第二章 地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第2章地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ) §1地球體

§2地球坐標(biāo)系與大地定位

§3地圖投影的基本原理

§4常用的幾類(lèi)地圖投影 §5地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)和地圖投影變換

缺席：04111(2次)042021.1地球的自然表面我國(guó)春秋時(shí)期，“天圓地方說(shuō)”（蓋天說(shuō)）?！?

地球體§1

地球體據(jù)《晉書(shū)·天文志》記載：“其言天似蓋笠，地法覆盤(pán)，天地各中高外下。北極之下為天地之中,其地最高,而滂沲四,三光隱映,以為晝夜。天中高于外衡冬至日之所在六萬(wàn)里。北極下地高于外衡下地亦六萬(wàn)里，外衡高于北極下地二萬(wàn)里。天地隆高相從,日去地恒八萬(wàn)里?！卑凑者@個(gè)宇宙圖式,天是一個(gè)穹形,地也是一個(gè)穹形,就如同心球穹，兩個(gè)穹形的間距是八萬(wàn)里。北極是“蓋笠”狀的天穹的中央，日月星辰繞之旋轉(zhuǎn)不息。蓋天說(shuō)認(rèn)為,日月星辰的出沒(méi),并非真的出沒(méi)，而只是離遠(yuǎn)了就看不見(jiàn)，離得近了，就看見(jiàn)它們照耀。據(jù)東漢學(xué)者王充解釋?zhuān)骸敖裨囀挂蝗税汛缶婊?，夜行于平地，去人十里，火光滅矣；非滅也，遠(yuǎn)使然耳。今，日西轉(zhuǎn)不復(fù)見(jiàn)，是火滅之類(lèi)也?！?/p>

1.1地球的自然表面東漢張衡渾天說(shuō),提出大地是球體,宇宙是無(wú)限的觀點(diǎn)。

§1

地球體§1

地球體渾天說(shuō)的代表作《張衡渾儀注》中說(shuō):“渾天如雞子。天體圓如彈丸﹐地如雞子中黃﹐孤居于天內(nèi)﹐天大而地小。天表里有水﹐天之包地﹐猶殼之裹黃。天地各乘氣而立﹐載水而浮。周天三百六十五度又四分度之一﹐又中分之﹐則半一百八十二度八分度之五覆地上﹐半繞地下﹐故二十八宿半見(jiàn)半隱。其兩端謂之南北極。北極乃天之中也﹐在正北﹐出地上三十六度。然則北極上規(guī)徑七十二度﹐常見(jiàn)不隱。南極天地之中也﹐在正南﹐入地三十六度。南規(guī)七十二度常伏不見(jiàn)。兩極相去一百八十二度強(qiáng)半。天轉(zhuǎn)如車(chē)轂之運(yùn)也﹐周旋無(wú)端﹐其形渾渾﹐故曰渾天?！笨梢?jiàn)渾天說(shuō)比蓋天說(shuō)進(jìn)了一步﹐它認(rèn)為天不是一個(gè)半球形﹐而是一整個(gè)圓球﹐地球在其中﹐就如雞蛋黃在雞蛋內(nèi)部一樣。不過(guò)﹐渾天說(shuō)并不認(rèn)為“天球”就是宇宙的界限﹐它認(rèn)為“天球”之外還有別的世界﹐即張衡所謂:“過(guò)此而往者﹐未之或知也。未之或知者﹐宇宙之謂也。宇之表無(wú)極﹐宙之端無(wú)窮?！?《靈憲》)公元2世紀(jì)古希臘托勒密的地心說(shuō):大地是宇宙的中心。畢達(dá)格拉斯和亞里士多德在兩千多年前就確信地球是圓的。公元前200年，才由古希臘學(xué)者埃拉托色尼量算出地球的周長(zhǎng)加以實(shí)證。中世紀(jì)西方人的地球概念模型和宇宙觀古印度人的地球概念

護(hù)持神毗瑟拿化身為大海龜，海龜?shù)挠矚け成险局鴰最^大象,大象馱著半圓形的大地，大象動(dòng)一動(dòng)便引起地震。海龜又站在作為水的象征的眼鏡蛇身上。半圓形的大地中央須彌山聳峙,日月繞山運(yùn)行,當(dāng)日頭投入山后，就呈現(xiàn)出黑暗之夜。古印度人的大地形狀概念模型——為了了解地球的形狀，讓我們由遠(yuǎn)及近地觀察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中:

地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。機(jī)艙窗口俯視大地:

地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面

——

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。結(jié)論：

地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長(zhǎng)，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。1.2地球的物理表面當(dāng)海洋靜止時(shí)，自由水面與該面上各點(diǎn)的重力方向（鉛垂線）成正交，這個(gè)面叫水準(zhǔn)面。在眾多的水準(zhǔn)面中，有一個(gè)與靜止的平均海水面相重合，并假想其穿過(guò)大陸、島嶼形成一個(gè)閉合曲面，這就是大地水準(zhǔn)面。它實(shí)際是一個(gè)起伏不平的重力等位面——地球物理表面。它所包圍的形體稱(chēng)為大地體。大地水準(zhǔn)面是地球形體的一級(jí)逼近。在測(cè)量和制圖中用旋轉(zhuǎn)橢球體來(lái)代替大地體，這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體通常稱(chēng)為地球橢球體，簡(jiǎn)稱(chēng)橢球體。

它是一個(gè)規(guī)則的數(shù)學(xué)表面，所以人們視其為地球體的數(shù)學(xué)表面，也是對(duì)地球形體的二級(jí)逼近，用于測(cè)量計(jì)算的基準(zhǔn)面。1.3地球的數(shù)學(xué)表面橢球體

三要素:

長(zhǎng)軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorabWGS[worldgeodeticsystem]84ellipsoid:a=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對(duì)

a，b，f

的具體測(cè)定就是近代大地測(cè)量的一項(xiàng)重要工作。

通過(guò)數(shù)學(xué)方法將地球橢球體擺到與大地水準(zhǔn)面最貼近的位置上，并求出兩者各點(diǎn)間的偏差，從數(shù)學(xué)上給出對(duì)地球形狀的三級(jí)逼近。對(duì)地球形狀abf測(cè)定后，還須確定大地水準(zhǔn)面與橢球體面的相對(duì)關(guān)系。即確定與局部地區(qū)大地水準(zhǔn)面符合最好的一個(gè)地球橢球體——

參考橢球體，這項(xiàng)工作就是參考橢球體定位。

由于國(guó)際上在推求年代、方法及測(cè)定的地區(qū)不同，故地球橢球體的元素值有很多種。1952年前采用海福特（Hayford）橢球體

1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)）自1980年開(kāi)始采用

GRS1975（國(guó)際大地測(cè)量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。陜西省涇陽(yáng)縣永樂(lè)鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。

地球表面上的定位問(wèn)題，是與人類(lèi)的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國(guó)防等密切相關(guān)的重大問(wèn)題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立?！?地球坐標(biāo)系與大地定位2.1坐標(biāo)系一、地理坐標(biāo)系二、平面坐標(biāo)系(高斯)三、空間直角坐標(biāo)系（WGS84）一、地理坐標(biāo)

——用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。①天文經(jīng)緯度②大地經(jīng)緯度①天文經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在大地水準(zhǔn)面上的位置，用天文經(jīng)度和天文緯度表示。天文經(jīng)度：觀測(cè)點(diǎn)天頂子午面與格林尼治天頂子午面間的兩面角。在地球上定義為本初子午面與觀測(cè)點(diǎn)之間的兩面角。天文緯度：在地球上定義為鉛垂線與赤道平面間的夾角。②

大地經(jīng)緯度：表示地面點(diǎn)在參考橢球面上的位置，用大地經(jīng)度l、大地緯度.大地經(jīng)度λ

：指參考橢球面上某點(diǎn)的大地子午面與本初子午面間的兩面角。東經(jīng)為正，西經(jīng)為負(fù)。大地緯度

：指參考橢球面上某點(diǎn)的垂直線（法線）與赤道平面的夾角。北緯為正，南緯為負(fù)。二、平面直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系2.2

中國(guó)的大地坐標(biāo)系統(tǒng)1.中國(guó)的大地坐標(biāo)系1980年以前：采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)玻爾可夫天文臺(tái)）

；1980年選用1975年國(guó)際大地測(cè)量協(xié)會(huì)推薦的參考 橢球：ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.2572.中國(guó)的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測(cè)量或?qū)Ь€測(cè)量完成，依精度不同，分為四等。

由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國(guó)各地平面控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測(cè)定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測(cè)量或三角高程測(cè)量完成。中國(guó)高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推

算，稱(chēng)為1956年黃海高程系。1987年國(guó)家測(cè)繪局公布：?jiǎn)⒂谩?985國(guó)家高程基準(zhǔn)》取代《黃海平均海水面》其比《黃海平均海水面》上升29毫米。

青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)高程控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局國(guó)家測(cè)繪局絕對(duì)高程相對(duì)高程國(guó)家水準(zhǔn)原點(diǎn)

國(guó)家測(cè)繪局GPS控制網(wǎng)國(guó)家測(cè)繪局

2.3全球定位系統(tǒng)-GPS

授時(shí)與測(cè)距導(dǎo)航系統(tǒng)/全球定位系統(tǒng)(NavigationSatelliteTimingandRanging/GlobalPositioningSystem--GPS)：是以人造衛(wèi)星為基礎(chǔ)的無(wú)線電導(dǎo)航系統(tǒng)，可提供高精度、全天候、實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位、定時(shí)及導(dǎo)航服務(wù)。

1.GPS系統(tǒng)由三個(gè)獨(dú)立的部分組成空間部分：21顆工作衛(wèi)星，3顆備用衛(wèi)星。它們?cè)诟叨?0200km的近圓形軌道上運(yùn)行，分布在六個(gè)軌道面上，軌道傾角55°，兩個(gè)軌道面之間在經(jīng)度上相隔60°，每個(gè)軌道面上布放四顆衛(wèi)星。衛(wèi)星在空間的這種配置，保障了在地球上任意地點(diǎn)，任意時(shí)刻，至少同時(shí)可見(jiàn)到四顆衛(wèi)星。地面支撐系統(tǒng)：1個(gè)主控站，3個(gè)注入站，5個(gè)監(jiān)測(cè)站。它向GPS導(dǎo)航衛(wèi)星提供一系列描述衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)及其軌道的參數(shù)；監(jiān)控衛(wèi)星沿著預(yù)定軌道運(yùn)行；保持各顆衛(wèi)星處于GPS時(shí)間系統(tǒng)及監(jiān)控衛(wèi)星上各種設(shè)備是否正常工作等。 用戶(hù)設(shè)備部分：GPS接收機(jī)——接收衛(wèi)星信號(hào)，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到接收機(jī)所在點(diǎn)位的導(dǎo)航和定位信息。通常會(huì)顯示出用戶(hù)的位置、速度和時(shí)間。還可顯示一些附加數(shù)據(jù)，如到航路點(diǎn)的距離和航向或提供圖示。2.GPS系統(tǒng)定位原理數(shù)據(jù)，組成3個(gè)方程式，就可以解出觀測(cè)點(diǎn)的位置（X,Y,Z）。考慮到衛(wèi)星的時(shí)鐘與接收機(jī)時(shí)鐘之間的誤差，實(shí)際上有4個(gè)未知數(shù)，X、Y、Z和鐘差，因而需要引入第4顆衛(wèi)星，形成4個(gè)方程式以求解，從而得到觀測(cè)點(diǎn)經(jīng)緯度和高程。

通過(guò)測(cè)量衛(wèi)星信號(hào)到達(dá)接收機(jī)的時(shí)間延遲，即可算出用戶(hù)到衛(wèi)星的距離。再根據(jù)三維坐標(biāo)中的距離公式，利用3顆衛(wèi)星的3.常用GPS測(cè)量模式

常規(guī)靜態(tài)測(cè)量：采用兩臺(tái)(或兩臺(tái)以上)GPS接收機(jī)，分別安置在一條或數(shù)條基線的兩端，同步觀測(cè)4顆以上衛(wèi)星，每時(shí)段根據(jù)基線長(zhǎng)度和測(cè)量等級(jí)觀測(cè)45分鐘以上的時(shí)間。常用于建立全球性或國(guó)家級(jí)大地控制網(wǎng)、地殼運(yùn)動(dòng)監(jiān)測(cè)網(wǎng)。

快速靜態(tài)測(cè)量：這種模式是在一個(gè)已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)數(shù)分鐘。這種模式常用于控制網(wǎng)的建立及其加密、工程測(cè)量、地籍測(cè)量等。這種方法要求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò)20km。靜態(tài)測(cè)量模式準(zhǔn)動(dòng)態(tài)測(cè)量

在一已知測(cè)站上安置一臺(tái)GPS接收機(jī)作為基準(zhǔn)站，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星。移動(dòng)站接收機(jī)在進(jìn)行初始化后依次到各待測(cè)測(cè)站，每測(cè)站觀測(cè)幾個(gè)歷元數(shù)據(jù)。這種方法不同于快速靜態(tài)，除觀測(cè)時(shí)間不一樣外，它要求移動(dòng)站在搬站過(guò)程中不能失鎖，并且需要先在已知點(diǎn)或用其它方式進(jìn)行初始化（采用有OTF功能的軟件處理時(shí)例外）。

這種模式可用于開(kāi)闊地區(qū)的加密控制測(cè)量、工程定位及碎部測(cè)量、剖面測(cè)量及線路測(cè)量等。要求在觀測(cè)時(shí)段內(nèi)確保有5顆以上衛(wèi)星可供觀測(cè)；流動(dòng)點(diǎn)與基準(zhǔn)點(diǎn)相距應(yīng)不超過(guò)20km。動(dòng)態(tài)測(cè)量模式實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)測(cè)量：DGPS和RTK

在一個(gè)已知測(cè)站上架設(shè)GPS基準(zhǔn)站接收機(jī)和數(shù)據(jù)鏈，連續(xù)跟蹤所有可見(jiàn)衛(wèi)星，并通過(guò)數(shù)據(jù)鏈向移動(dòng)站發(fā)送數(shù)據(jù)。移動(dòng)站接收機(jī)通過(guò)移動(dòng)站數(shù)據(jù)鏈接收基準(zhǔn)站發(fā)射來(lái)的數(shù)據(jù)，并進(jìn)行在機(jī)處理，從而實(shí)時(shí)得到移動(dòng)站的高精度位置。DGPS通常叫做實(shí)時(shí)差分測(cè)量，精度為亞米級(jí)到米級(jí)，這種方式是基準(zhǔn)站將基準(zhǔn)站上測(cè)量得到的RTCM數(shù)據(jù)通過(guò)數(shù)據(jù)鏈傳輸?shù)揭苿?dòng)站，移動(dòng)站接收到RTCM數(shù)據(jù)后，自動(dòng)進(jìn)行解算，得到經(jīng)差分改正以后的坐標(biāo)。RTK

則是以載波相位觀測(cè)量為根據(jù)的實(shí)時(shí)差分GPS測(cè)量，它是GPS測(cè)量技術(shù)發(fā)展中的一個(gè)新突破。它的工作思路與DGPS相似，只不過(guò)是基準(zhǔn)站將觀測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)送到移動(dòng)站（而不是發(fā)射RTCM數(shù)據(jù)），移動(dòng)站接收機(jī)再采用更先進(jìn)的在機(jī)處理方法進(jìn)行處理，從而得到精度比DGPS高得多的實(shí)時(shí)測(cè)量結(jié)果。這種方法的精度一般為2cm左右。3.1地圖投影的概念3.2地圖的比例尺3.3地圖投影變形3.4地圖投影分類(lèi)§3地圖投影

3.1地圖投影的概念

地球橢球體表面是不可展曲面，要將曲面上的客觀事物表示在有限的平面圖紙上，必須經(jīng)過(guò)由曲面到平面的轉(zhuǎn)換。地圖投影所依據(jù)的是地球橢球面（或球面），因此把地球橢球面（或球面）為投影的原面；將地球表面的點(diǎn)、線、面描寫(xiě)即投影于其上的承受面，叫做投影面。

地圖投影的原理:是在原面與投影面之間建立點(diǎn)、線、面的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于地圖通常是表示在平面上，因而投影面必須是平面或可展曲面。在可展曲面中可作為投影面的，只有圓柱和圓錐面。

一、幾何透視法建立在透視學(xué)原理基礎(chǔ)上。小區(qū)域范圍：垂直投影較大區(qū)域范圍：半球、全球

幾何透視投影的不足幾何透視法只能解決一些簡(jiǎn)單的由球面到平面的變換問(wèn)題，具有很大的局限性，而且難于糾正投影變形，精度較低。

二、數(shù)學(xué)解析法在地球橢球面與投影面之間建立點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)數(shù)學(xué)的方法確定經(jīng)緯線交點(diǎn)位置的一種投影方法。多數(shù)的數(shù)學(xué)解析法是在透視投影的基礎(chǔ)上，建立球面與投影面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系的，因此兩種投影方法有一定聯(lián)系。x=f1(j,l)

y=f2(j

,l)上式是地圖投影的基本公式，根據(jù)投影的性質(zhì)和條件的不同，投影公式的具體形式是多種多樣的。三、地圖投影的研究對(duì)象和基本任務(wù)：研究對(duì)象：研究將球面描寫(xiě)到地圖平面上的理論、方法及應(yīng)用，以及地圖投影的變形規(guī)律。不同地圖投影之間的轉(zhuǎn)換和圖上量算等問(wèn)題。基本任務(wù)：將制圖區(qū)域（曲面）按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)換為地圖平面。四、地圖投影的意義地圖投影是地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，起著基礎(chǔ)和骨架作用，正是地圖投影才使得地圖具有嚴(yán)密的科學(xué)性和精確的可量測(cè)性，這是地圖區(qū)別與照片、風(fēng)景畫(huà)等的重要特征。地圖投影系統(tǒng)是實(shí)現(xiàn)空間信息定位的基礎(chǔ)，是地球空間數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)框架，是空間信息可視化的基礎(chǔ)。

3.2地圖的比例尺一、地圖比例尺內(nèi)涵根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺

：

在投影面上沒(méi)有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。二、地圖比例尺的表示

①

數(shù)字式比例尺

：用阿拉伯?dāng)?shù)字表示，如1:10000或簡(jiǎn)寫(xiě)為1：1萬(wàn)也可以用分?jǐn)?shù)表示1/10000。

②文字式比例尺：用文字注解的方式表示，

如百萬(wàn)分之一或“圖上1cm相當(dāng)實(shí)地10km”。注意：表示比例尺的長(zhǎng)度單位，在地圖上通常以cm計(jì)，在實(shí)地以m或km記，涉及航海方面的地圖，實(shí)地距離則常常以nmail（海里）計(jì)。

③圖解式比例尺：用圖解加注記的形式表示。

直線比例尺 斜分比例尺（微分比例尺） 復(fù)式比例尺（經(jīng)緯線比例尺）

1050102030405023.8m18.9m

④特殊比例尺

無(wú)級(jí)別比例尺（無(wú)極縮放）三、國(guó)家基本地圖的比例尺系列數(shù)字比例尺文字比例尺圖上1cm相當(dāng)實(shí)地km數(shù)1：10000一萬(wàn)分之一0.11：25000二萬(wàn)五千分之一0.251：50000五萬(wàn)分之一0.51：100000十萬(wàn)分之一11：250000二十五萬(wàn)分之一2.51：500000五十萬(wàn)分之一51：1000000百萬(wàn)分之一10四、地圖比例尺的作用比例尺決定著地圖圖形的大小反映地圖的測(cè)量精度：比例尺越大，地圖的量測(cè)精度越高。比例尺精度：圖上0.1mm的地面水平長(zhǎng)度。例：測(cè)制1：1萬(wàn)地形圖時(shí)，實(shí)際水平長(zhǎng)度的測(cè)量精度只有1m，即小于1m地物就不能正確表示。

問(wèn)題：實(shí)地長(zhǎng)度準(zhǔn)確到5m，則地圖比例尺不用小于？比例尺決定著地圖內(nèi)容的詳細(xì)程度3.3地圖投影變形一、投影變形的概念使用了地圖投影的地圖，雖然可以將地球表面完整地表示在平面上，但是這種“完整”，是通過(guò)投影范圍內(nèi)某一區(qū)域均勻拉伸和對(duì)另一區(qū)域的均勻縮小而實(shí)現(xiàn)的。地圖投影變形是不可避免的，但是在掌握了地圖投影的變形性質(zhì)和規(guī)律之后，就可以對(duì)投影變形加以控制，以滿(mǎn)足使用地圖的要求。

二、變形橢圓 取地面上一個(gè)微分圓（小到可忽略地球曲面的影響，把它當(dāng)作平面看待），它投影到平面上通常會(huì)變?yōu)闄E圓，通過(guò)對(duì)這個(gè)橢圓的研究，分析地圖投影的變形狀況。這種圖解方法就叫變形橢圓。為經(jīng)線長(zhǎng)度比；為緯線長(zhǎng)度比微小圓→變形橢圓

該方程證明:地球面上的微小圓，投影后通常會(huì)變?yōu)闄E圓，即：以O(shè)'為原點(diǎn)，以相交成q角的兩共軛直徑為坐標(biāo)軸的橢圓方程式。代入：X2+Y2=1，得主方向：一組正交方向投影后仍然正交，稱(chēng)此兩方向?yàn)橹鞣较?。長(zhǎng)軸方向（變形比極大值）a短軸方向（變形比極小值）b經(jīng)線方向長(zhǎng)度變形比m緯線方向長(zhǎng)度變形比n據(jù)阿波隆尼定理，有m2+n2=a2+b2m·n·sinθ=a·b變形橢圓表示地圖投影變形方法變形橢圓各方向上的半徑長(zhǎng)表明長(zhǎng)度變化；變形橢圓的面積表明面積變化；變形橢圓的扁平表示角度變形的大小。一個(gè)變形橢圓能同時(shí)顯示某點(diǎn)的各種變形，一組變形橢圓能揭示全制圖區(qū)域變形變化規(guī)律。三、投影變形的性質(zhì)和大小

長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形：投影面上一微小線段（變形橢圓半徑）和球面上相應(yīng)微小線段（球面上微小圓半徑，已按規(guī)定的比例縮?。┲取?/p>

m表示長(zhǎng)度比，Vm表示長(zhǎng)度變形

長(zhǎng)度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。=0不變>0變大<0變小

面積比和面積變形：

投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。

P

表示面積比

Vp

表示面積變形

P=a·b=m

·

n(q=90)

P=m

·

n

·sinq

(q≠90)面積比是變量，隨位置的不同而變化。=0不變>0變大<0變小角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱(chēng)為角度變形。設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A

′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x

′、y

′)將此式兩邊各減和加

tana

即：由上面兩式，可以推演出：

顯然當(dāng)（a+a

′）=90°時(shí)，右端取最大值，則最大方向變形：以w表示角度最大變形：BB`μ`μ若已知

m,n,q，則：＝3.4地圖投影分類(lèi)

地圖投影的種類(lèi)已很多，當(dāng)前一般按照兩種標(biāo)志分類(lèi)：一是按投影的內(nèi)在條件——投影的變形性質(zhì)分類(lèi)；一是按投影的外在條件——按投影的構(gòu)成方法。

一、按投影變形性質(zhì)分類(lèi)名稱(chēng)概念性質(zhì)等角投影在投影面上任意方向線的夾角同地球面相應(yīng)的夾角相等。等面積投影投影面上的有限面積與地球面上相應(yīng)面積相等。任意投影即不等角又不等面積的投影。

等角投影:投影面上某點(diǎn)的任意兩方向線夾角與橢球面上相應(yīng)兩線段夾角相等，即角度變形為零ω=0（或a=b，m=n）。

等積投影:投影面與橢球面上相應(yīng)區(qū)域的面積相等即面積變形為零Vp=0（或

P=1，a=1/b）。

任意投影:投影圖上，長(zhǎng)度、面積和角度都有變形它既不等角又不等積。其中，等距投影是在特定方向上沒(méi)有長(zhǎng)度變形的任意投影（m=1）。等積投影、等角投影、等距投影形狀不變面積不變特定方向距離不變二、按投影的構(gòu)成方法分類(lèi)幾何投影：把地球橢圓面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面而得到的，根據(jù)幾何面的形狀，可進(jìn)一步分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。

條件投影：根據(jù)制圖的某些特定要求，選用合適的投影條件，利用數(shù)學(xué)解析法確定平面球面之間對(duì)應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。

偽方位投影：在方位投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱(chēng)中央經(jīng)線的曲線。

偽圓柱投影：在圓柱投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱(chēng)中央經(jīng)線的曲線。

偽圓錐投影：在圓錐投影基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無(wú)等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱(chēng)中央經(jīng)線的曲線。

多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開(kāi)展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱(chēng)于中央經(jīng)線的曲線?！?常用的幾類(lèi)地圖投影4.1方位投影及其應(yīng)用4.2圓柱投影及其應(yīng)用4.3圓錐投影及其應(yīng)用4.4高斯－克呂格投影及其應(yīng)用4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類(lèi)二、等面積方位投影三、等距離方位投影四、等角方位投影五、方位投影的分析和應(yīng)用4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類(lèi)1、定義：假設(shè)一個(gè)平面與地球面相切或相割，根據(jù)某種條件（如等面積）將地球上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到該平面上而得到。4.1方位投影及其應(yīng)用一、方位投影的概念、分類(lèi)2、分類(lèi)：（1）根據(jù)球面與投影面的相對(duì)部位不同，方位投影有正軸投影、橫軸投影和斜軸投影。還可以進(jìn)一步分為切方位投影和割方位投影。

一、方位投影的概念、分類(lèi)2、分類(lèi)：（2）根據(jù)投影的變形性質(zhì)，方位投影有等角投影、等面積投影和任意投影（其中主要是等距離投影）。二、等面積方位投影保持投影前后的面積相等等面積方位投影后面積沒(méi)有變形，等高圈長(zhǎng)度比都大于1，垂直圈長(zhǎng)度比都小于1。三、等距離方位投影等距離方位投影的垂直圈沒(méi)有長(zhǎng)度變形，等高圈長(zhǎng)度比和面積比都放大。四、等角方位投影等角正軸切方位投影特點(diǎn)：1.極點(diǎn)為中心；2.緯線為同心圓；3.經(jīng)線為輻射的直線。4.中心部分變形較小，向外變形逐漸增大。用于編繪兩極地區(qū)國(guó)際１：１００萬(wàn)地形圖。五、方位投影的應(yīng)用由于各種方位投影具有不同的特點(diǎn)，因而各有不同的用途，下面介紹一些實(shí)例：等角方位投影制作較大區(qū)域的地圖、廣播衛(wèi)星、軍事等面積方位投影近似圓形地圖的區(qū)域圖：普通地圖、政治形勢(shì)圖；極區(qū)地圖；赤道附近圓形區(qū)域地圖等距離方位投影制作圓形區(qū)域地圖：普通地圖、政區(qū)圖、自然地理圖4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類(lèi)二、等角正切圓柱投影（墨卡托投影）三、等面積和等距離圓柱投影四、圓柱投影的分析和應(yīng)用4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類(lèi)1.概念以圓柱面為投影面，按某種投影條件，將地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影于圓柱面上，然后，沿圓柱面的某一母線切開(kāi)展成平面的一種投影。4.2圓柱投影及其應(yīng)用一、圓柱投影的概念、種類(lèi)1.分類(lèi)正軸、橫軸和斜軸等角、等面積和任意投影

4.2圓柱投影及其應(yīng)用二、等角正切圓柱投影（墨卡托投影）赤道沒(méi)有變形，隨著緯度升高，變形迅速增大。適合制作沿緯線延伸地圖的地圖等角航線：地球面上一條與所有經(jīng)線相交成等方位角的曲線。請(qǐng)思考“等角航線”與“大圓航線”投影之后是什么樣子的？？？4.2圓柱投影及其應(yīng)用三、等面積和等距離圓柱投影4.2圓柱投影及其應(yīng)用四、圓柱投影的應(yīng)用等角航線高斯－克呂格投影4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、種類(lèi)二、等角正圓錐投影三、等積圓錐投影和等距圓錐投影四、圓錐投影的分析和應(yīng)用4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、種類(lèi)1.概念：圓錐投影是假定的以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線間開(kāi)展為平面而成，當(dāng)圓錐面與地球相切時(shí)，稱(chēng)為切圓錐投影，當(dāng)圓錐面與地球相割時(shí)，稱(chēng)為割圓錐投影。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用一、圓錐投影的概念、分類(lèi)2.分類(lèi)：按圓錐面與地球相對(duì)位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實(shí)際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用二、等角正圓錐投影等角圓錐投影的條件是在地圖上沒(méi)有角度變形。等角圓錐投影：等角切圓錐投影、等角割圓錐投影。4.3圓錐投影及其應(yīng)用三、等積圓錐投影和等距圓錐投影等積圓錐投影的條件：地圖上面積比不變

等距圓錐投影的條件：經(jīng)線投影后保持正長(zhǎng)，即經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比是1，沒(méi)有變形。

4.3圓錐投影及其應(yīng)用四、圓錐投影的分析和應(yīng)用圓錐投影的特點(diǎn)：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開(kāi)標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)變形越大。該投影適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。圓錐投影和方位、圓柱投影之間的關(guān)系

方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例，圓錐體的頂角越大就越按近方位投影。當(dāng)圓錐頂角為180度時(shí)，就是方位投影，相反如果圓錐體的頂角小到0度，則圓錐就變成了圓柱。就得到了圓柱投影。圓錐、圓柱和方位投影的經(jīng)緯線形式雖不相同，但投影變形的規(guī)律無(wú)論是正軸、橫軸和斜軸，變形的形式是相似的。變形的性質(zhì)都能從緯線投影上的間距表現(xiàn)出來(lái)。判別以上投影的性質(zhì)時(shí)，卻可根據(jù)緯線間距的增大或減小和相等的情況來(lái)確定。1.

概念：

等角橫切橢圓柱投影是以橢圓柱作為投影面，使地球橢球體的某條經(jīng)線與橢圓柱相切，然后按照等角條件，將中央經(jīng)線東西兩側(cè)各一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到圓柱面上，再將其展開(kāi)平面而成。

該投影由德國(guó)高斯于19世紀(jì)20年代擬定，經(jīng)克呂格1912年對(duì)投影公式加以補(bǔ)充，稱(chēng)為高斯－克呂格投影。4.4高斯－克呂格投影及其應(yīng)用變形性質(zhì)：等角投影幾何概念：橫切橢圓柱投影2.經(jīng)緯線特征

中央經(jīng)線和赤道為互相垂直的直線，其他經(jīng)線均為凹向并對(duì)稱(chēng)于中央經(jīng)線的曲線，其他緯線均為以赤道為對(duì)稱(chēng)軸的向兩極彎曲的曲線，經(jīng)緯線成直角相交。3.變形分布規(guī)律：

①中央經(jīng)線沒(méi)有長(zhǎng)度變形。其余經(jīng)線長(zhǎng)度比均大于1，距中央經(jīng)線愈遠(yuǎn)變形愈大；

②在同一條經(jīng)線上，長(zhǎng)度變形隨緯度的降低而增大；

③在同一條緯線上，長(zhǎng)度變形隨距中央經(jīng)線距離的增大而增大。最大變形在邊緣經(jīng)線與赤道的交點(diǎn)上；

投影帶的劃分為了保證地圖的精度，采用分帶投影方法，將投影范圍的東西界加以限制，使其變形不超過(guò)一定的限度，把許多帶結(jié)合起來(lái)，可以為整個(gè)區(qū)域的投影6°帶是從0°經(jīng)線起，自西向東；我國(guó)在東經(jīng)72°—136°之間，包括11個(gè)帶，即13—23帶。3°帶，是從東經(jīng)1°30’的經(jīng)線始。全球?yàn)?20個(gè)帶。上圖為6°與3°帶的中經(jīng)及帶號(hào)的關(guān)系。

中國(guó)國(guó)家基本比例尺地形圖采用高斯-克呂格分帶投影：

1∶1萬(wàn)（3°分帶）

1∶2.5萬(wàn)、1∶5萬(wàn)、1∶10萬(wàn)、1∶25萬(wàn)、1∶50萬(wàn)（6°分帶）5.坐標(biāo)規(guī)定

中經(jīng)為X軸，北正；赤道為Y軸，東正；交點(diǎn)為原點(diǎn)。我國(guó)在北半球，X皆為正。Y有一半為負(fù)。避免Y為負(fù)，將各帶的Y值加500公里，即縱軸西移500公里。由于各帶投影完全相同，為區(qū)別不同帶的點(diǎn)，Y前需再加帶號(hào)，稱(chēng)為通用坐標(biāo)。6.

坐標(biāo)網(wǎng)(1)經(jīng)緯線網(wǎng)

經(jīng)線和緯線構(gòu)成的坐標(biāo)網(wǎng)，又稱(chēng)地理坐標(biāo)網(wǎng)。

作用：控制和確定地表各點(diǎn)和整體地形的實(shí)地位置。用于分析和計(jì)算投影變形；確定比例尺、量算不可缺少。

(2)方里網(wǎng)由平行于投影坐標(biāo)軸的兩組平行線所構(gòu)成的方格網(wǎng)。又稱(chēng)直角坐標(biāo)網(wǎng)。

作用：大比例尺地圖上，方便展繪點(diǎn)位和讀圖上地理坐標(biāo)

表示：1：1萬(wàn)—1：25萬(wàn)地圖上繪出方里網(wǎng)

比例尺密度1:1萬(wàn)1:2.5萬(wàn)1:5萬(wàn)1:10萬(wàn)1:25萬(wàn)圖上距離（cm)

10

4

2

2

4實(shí)地距離(km)

1

1

1

2

10§5地圖數(shù)學(xué)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)和地圖投影變換

5.1地圖定向5.2地圖投影的識(shí)別和選擇5.3地圖投影的變換5.1地圖定向1.真北方向2.磁北方向3.坐標(biāo)北方向4.三北方向圖真子午線磁子午線坐標(biāo)縱線磁偏角子午線收斂角磁坐偏角5.2地圖投影的選擇和識(shí)別1.地圖投影的選擇（1）選擇投影的一般原則經(jīng)緯網(wǎng)形狀簡(jiǎn)單制圖區(qū)域內(nèi)變形較小，且分布均勻前蘇聯(lián)科學(xué)家契比雪夫說(shuō)過(guò)：能使制圖區(qū)域邊界保持同一長(zhǎng)度比的投影是最合適的投影。（2）影響投影選擇的基本因素地圖內(nèi)容及其用途制圖區(qū)域大小制圖區(qū)形狀和地理位置其它因素：出版方式、資料情況2.地圖投影的判別（1）通過(guò)判別經(jīng)緯網(wǎng)的形狀確定投影系統(tǒng)（2）根據(jù)經(jīng)緯距的變化規(guī)律確定投影變形性質(zhì)（3）通過(guò)簡(jiǎn)單的量算確定投影參數(shù)（4）間接判斷：從投影選擇的角度考慮經(jīng)緯網(wǎng)形狀判斷注意事項(xiàng)直線與曲線圓弧與任意曲線圓弧與圓同心圓與同軸圓變形性質(zhì)確定之前提同緯度帶內(nèi)梯形面積不等的投影肯定不是等積投影；經(jīng)緯網(wǎng)不是處處正交的投影肯定不是等角投影；投影為直線的經(jīng)線（中央經(jīng)線）上緯距不等的投影肯定不是等距投影。另外，量算時(shí)應(yīng)考慮制圖和印刷誤差

研究從一種地圖投影變換為另一