第二章 地圖數(shù)學基礎(chǔ)

第2章地圖數(shù)學基礎(chǔ) §1地球體

§2地球坐標系與大地定位

§3地圖投影的基本原理

§4常用的幾類地圖投影 §5地圖數(shù)學基礎(chǔ)設(shè)計和地圖投影變換

缺席：04111(2次)042021.1地球的自然表面我國春秋時期，“天圓地方說”（蓋天說）?！?

地球體§1

地球體據(jù)《晉書·天文志》記載：“其言天似蓋笠，地法覆盤，天地各中高外下。北極之下為天地之中,其地最高,而滂沲四,三光隱映,以為晝夜。天中高于外衡冬至日之所在六萬里。北極下地高于外衡下地亦六萬里，外衡高于北極下地二萬里。天地隆高相從,日去地恒八萬里?！卑凑者@個宇宙圖式,天是一個穹形,地也是一個穹形,就如同心球穹，兩個穹形的間距是八萬里。北極是“蓋笠”狀的天穹的中央，日月星辰繞之旋轉(zhuǎn)不息。蓋天說認為,日月星辰的出沒,并非真的出沒，而只是離遠了就看不見，離得近了，就看見它們照耀。據(jù)東漢學者王充解釋：“今試使一人把大炬火，夜行于平地，去人十里，火光滅矣；非滅也，遠使然耳。今，日西轉(zhuǎn)不復見，是火滅之類也?！?/p>

1.1地球的自然表面東漢張衡渾天說,提出大地是球體,宇宙是無限的觀點。

§1

地球體§1

地球體渾天說的代表作《張衡渾儀注》中說:“渾天如雞子。天體圓如彈丸﹐地如雞子中黃﹐孤居于天內(nèi)﹐天大而地小。天表里有水﹐天之包地﹐猶殼之裹黃。天地各乘氣而立﹐載水而浮。周天三百六十五度又四分度之一﹐又中分之﹐則半一百八十二度八分度之五覆地上﹐半繞地下﹐故二十八宿半見半隱。其兩端謂之南北極。北極乃天之中也﹐在正北﹐出地上三十六度。然則北極上規(guī)徑七十二度﹐常見不隱。南極天地之中也﹐在正南﹐入地三十六度。南規(guī)七十二度常伏不見。兩極相去一百八十二度強半。天轉(zhuǎn)如車轂之運也﹐周旋無端﹐其形渾渾﹐故曰渾天。”可見渾天說比蓋天說進了一步﹐它認為天不是一個半球形﹐而是一整個圓球﹐地球在其中﹐就如雞蛋黃在雞蛋內(nèi)部一樣。不過﹐渾天說并不認為“天球”就是宇宙的界限﹐它認為“天球”之外還有別的世界﹐即張衡所謂:“過此而往者﹐未之或知也。未之或知者﹐宇宙之謂也。宇之表無極﹐宙之端無窮。”(《靈憲》)公元2世紀古希臘托勒密的地心說:大地是宇宙的中心。畢達格拉斯和亞里士多德在兩千多年前就確信地球是圓的。公元前200年，才由古希臘學者埃拉托色尼量算出地球的周長加以實證。中世紀西方人的地球概念模型和宇宙觀古印度人的地球概念

護持神毗瑟拿化身為大海龜，海龜?shù)挠矚け成险局鴰最^大象,大象馱著半圓形的大地，大象動一動便引起地震。海龜又站在作為水的象征的眼鏡蛇身上。半圓形的大地中央須彌山聳峙,日月繞山運行,當日頭投入山后，就呈現(xiàn)出黑暗之夜。古印度人的大地形狀概念模型——為了了解地球的形狀，讓我們由遠及近地觀察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中:

地球是一個表面光滑、藍色美麗的正球體。機艙窗口俯視大地:

地表是一個有些微起伏、極其復雜的表面

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。結(jié)論：

地球不是一個正球體，而是一個極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。1.2地球的物理表面當海洋靜止時，自由水面與該面上各點的重力方向（鉛垂線）成正交，這個面叫水準面。在眾多的水準面中，有一個與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過大陸、島嶼形成一個閉合曲面，這就是大地水準面。它實際是一個起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱為大地體。大地水準面是地球形體的一級逼近。在測量和制圖中用旋轉(zhuǎn)橢球體來代替大地體，這個旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱為地球橢球體，簡稱橢球體。

它是一個規(guī)則的數(shù)學表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學表面，也是對地球形體的二級逼近，用于測量計算的基準面。1.3地球的數(shù)學表面橢球體

三要素:

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項重要工作。

通過數(shù)學方法將地球橢球體擺到與大地水準面最貼近的位置上，并求出兩者各點間的偏差，從數(shù)學上給出對地球形狀的三級逼近。對地球形狀abf測定后，還須確定大地水準面與橢球體面的相對關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準面符合最好的一個地球橢球體——

參考橢球體，這項工作就是參考橢球體定位。

由于國際上在推求年代、方法及測定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。1952年前采用海福特（Hayford）橢球體

1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺）自1980年開始采用

GRS1975（國際大地測量與地球物理學聯(lián)合會IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點。陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標系”大地坐標的起算點——大地原點。

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動、科學研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標系統(tǒng)的建立?！?地球坐標系與大地定位2.1坐標系一、地理坐標系二、平面坐標系(高斯)三、空間直角坐標系（WGS84）一、地理坐標

——用經(jīng)緯度表示地面點位的球面坐標。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度①天文經(jīng)緯度：表示地面點在大地水準面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測點天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測點之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l、大地緯度.大地經(jīng)度λ

：指參考橢球面上某點的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負。大地緯度

：指參考橢球面上某點的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負。二、平面直角坐標系三、空間直角坐標系2.2

中國的大地坐標系統(tǒng)1.中國的大地坐標系1980年以前：采用克拉索夫斯基橢球體（坐標原點是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺）

；1980年選用1975年國際大地測量協(xié)會推薦的參考 橢球：ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572.中國的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標的地面點組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。

由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點遍布全國各地平面控制網(wǎng)國家測繪局高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點組成，以水準測量或三角高程測量完成。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準原點，其他各控制點的絕對高程均是據(jù)此推

算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升29毫米。

青島觀象山水準原點高程控制網(wǎng)國家測繪局國家測繪局絕對高程相對高程國家水準原點

國家測繪局GPS控制網(wǎng)國家測繪局

2.3全球定位系統(tǒng)-GPS

授時與測距導航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無線電導航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實時動態(tài)定位、定時及導航服務(wù)。

1.GPS系統(tǒng)由三個獨立的部分組成空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星。它們在高度20200km的近圓形軌道上運行，分布在六個軌道面上，軌道傾角55°，兩個軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點，任意時刻，至少同時可見到四顆衛(wèi)星。地面支撐系統(tǒng)：1個主控站，3個注入站，5個監(jiān)測站。它向GPS導航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運動及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預定軌道運行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。 用戶設(shè)備部分：GPS接收機——接收衛(wèi)星信號，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機所在點位的導航和定位信息。通常會顯示出用戶的位置、速度和時間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點的距離和航向或提供圖示。2.GPS系統(tǒng)定位原理數(shù)據(jù)，組成3個方程式，就可以解出觀測點的位置（X,Y,Z）?？紤]到衛(wèi)星的時鐘與接收機時鐘之間的誤差，實際上有4個未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個方程式以求解，從而得到觀測點經(jīng)緯度和高程。

通過測量衛(wèi)星信號到達接收機的時間延遲，即可算出用戶到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的3.常用GPS測量模式

常規(guī)靜態(tài)測量：采用兩臺(或兩臺以上)GPS接收機，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測4顆以上衛(wèi)星，每時段根據(jù)基線長度和測量等級觀測45分鐘以上的時間。常用于建立全球性或國家級大地控制網(wǎng)、地殼運動監(jiān)測網(wǎng)。

快速靜態(tài)測量：這種模式是在一個已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機依次到各待測測站，每測站觀測數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測量、地籍測量等。這種方法要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應(yīng)不超過20km。靜態(tài)測量模式準動態(tài)測量

在一已知測站上安置一臺GPS接收機作為基準站，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星。移動站接收機在進行初始化后依次到各待測測站，每測站觀測幾個歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測時間不一樣外，它要求移動站在搬站過程中不能失鎖，并且需要先在已知點或用其它方式進行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時例外）。

這種模式可用于開闊地區(qū)的加密控制測量、工程定位及碎部測量、剖面測量及線路測量等。要求在觀測時段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測；流動點與基準點相距應(yīng)不超過20km。動態(tài)測量模式實時動態(tài)測量：DGPS和RTK

在一個已知測站上架設(shè)GPS基準站接收機和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見衛(wèi)星，并通過數(shù)據(jù)鏈向移動站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動站接收機通過移動站數(shù)據(jù)鏈接收基準站發(fā)射來的數(shù)據(jù)，并進行在機處理，從而實時得到移動站的高精度位置。DGPS通常叫做實時差分測量，精度為亞米級到米級，這種方式是基準站將基準站上測量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿诱?，移動站接收到RTCM數(shù)據(jù)后，自動進行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標。RTK

則是以載波相位觀測量為根據(jù)的實時差分GPS測量，它是GPS測量技術(shù)發(fā)展中的一個新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過是基準站將觀測數(shù)據(jù)發(fā)送到移動站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動站接收機再采用更先進的在機處理方法進行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實時測量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。3.1地圖投影的概念3.2地圖的比例尺3.3地圖投影變形3.4地圖投影分類§3地圖投影

3.1地圖投影的概念

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。地圖投影所依據(jù)的是地球橢球面（或球面），因此把地球橢球面（或球面）為投影的原面；將地球表面的點、線、面描寫即投影于其上的承受面，叫做投影面。

地圖投影的原理:是在原面與投影面之間建立點、線、面的一一對應(yīng)關(guān)系。由于地圖通常是表示在平面上，因而投影面必須是平面或可展曲面。在可展曲面中可作為投影面的，只有圓柱和圓錐面。

一、幾何透視法建立在透視學原理基礎(chǔ)上。小區(qū)域范圍：垂直投影較大區(qū)域范圍：半球、全球

幾何透視投影的不足幾何透視法只能解決一些簡單的由球面到平面的變換問題，具有很大的局限性，而且難于糾正投影變形，精度較低。

二、數(shù)學解析法在地球橢球面與投影面之間建立點與點的函數(shù)關(guān)系，通過數(shù)學的方法確定經(jīng)緯線交點位置的一種投影方法。多數(shù)的數(shù)學解析法是在透視投影的基礎(chǔ)上，建立球面與投影面之間點與點的函數(shù)關(guān)系的，因此兩種投影方法有一定聯(lián)系。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)上式是地圖投影的基本公式，根據(jù)投影的性質(zhì)和條件的不同，投影公式的具體形式是多種多樣的。三、地圖投影的研究對象和基本任務(wù)：研究對象：研究將球面描寫到地圖平面上的理論、方法及應(yīng)用，以及地圖投影的變形規(guī)律。不同地圖投影之間的轉(zhuǎn)換和圖上量算等問題?；救蝿?wù)：將制圖區(qū)域（曲面）按照一定的數(shù)學法則轉(zhuǎn)換為地圖平面。四、地圖投影的意義地圖投影是地圖的數(shù)學基礎(chǔ)，起著基礎(chǔ)和骨架作用，正是地圖投影才使得地圖具有嚴密的科學性和精確的可量測性，這是地圖區(qū)別與照片、風景畫等的重要特征。地圖投影系統(tǒng)是實現(xiàn)空間信息定位的基礎(chǔ)，是地球空間數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)框架，是空間信息可視化的基礎(chǔ)。

3.2地圖的比例尺一、地圖比例尺內(nèi)涵根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺

：

在投影面上沒有變形的點或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。二、地圖比例尺的表示

①

數(shù)字式比例尺

：用阿拉伯數(shù)字表示，如1:10000或簡寫為1：1萬也可以用分數(shù)表示1/10000。

②文字式比例尺：用文字注解的方式表示，

如百萬分之一或“圖上1cm相當實地10km”。注意：表示比例尺的長度單位，在地圖上通常以cm計，在實地以m或km記，涉及航海方面的地圖，實地距離則常常以nmail（海里）計。

③圖解式比例尺：用圖解加注記的形式表示。

直線比例尺 斜分比例尺（微分比例尺） 復式比例尺（經(jīng)緯線比例尺）

1050102030405023.8m18.9m

④特殊比例尺

無級別比例尺（無極縮放）三、國家基本地圖的比例尺系列數(shù)字比例尺文字比例尺圖上1cm相當實地km數(shù)1：10000一萬分之一0.11：25000二萬五千分之一0.251：50000五萬分之一0.51：100000十萬分之一11：250000二十五萬分之一2.51：500000五十萬分之一51：1000000百萬分之一10四、地圖比例尺的作用比例尺決定著地圖圖形的大小反映地圖的測量精度：比例尺越大，地圖的量測精度越高。比例尺精度：圖上0.1mm的地面水平長度。例：測制1：1萬地形圖時，實際水平長度的測量精度只有1m，即小于1m地物就不能正確表示。

問題：實地長度準確到5m，則地圖比例尺不用小于？比例尺決定著地圖內(nèi)容的詳細程度3.3地圖投影變形一、投影變形的概念使用了地圖投影的地圖，雖然可以將地球表面完整地表示在平面上，但是這種“完整”，是通過投影范圍內(nèi)某一區(qū)域均勻拉伸和對另一區(qū)域的均勻縮小而實現(xiàn)的。地圖投影變形是不可避免的，但是在掌握了地圖投影的變形性質(zhì)和規(guī)律之后，就可以對投影變形加以控制，以滿足使用地圖的要求。

二、變形橢圓 取地面上一個微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當作平面看待），它投影到平面上通常會變?yōu)闄E圓，通過對這個橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長度比；為緯線長度比微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會變?yōu)闄E圓，即：以O(shè)'為原點，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得主方向：一組正交方向投影后仍然正交，稱此兩方向為主方向。長軸方向（變形比極大值）a短軸方向（變形比極小值）b經(jīng)線方向長度變形比m緯線方向長度變形比n據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinθ=a·b變形橢圓表示地圖投影變形方法變形橢圓各方向上的半徑長表明長度變化；變形橢圓的面積表明面積變化；變形橢圓的扁平表示角度變形的大小。一個變形橢圓能同時顯示某點的各種變形，一組變形橢圓能揭示全制圖區(qū)域變形變化規(guī)律。三、投影變形的性質(zhì)和大小

長度比和長度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮小）之比。

m表示長度比，Vm表示長度變形

長度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小

面積比和面積變形：

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。設(shè)A點的坐標為（x、y），A

′點的坐標為(x

′、y

′)將此式兩邊各減和加

tana

即：由上面兩式，可以推演出：

顯然當（a+a

′）=90°時，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：BB`μ`μ若已知

m,n,q，則：＝3.4地圖投影分類

地圖投影的種類已很多，當前一般按照兩種標志分類：一是按投影的內(nèi)在條件——投影的變形性質(zhì)分類；一是按投影的外在條件——按投影的構(gòu)成方法。

一、按投影變形性質(zhì)分類名稱概念性質(zhì)等角投影在投影面上任意方向線的夾角同地球面相應(yīng)的夾角相等。等面積投影投影面上的有限面積與地球面上相應(yīng)面積相等。任意投影即不等角又不等面積的投影。

等角投影:投影面上某點的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:投影圖上，長度、面積和角度都有變形它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒有長度變形的任意投影（m=1）。等積投影、等角投影、等距投影形狀不變面積不變特定方向距離不變二、按投影的構(gòu)成方法分類幾何投影：把地球橢圓面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進一步分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。

條件投影：根據(jù)制圖的某些特定要求，選用合適的投影條件，利用數(shù)學解析法確定平面球面之間對應(yīng)點的函數(shù)關(guān)系。

偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對稱中央經(jīng)線的曲線。

多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對稱于中央經(jīng)線的曲線。§4常用的幾類地圖投影4.1方位投影及其應(yīng)用4.2圓柱投影及其應(yīng)用4.3圓錐投影及其應(yīng)用4.4高斯－克呂格投影及其應(yīng)用4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類二、等面積方位投影三、等距離方位投影四、等角方位投影五、方位投影的分析和應(yīng)用4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類1、定義：假設(shè)一個平面與地球面相切或相割，根據(jù)某種條件（如等面積）將地球上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到該平面上而得到。4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類2、分類：（1）根據(jù)球面與投影面的相對部位不同，方位投影有正軸投影、橫軸投影和斜軸投影。還可以進一步分為切方位投影和割方位投影。

一、方位投影的概念、分類2、分類：（2）根據(jù)投影的變形性質(zhì)，方位投影有等角投影、等面積投影和任意投影（其中主要是等距離投影）。二、等面積方位投影保持投影前后的面積相等等面積方位投影后面積沒有變形，等高圈長度比都大于1，垂直圈長度比都小于1。三、等距離方位投影等距離方位投影的垂直圈沒有長度變形，等高圈長度比和面積比都放大。四、等角方位投影等角正軸切方位投影特點：1.極點為中心；2.緯線為同心圓；3.經(jīng)線為輻射的直線。4.中心部分變形較小，向外變形逐漸增大。用于編繪兩極地區(qū)國際１：１００萬地形圖。五、方位投影的應(yīng)用由于各種方位投影具有不同的特點，因而各有不同的用途，下面介紹一些實例：等角方位投影制作較大區(qū)域的地圖、廣播衛(wèi)星、軍事等面積方位投影近似圓形地圖的區(qū)域圖：普通地圖、政治形勢圖；極區(qū)地圖；赤道附近圓形區(qū)域地圖等距離方位投影制作圓形區(qū)域地圖：普通地圖、政區(qū)圖、自然地理圖4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類二、等角正切圓柱投影（墨卡托投影）三、等面積和等距離圓柱投影四、圓柱投影的分析和應(yīng)用4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類1.概念以圓柱面為投影面，按某種投影條件，將地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影于圓柱面上，然后，沿圓柱面的某一母線切開展成平面的一種投影。4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類1.分類正軸、橫軸和斜軸等角、等面積和任意投影

4.2圓柱投影及其應(yīng)用二、等角正切圓柱投影（墨卡托投影）赤道沒有變形，隨著緯度升高，變形迅速增大。適合制作沿緯線延伸地圖的地圖等角航線：地球面上一條與所有經(jīng)線相交成等方位角的曲線。請思考“等角航線”與“大圓航線”投影之后是什么樣子的？？？4.2圓柱投影及其應(yīng)用三、等面積和等距離圓柱投影4.2圓柱投影及其應(yīng)用四、圓柱投影的應(yīng)用等角航線高斯－克呂格投影4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、種類二、等角正圓錐投影三、等積圓錐投影和等距圓錐投影四、圓錐投影的分析和應(yīng)用4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、種類1.概念：圓錐投影是假定的以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線間開展為平面而成，當圓錐面與地球相切時，稱為切圓錐投影，當圓錐面與地球相割時，稱為割圓錐投影。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、分類2.分類：按圓錐面與地球相對位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用二、等角正圓錐投影等角圓錐投影的條件是在地圖上沒有角度變形。等角圓錐投影：等角切圓錐投影、等角割圓錐投影。4.3圓錐投影及其應(yīng)用三、等積圓錐投影和等距圓錐投影等積圓錐投影的條件：地圖上面積比不變

等距圓錐投影的條件：經(jīng)線投影后保持正長，即經(jīng)線方向上的長度比是1，沒有變形。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用四、圓錐投影的分析和應(yīng)用圓錐投影的特點：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標準緯線越遠變形越大。該投影適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。圓錐投影和方位、圓柱投影之間的關(guān)系

方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例，圓錐體的頂角越大就越按近方位投影。當圓錐頂角為180度時，就是方位投影，相反如果圓錐體的頂角小到0度，則圓錐就變成了圓柱。就得到了圓柱投影。圓錐、圓柱和方位投影的經(jīng)緯線形式雖不相同，但投影變形的規(guī)律無論是正軸、橫軸和斜軸，變形的形式是相似的。變形的性質(zhì)都能從緯線投影上的間距表現(xiàn)出來。判別以上投影的性質(zhì)時，卻可根據(jù)緯線間距的增大或減小和相等的情況來確定。1.

概念：

等角橫切橢圓柱投影是以橢圓柱作為投影面，使地球橢球體的某條經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按照等角條件，將中央經(jīng)線東西兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到圓柱面上，再將其展開平面而成。

該投影由德國高斯于19世紀20年代擬定，經(jīng)克呂格1912年對投影公式加以補充，稱為高斯－克呂格投影。4.4高斯－克呂格投影及其應(yīng)用變形性質(zhì)：等角投影幾何概念：橫切橢圓柱投影2.經(jīng)緯線特征

中央經(jīng)線和赤道為互相垂直的直線，其他經(jīng)線均為凹向并對稱于中央經(jīng)線的曲線，其他緯線均為以赤道為對稱軸的向兩極彎曲的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。3.變形分布規(guī)律：

①中央經(jīng)線沒有長度變形。其余經(jīng)線長度比均大于1，距中央經(jīng)線愈遠變形愈大；

②在同一條經(jīng)線上，長度變形隨緯度的降低而增大；

③在同一條緯線上，長度變形隨距中央經(jīng)線距離的增大而增大。最大變形在邊緣經(jīng)線與赤道的交點上；

投影帶的劃分為了保證地圖的精度，采用分帶投影方法，將投影范圍的東西界加以限制，使其變形不超過一定的限度，把許多帶結(jié)合起來，可以為整個區(qū)域的投影6°帶是從0°經(jīng)線起，自西向東；我國在東經(jīng)72°—136°之間，包括11個帶，即13—23帶。3°帶，是從東經(jīng)1°30’的經(jīng)線始。全球為120個帶。上圖為6°與3°帶的中經(jīng)及帶號的關(guān)系。

中國國家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格分帶投影：

1∶1萬（3°分帶）

1∶2.5萬、1∶5萬、1∶10萬、1∶25萬、1∶50萬（6°分帶）5.坐標規(guī)定

中經(jīng)為X軸，北正；赤道為Y軸，東正；交點為原點。我國在北半球，X皆為正。Y有一半為負。避免Y為負，將各帶的Y值加500公里，即縱軸西移500公里。由于各帶投影完全相同，為區(qū)別不同帶的點，Y前需再加帶號，稱為通用坐標。6.

坐標網(wǎng)(1)經(jīng)緯線網(wǎng)

經(jīng)線和緯線構(gòu)成的坐標網(wǎng)，又稱地理坐標網(wǎng)。

作用：控制和確定地表各點和整體地形的實地位置。用于分析和計算投影變形；確定比例尺、量算不可缺少。

(2)方里網(wǎng)由平行于投影坐標軸的兩組平行線所構(gòu)成的方格網(wǎng)。又稱直角坐標網(wǎng)。

作用：大比例尺地圖上，方便展繪點位和讀圖上地理坐標

表示：1：1萬—1：25萬地圖上繪出方里網(wǎng)

比例尺密度1:1萬1:2.5萬1:5萬1:10萬1:25萬圖上距離（cm)

10

4

2

2

4實地距離(km)

1

1

1

2

10§5地圖數(shù)學基礎(chǔ)設(shè)計和地圖投影變換

5.1地圖定向5.2地圖投影的識別和選擇5.3地圖投影的變換5.1地圖定向1.真北方向2.磁北方向3.坐標北方向4.三北方向圖真子午線磁子午線坐標縱線磁偏角子午線收斂角磁坐偏角5.2地圖投影的選擇和識別1.地圖投影的選擇（1）選擇投影的一般原則經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡單制圖區(qū)域內(nèi)變形較小，且分布均勻前蘇聯(lián)科學家契比雪夫說過：能使制圖區(qū)域邊界保持同一長度比的投影是最合適的投影。（2）影響投影選擇的基本因素地圖內(nèi)容及其用途制圖區(qū)域大小制圖區(qū)形狀和地理位置其它因素：出版方式、資料情況2.地圖投影的判別（1）通過判別經(jīng)緯網(wǎng)的形狀確定投影系統(tǒng)（2）根據(jù)經(jīng)緯距的變化規(guī)律確定投影變形性質(zhì)（3）通過簡單的量算確定投影參數(shù)（4）間接判斷：從投影選擇的角度考慮經(jīng)緯網(wǎng)形狀判斷注意事項直線與曲線圓弧與任意曲線圓弧與圓同心圓與同軸圓變形性質(zhì)確定之前提同緯度帶內(nèi)梯形面積不等的投影肯定不是等積投影；經(jīng)緯網(wǎng)不是處處正交的投影肯定不是等角投影；投影為直線的經(jīng)線（中央經(jīng)線）上緯距不等的投影肯定不是等距投影。另外，量算時應(yīng)考慮制圖和印刷誤差

研究從一種地圖投影變換為另一