第二章薛定諤方程

第二章薛定諤方程（4學(xué)時(shí)）

(Schr?dingerEquation)§2.1薛定諤得出的波動(dòng)方程§2.2無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子§2.3勢(shì)壘穿透§2.4諧振子

一、波函數(shù)§2.1薛定諤得出的波動(dòng)方程(WaveequationofSchr?dinger)

由于波函數(shù)ψ

的概率解釋，ψ可以相差一個(gè)任意常數(shù)因子A，即ψ和Aψ代表相同的狀態(tài)。這一點(diǎn)與經(jīng)典力學(xué)有本質(zhì)區(qū)別。

微觀粒子具有波粒二象性,它的狀態(tài)用波函數(shù)

描述。波和粒子性的關(guān)系為：波的強(qiáng)度正比于粒子到達(dá)的概率,t

時(shí)刻在空間(x,y,z)點(diǎn)附近的體積元dV

內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率正比于|ψ(x,y,z,t)|2dV，其中

ψ(x,y,z,t)為波函數(shù)，|ψ(x,y,z,t)|2為概率密度。所以已知

是未歸一化的波函數(shù)，則令ψ=Aφ，它們描述同一個(gè)狀態(tài)，有

由于波函數(shù)的概率解釋,粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1，所以ψ

應(yīng)該滿足波函數(shù)的歸一化條件：波函數(shù)的物理意義：ψ2dV－在t

時(shí)刻粒子出現(xiàn)在(x,y,z)點(diǎn)附近dV

體積元內(nèi)出現(xiàn)的概率。－在t

時(shí)刻粒子出現(xiàn)在V

體積內(nèi)的概率。ψ2－在t

時(shí)刻粒子出現(xiàn)在(x,y,z)點(diǎn)處單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率密度。二、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：

由于微觀粒子在空間出現(xiàn)的概率必須單值、連續(xù)、有限的，所以要求波函數(shù)ψ單值、連續(xù)、有限的,這稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。不滿足這些條件的函數(shù)沒(méi)有物理意義，不代表物理實(shí)在。在空間很小的區(qū)域，,內(nèi)，波函數(shù)可視為不變，粒子在dV=dxdydz內(nèi)出現(xiàn)的概率,正比于和dV。設(shè)歸一化因子為A，則歸一化的波函數(shù)為計(jì)算積分得：則歸一化的波函數(shù)為:例：將波函數(shù)歸一化。

在經(jīng)典力學(xué)中，物體的運(yùn)動(dòng)滿足牛頓定律，它給出了物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。三、薛定諤方程（非相對(duì)論）：在量子力學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用薛定諤方程描述。所謂微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,也就是波函數(shù)ψ隨時(shí)間和空間的變化規(guī)律。ψ滿足的方程，薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，在量子力學(xué)中的地位就相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中牛頓方程的地位。問(wèn)題的提出：德拜:問(wèn)他的學(xué)生薛定諤能不能講一講DeBroglie的

那篇學(xué)位論文呢？一月以后：薛定諤向大家介紹了德布羅意的論文。德拜提醒薛定諤:“對(duì)于波，應(yīng)該有一個(gè)波動(dòng)方程”瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)物理討論會(huì)（1926）德拜薛定諤

。

薛定諤（1926）提出了非相對(duì)論性的薛定諤方程：狄拉克（1928）提出了相對(duì)論性的狄拉克方程，它們是量子力學(xué)的基本方程，二人分享了1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1.一維自由粒子的薛定諤方程設(shè)粒子沿x方向運(yùn)動(dòng),波函數(shù)為對(duì)x求二階偏導(dǎo)對(duì)t求一階偏導(dǎo)（1）（2）由(2)式可得代入(1)式可得薛定諤方程由2.勢(shì)場(chǎng)中一維粒子的一般薛定諤方程勢(shì)場(chǎng)中粒子能量（3）由(2)式可得（4）由(1)式可得（5）將(4),(5)代入(3)可得勢(shì)場(chǎng)中一維粒子一般薛定諤方程物理啟示:定義能量算符,動(dòng)量算符和坐標(biāo)算符（1）（2）對(duì)一維情況有：這個(gè)方程稱為含時(shí)薛定諤方程，式中波函數(shù)是時(shí)空點(diǎn)的函數(shù)Ψ=Ψ(x,t)，U(x,t)是粒子在場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)。3.勢(shì)場(chǎng)中三維粒子的薛定諤方程將勢(shì)場(chǎng)中一維粒子的一般薛定諤方程推廣到三維情況引入拉普拉斯算符上式寫(xiě)成引入哈密頓算符可得一般形式的薛定諤方程4.定態(tài)薛定諤方程將上式代入一般薛定諤方程并除以上式得令：得：由于指數(shù)只能是無(wú)量綱的數(shù)，所以E必定具有能量的量綱，即以能量的單位J為單位。條件：勢(shì)能函數(shù)U=U(x,y,z)不隨時(shí)間變化,則波函數(shù)可以分離變量,即表示成令：得：即定態(tài)薛定諤方程：解出定態(tài)波函數(shù)

后可得總波函數(shù)為：

概率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)質(zhì)量為m（不考慮相對(duì)論效應(yīng)）的粒子在勢(shì)能為U的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，有一組與粒子穩(wěn)定態(tài)相對(duì)應(yīng)，這波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程。定態(tài)薛定諤方程每一個(gè)解，即一組的每一個(gè),表示粒子的一個(gè)定態(tài)。這個(gè)解對(duì)應(yīng)的常數(shù)E就是這個(gè)定態(tài)具有的能量，稱為本征值，相應(yīng)的函數(shù)叫本征波函數(shù)。利用薛定諤方程，再加上波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件，可以“自然地”得到微觀粒子的重要特征—量子化結(jié)果,而不須象普朗克假設(shè)那樣強(qiáng)制假定量子化。薛定諤方程的結(jié)果，已被無(wú)數(shù)實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。定態(tài)薛定諤方程的意義：討論其中的系數(shù)為復(fù)數(shù)，它們模平方是在對(duì)應(yīng)態(tài)粒子出現(xiàn)的概率。即它們滿足：5、狀態(tài)疊加原理：如果等（或簡(jiǎn)寫(xiě)為）都是體系的可能狀態(tài)或稱基矢，那么，它們的線性疊加態(tài)也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。6、力學(xué)量算符

量子力學(xué)中，粒子出現(xiàn)具有概率性，因而帶來(lái)量子力學(xué)的概率性或不確定性，與經(jīng)典力學(xué)不同，量子力學(xué)的力學(xué)量是算符，而不是常規(guī)量。1)力學(xué)量算符的本征方程、本征值和本征態(tài)：如能量算符記為哈密頓算符對(duì)每個(gè)算符都有對(duì)應(yīng)的本征方程:稱為能量算符的本征方程它表示當(dāng)作用在波函數(shù)上以后，得到一個(gè)新的波函數(shù)，它與只差一個(gè)常數(shù)因子.類似地，若，則是的本征態(tài)，處在態(tài)的粒子有確定的動(dòng)量，是對(duì)應(yīng)的本征值。2)、力學(xué)量算符的平均值：當(dāng)粒子處在某力學(xué)量的非本征態(tài)時(shí)，則實(shí)驗(yàn)測(cè)量該力學(xué)量時(shí)，其值是不確定的，如粒子處在的非本征態(tài)，則測(cè)量粒子的能量得不到一個(gè)確定的值。

能量本征方程表示的物理意義是，當(dāng)粒子處在態(tài)時(shí)，則實(shí)驗(yàn)測(cè)量該粒子有確定的能量。我們稱為能量算符的本征態(tài)，為的對(duì)應(yīng)態(tài)的本征值。設(shè)力學(xué)量算符平均值:對(duì)一般的力學(xué)量F，有

其中是的本征態(tài)。將矢量按基矢展開(kāi).我們測(cè)量概率正是疊加態(tài)中本征態(tài)出現(xiàn)的概率.因此，平均值

這一表示說(shuō)明，當(dāng)粒子處在態(tài)，粒子是以不同的概率時(shí)而處在，時(shí)而處在,···各個(gè)本征態(tài)，而態(tài)正是以不同的概率出現(xiàn)各個(gè)本征態(tài)的疊加態(tài)。具有正交歸一性1n=m,0n=m3)、力學(xué)量算符的厄米性：實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的力學(xué)量應(yīng)為實(shí)數(shù)，即本征值應(yīng)為實(shí)數(shù)，因而平均值也是實(shí)數(shù).這就要求力學(xué)量算符必須是厄米的。實(shí)際上，由分別以和乘以以上兩式，再積分則有:一般定義是厄米的，是滿足

4)、力學(xué)量算符的對(duì)易關(guān)系：如果,算符、，滿足條件或記為

其中是任意波函數(shù)則、稱為對(duì)易算符。此條件下，當(dāng)粒子處在的本征態(tài)，則也是的本征態(tài).物理上解釋為，當(dāng)粒子處在、共同的本征態(tài)中，、兩力學(xué)量可以同時(shí)確定，實(shí)驗(yàn)?zāi)芡瑫r(shí)測(cè)量出確定的，的值

g、f

。反之，若例如：因此x和px不可能同時(shí)測(cè)定。則和不可對(duì)易，此時(shí)、無(wú)共同本征態(tài)和不可能同時(shí)測(cè)定，不確定原理關(guān)系式正是描述這一物理現(xiàn)象的。于是有解：本征方程Px是動(dòng)量本征值。所以例1.求動(dòng)量的x分量的本征函數(shù)C為積分常數(shù)。若粒子位置不受限制，則Px可以取任何實(shí)數(shù)值,是連續(xù)變化的。顯然解：對(duì)于一維自由粒子本征方程為相應(yīng)的能量例2：求一維自由粒子的能量本征態(tài)?？梢匀〔粸樨?fù)的一切實(shí)數(shù)值。其解為例3：以二能級(jí)原子模型為例，說(shuō)明量子力學(xué)中原子定態(tài)和迭加態(tài)概念。如果原子處在疊加態(tài),在疊加態(tài)中，各個(gè)本征態(tài)以一定的概率出現(xiàn),也叫非本征態(tài)，處于該態(tài)粒子的能量沒(méi)有確定的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值與它對(duì)應(yīng)，需求能量算符的平均值。解：設(shè)二能級(jí)原子有兩個(gè)本征態(tài)和分別具有能量本征值。在矢量空間中，任一矢量可以用一組分量來(lái)表示，例如電場(chǎng)還可寫(xiě)成矩陣形式根據(jù)的正交歸一，二能級(jí)原子的基態(tài)和激發(fā)態(tài)也可表示為態(tài)矢量和它表示原子以概率處在基態(tài)同時(shí)以概率處在激發(fā)態(tài)基態(tài)和激發(fā)態(tài)構(gòu)成二能級(jí)原子狀態(tài)的一組矢量空間的基矢，也叫能量本征態(tài)。二能級(jí)原子的任一其他的態(tài)可以按這基矢展開(kāi)。一般來(lái)說(shuō)，二能級(jí)原子，任一狀態(tài)為一、無(wú)限深一維方勢(shì)阱這種勢(shì)能分布即為無(wú)限深方勢(shì)阱。粒子處于束縛態(tài)：在阱內(nèi)勢(shì)能為零，粒子不受力的作用；在邊界處，勢(shì)能突然增加到無(wú)限大，粒子受到無(wú)限大的斥力。粒子被限制在0<x<a的范圍內(nèi)，不可能到此范圍外。0ax粒子在力場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)為：§2.2無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子(Particleininfinitesquare-wellotential)

二、求解定態(tài)薛定諤方程由于勢(shì)函數(shù)不隨時(shí)間變化，所以屬定態(tài)解。(0<x<a)上式變?yōu)椋毫睿捍朔匠掏ń鉃?其中A、B、k均為常數(shù)，A、B由邊界條件確定。邊界條件要求：阱內(nèi)：U=0，方程為

阱外：物理上，勢(shì)能為無(wú)窮就是粒子不能到達(dá)，因此有:有界條件單值條件連續(xù)條件所以有：（若B=0，則勢(shì)阱內(nèi)無(wú)粒子）由歸一化有：歸一化條件則：n

叫量子數(shù)由此得：總波函數(shù)：由和解得：定態(tài)本征解：（當(dāng)0

xa）定態(tài)能量本征值：討論（1）能量是量子化的:在勢(shì)阱中，粒子的勢(shì)能為零，總能量就是動(dòng)能。在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的動(dòng)能可連續(xù)取值；而量子力學(xué)的結(jié)果是，能量是量子化的。且由薛定諤方程自然而然地得到，不需人為假定。（2）零點(diǎn)能:最低的能級(jí)是n=1能級(jí)對(duì)經(jīng)典物理來(lái)說(shuō)這是不可理解的，而按量子理論是可以理解的。若E=0，則但勢(shì)阱中，所以E不能為零。根據(jù)不確定關(guān)系，（4）根據(jù)波函數(shù)的物理意義，為粒子在各處出現(xiàn)的概率密度。由圖，在勢(shì)阱內(nèi)概率密度隨x改變，且與n有關(guān)。但是按經(jīng)典理論,粒子在各點(diǎn)出現(xiàn)的概率應(yīng)該是相同的。0an=1n=2n=3E1E2E3x當(dāng)時(shí)，量子化-->連續(xù)(5)每一個(gè)能量本征態(tài)對(duì)應(yīng)于德布羅意波的一個(gè)特定波長(zhǎng)的駐波，可見(jiàn)a越大越小，當(dāng)a大到宏觀尺度時(shí)，，能量可看作連續(xù)變化，這和經(jīng)典理論相對(duì)應(yīng)。（3）相鄰兩個(gè)能級(jí)之差(6)把坐標(biāo)原點(diǎn)移至勢(shì)阱中點(diǎn)，則把上面結(jié)果中的x改為x-a/2，就得到新坐標(biāo)系下的波函數(shù)（可能有正負(fù)號(hào)的差別，但作為波函數(shù)是等價(jià)的）：

n=1,3,5,…時(shí)的波函數(shù)是偶函數(shù),這些狀態(tài)叫做偶宇稱態(tài)，n=2,4,6,…時(shí)的波函數(shù)是奇函數(shù)，這些態(tài)叫做奇宇稱態(tài)。EOaxE1n=14E1n=29E1n=3Enψn|ψn|2EOa/2x-a/2無(wú)限深方勢(shì)阱內(nèi)粒子的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度E1n=14E1n=29E1n=3例：一粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)而處于基態(tài)。從阱寬的一端到離此端點(diǎn)1/4阱寬的距離內(nèi)它出現(xiàn)的概率多大？解：基態(tài)波函數(shù)為:

n=1,粒子從阱寬的一端到離此端點(diǎn)1/4阱寬的距離內(nèi)它出現(xiàn)的概率為半無(wú)限深方勢(shì)阱的勢(shì)能函數(shù)為定態(tài)薛定諤方程,必需滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件下，求解薛定諤方程,“自然地”得到如下圖所示量子化的能級(jí)、波函數(shù)和概率密度?！?.3勢(shì)壘穿透(Barrierpenetration)EOa/2xU0U-a/2量子力學(xué)：EE1E3E2-a/2a/2xU0Enψn|ψn|20能量小于U0的粒子，只能在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng),不可進(jìn)入其能量小于勢(shì)能的

的區(qū)域，否則動(dòng)能將為負(fù)值。薛定諤方程給出的解,在其勢(shì)能U0大于總能量E的區(qū)域內(nèi)雖然逐漸衰減，但仍有一定的值。討論：與經(jīng)典理論不同，微觀粒子能進(jìn)入勢(shì)能遠(yuǎn)大于總能量的區(qū)域，這可用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系加以說(shuō)明,在該區(qū)域內(nèi)，其動(dòng)能的不確定度大于觀察不到的負(fù)動(dòng)能值。指數(shù)降低經(jīng)典理論：解薛定諤方程，可得如圖所示的波函數(shù)?？梢?jiàn),能量低于勢(shì)壘高度的粒子不僅有可能進(jìn)入勢(shì)壘內(nèi)部，而還有一定的概率穿過(guò)勢(shì)壘，這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。

Eψ(x)UOaxU0

對(duì)有限厚度的勢(shì)壘，粒子的勢(shì)能函數(shù)為a

越小,U0

越小,穿透率越高。二、隧道效應(yīng)隧道電流I與樣品和針尖間距離S的關(guān)系利用掃描隧道顯微鏡看到的硅表面（77重構(gòu)圖象）隧道效應(yīng)已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)完全證實(shí)。粒子從放射性核中放出就是隧道效應(yīng)的例子，黑洞的量子蒸發(fā)、熱核反應(yīng)也是隧道效應(yīng)的結(jié)果。隧道效應(yīng)的重要應(yīng)用是掃描隧道顯微鏡。1994年中國(guó)科學(xué)家“寫(xiě)”出的原子字。原子操縱移動(dòng)48個(gè)Fe原子組成“量子圍欄”，圍欄中的電子形成駐波。一、勢(shì)函數(shù)M：振子質(zhì)量，：固有頻率，x：位移二、定態(tài)薛定諤方程

有定態(tài)薛定諤方程§2.4諧振子(Harmonicoscillator)哈密頓量這是一個(gè)變系數(shù)常微分方程，求解復(fù)雜。為使波函數(shù)滿足單值、有界、連續(xù)的條件，諧振子的能量必須是量子化的。求得能級(jí)公式為（其中n

為量子數(shù)）結(jié)論Oxn=0n=3n=2n=1|ψ0|2|ψ3|2|ψ2|2|ψ1|21.普朗克假設(shè)的諧振子能量量子化是解薛定諤方程的自然結(jié)果。2.能級(jí)是等間隔的，基態(tài)能量