàn)镽.（2）由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x≥0，,1－7x≥0，)）得0≤x≤eq\f（1,7)，所以函數(shù)y＝2eq\r（x）－eq\r(1－7x）的定義域?yàn)閇0，eq\f（1,7)]．（3）由于00無意義，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0，即x〉－2，所以x>－2且x≠－1。所以函數(shù)y＝eq\f（x＋10,\r（x＋2))的定義域?yàn)閧x|x>－2且x≠－1}．(4）要使函數(shù)有意義，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3≥0,，2－x>0，，x≠0,））解得－eq\f(3,2）≤x＜2，且x≠0，所以函數(shù)y＝eq\r(2x＋3）－eq\f(1，\r(2－x））＋eq\f(1，x)的定義域?yàn)閧x|－eq\f（3,2)≤x＜2，且x≠0}．跟蹤訓(xùn)練3｛x｜x≥0且x≠1｝例4（1）14解析f(a)＝eq\r（a＋2)＝4,∴a＋2＝16,a＝14。（2）解①因?yàn)閒(x）＝eq\f（1,1＋x)，所以f(2）＝eq\f（1,1＋2）＝eq\f(1，3).又因?yàn)間（x)＝x2＋2，所以g（2）＝22＋2＝6.②f（g（2)）＝f（6）＝eq\f（1，1＋6)＝eq\f（1,7).③f（a＋1）＝eq\f(1,1＋a＋1）＝eq\f（1,a＋2）.g(a－1)＝(a－1）2＋2＝a2－2a＋3.跟蹤訓(xùn)練4解(1）f(0)＝eq\f(1－0，1＋0）＝1.∵f（eq\f（1，2))＝eq\f（1－\f（1,2),1＋\f(1，2）)＝eq\f(1，3），∴f(f(eq\f（1，2)）)＝f(eq\f（1，3））＝eq\f（1－\f(1，3），1＋\f（1，3))＝eq\f（1,2)。(2）f(1－x）＝eq\f(1－1－x，1＋1－x）＝eq\f(x,2－x）(x≠2)．f（f(x))＝f(eq\f（1－x，1＋x))＝eq\f（1－\f(1－x，1＋x),1＋\f(1－x，1＋x))＝x（x≠－1)．例5解(1)按照對應(yīng)法則,輸入值1,2，3，4,5分別對應(yīng)輸出值2，3，4，5，6，∴值域?yàn)椋?,3，4,5，6}．(2）y＝（x－1)2＋2，∵x∈［0，3)，∴（x－1)2∈［0,4),∴（x－1)2＋2∈［2,6)，∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋?,6）．（3)y＝eq\f（2x－3＋7,x－3）＝2＋eq\f(7，x－3）。∵eq\f（7,x－3）≠0，∴2＋eq\f（7，x－3）≠2。∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋鹹|y≠2}．（4）這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，＋∞），y＝2x－eq\r（x－1）＝2（x－1)－eq\r（x－1)＋2.設(shè)t＝eq\r(x－1)，t≥0，則y＝2t2－t＋2＝2（t－eq\f(1,4))2＋eq\f(15，8）.∵t≥0，∴(t－eq\f（1，4))2≥0，∴2(t－eq\f(1，4))2＋eq\f(15,8)≥eq\f（15,8),∴這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋踖q\f（15,8），＋∞)．跟蹤訓(xùn)練5解(1)由題意,得f(－1）＝1，f（0)＝1，f(1）＝3,f(2)＝7，f（3）＝13，所以函數(shù)f(x）的值域?yàn)椋?,3，7，13}．（2）由題意，得拋物線y＝x2＋2開口向上，對稱軸是y軸,所以函數(shù)f（x）＝x2＋2在［－1，3]上的最小值為2，最大值為11，所以函數(shù)f（x)的值域是[2,11］．（3)方法一因?yàn)閒(x)＝eq\f(2x＋1－