確定磁場(chǎng)最小面積地方法

實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案確定磁場(chǎng)最小面積的方法電磁場(chǎng)容歷來是高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。近年來求磁場(chǎng)的問題屢屢成為高考中的熱點(diǎn)，而這類問題單純從物理的角度又比較難求解，下面介紹幾種數(shù)學(xué)方法。一、幾何法例1. 一質(zhì)量為 m、電荷量為+q的粒子以速度 ，從O點(diǎn)沿y軸向射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)域后，從 b處穿過x軸，速度方向與 x軸向的夾角為 30°，同時(shí)進(jìn)入場(chǎng)強(qiáng)為E、方向沿與 x軸負(fù)方向成 60°角斜向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，通過了 b點(diǎn)正下方的 c點(diǎn)，如圖 1所示，粒子的重力不計(jì)，試求：1）圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積；2）c點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。圖1解析：（1）先找圓心，過 b點(diǎn)逆著速度 v的方向作直線 bd，交y軸于d，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于 Ob連線上，距 O點(diǎn)距離為圓的半徑，據(jù)牛頓第二定律有：①解得 ②過圓心作 bd的垂線，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖 2所示：要使磁場(chǎng)的區(qū)域有最小面積，則Oa應(yīng)為磁場(chǎng)區(qū)域的直徑，由幾何關(guān)系知：精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圖2③由②③得所以圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為：2）帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，由于速度方向與電場(chǎng)力方向垂直，故做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成知識(shí)有：④⑤而 ⑥聯(lián)立④⑤⑥解得二、參數(shù)方法例2. 在xOy平面有許多電子（質(zhì)量為 m、電荷量為 e），從坐標(biāo)原點(diǎn) O不斷地以相同的速率 沿不同方向射入第一象限，如圖 3所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于 平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使這些電子穿過磁場(chǎng)區(qū)域后都能平行于 x軸向x軸正向運(yùn)動(dòng)。求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積。圖3解析：由題意可知，電子是以一定速度從原點(diǎn) O沿任意方向射入第一象限時(shí)，先考察速度沿+y方向的電子，其運(yùn)動(dòng)軌跡是圓心在 x軸上的A1點(diǎn)、半徑為 的圓。該電子沿圓弧OCP運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn) P時(shí)即朝x軸的正向，可見這段圓弧就是符合條件磁場(chǎng)的上邊界，見圖5。當(dāng)電子速度方向與 x軸正向成角度 時(shí)，作出軌跡圖 4，當(dāng)電子達(dá)到磁場(chǎng)邊界時(shí)，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案速度方向必須平行于 x軸方向，設(shè)邊界任一點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，由圖4可知：圖4，消去參數(shù) 得：可以看出隨著 的變化，S的軌跡是圓心為（ 0，R），半徑為 R的圓，即是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。上下邊界就構(gòu)成一個(gè)葉片形磁場(chǎng)區(qū)域。如圖 5所示。則符合條件的磁場(chǎng)最小面積為扇形面積減去等腰直角三角形面積的 2倍。圖5帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)之磁場(chǎng)最小圍問題剖析省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué) 風(fēng)華近年來在考題中多次出現(xiàn)求磁場(chǎng)的最小圍問題，這類題對(duì)學(xué)生的平面幾何知識(shí)與物理知識(shí)的綜合運(yùn)用能力要求較高。其難點(diǎn)在于帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡不是完整的圓，其進(jìn)入邊界未知的磁場(chǎng)后一般只運(yùn)動(dòng)一段圓弧后就飛出磁場(chǎng)邊界，運(yùn)動(dòng)過程中的臨界點(diǎn)（如運(yùn)動(dòng)形式的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、軌跡的切點(diǎn)、磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)等）難以確定。下面我們以實(shí)例對(duì)此類問題進(jìn)行分析。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案一、磁場(chǎng)圍為圓形例1 一質(zhì)量為 、帶電量為 的粒子以速度 從O點(diǎn)沿 軸向射入磁感強(qiáng)度為的一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直于紙面，粒子飛出磁場(chǎng)區(qū)后，從 處穿過 軸，速度方向與 軸正向夾角為 30°，如圖1所示（粒子重力忽略不計(jì)）。試求：（1）圓形磁場(chǎng)區(qū)的最小面積；（2）粒子從 O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)到達(dá) 點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間；（3） 點(diǎn)的坐標(biāo)。解析：（1）由題可知，粒子不可能直接由 Ｏ點(diǎn)經(jīng)半個(gè)圓周偏轉(zhuǎn)到 點(diǎn)，其必在圓周運(yùn)動(dòng)不到半圈時(shí)離開磁場(chǎng)區(qū)域后沿直線運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)?？芍?，其離開磁場(chǎng)時(shí)的臨界點(diǎn)與Ｏ點(diǎn)都在圓周上，到圓心的距離必相等。 如圖2，過 點(diǎn)逆著速度 的方向作虛線，與軸相交，由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的半徑一定，且圓心位于 軸上，距O點(diǎn)距離和到虛線上 點(diǎn)垂直距離相等的 點(diǎn)即為圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，圓的半徑 。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由 ，得 。弦長 為： ，要使圓形磁場(chǎng)區(qū)域面積最小，半徑應(yīng)為 的一半，即： ，面積（2）粒子運(yùn)動(dòng)的圓心角為 1200，時(shí)間 。（3） 距離 ，故 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ，0）。點(diǎn)評(píng)：此題關(guān)鍵是要找到圓心和粒子射入、射出磁場(chǎng)邊界的臨界點(diǎn)，注意圓心必在兩臨界點(diǎn)速度垂線的交點(diǎn)上且圓心到這兩臨界點(diǎn)的距離相等；還要明確所求最小圓形磁場(chǎng)的直徑等于粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弦長。二、磁場(chǎng)圍為矩形例2 如圖3所示，直角坐標(biāo)系 第一象限的區(qū)域存在沿 軸向的勻強(qiáng)電場(chǎng)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為 ，電量為 的電子從第一象限的某點(diǎn) （ ， ）以初速度 沿 軸的負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過 軸上的點(diǎn) （ ，0）進(jìn)入第四象限，先做勻速直線運(yùn)動(dòng)然后進(jìn)入垂直紙面的矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)左邊界和上邊界分別與 軸、 軸重合，電子偏轉(zhuǎn)后恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn) O，并沿 軸的向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)電子的重力。求精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（1）電子經(jīng)過 點(diǎn)的速度 ；（2）該勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度 和磁場(chǎng)的最小面積 。解析：（1）電子從 點(diǎn)開始在電場(chǎng)力作用下作類平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到 點(diǎn)，可知豎直方向： ，水平方向： 。解得 。而 ，所以電子經(jīng)過 點(diǎn)時(shí)的速度為：，設(shè) 與 方向的夾角為θ，可知 ，所以θ＝300。（2）如圖4，電子以與 成30°進(jìn)入第四象限后先沿 做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)恰好以沿 軸向上的速度經(jīng)過 Ｏ點(diǎn)?？芍獔A周運(yùn)動(dòng)的圓心 一定在Ｘ軸上，且 點(diǎn)