中學(xué)代數(shù)研究-第5章-數(shù)列2

第五章數(shù)列數(shù)列簡(jiǎn)史中學(xué)數(shù)學(xué)里的數(shù)列及其求和等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列的差分與高階等差數(shù)列線性遞歸數(shù)列數(shù)列應(yīng)用舉例（第九組）數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法第七章第五節(jié)（第十組）1第一節(jié)數(shù)列簡(jiǎn)史關(guān)于數(shù)列的早期認(rèn)識(shí)高階等差數(shù)列斐波那契數(shù)列2斐波那契數(shù)列3

一、兔子問(wèn)題和斐波那契數(shù)列

1．兔子問(wèn)題

1）問(wèn)題

——取自意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算盤(pán)書(shū)》（1202年）

(L.Fibonacci,1170-1250）

4兔子問(wèn)題假設(shè)一對(duì)初生兔子要一個(gè)月才到成熟期，而一對(duì)成熟兔子每月會(huì)生一對(duì)兔子，那么，由一對(duì)初生兔子開(kāi)始，12個(gè)月后會(huì)有多少對(duì)兔子呢？5解答

1月

1對(duì)6解答

1月 1對(duì)

2月 1

對(duì)7解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)8解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)9解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)10解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)11解答

1月 1對(duì)

2月 1對(duì)

3月 2對(duì)

4月 3對(duì)

5月 5對(duì)

6月 8對(duì)

7月 13對(duì)12解答可以將結(jié)果以列表形式給出：1月2月3月5月4月6月7月8月9月11月10月12月1123581321345589144因此，斐波那契問(wèn)題的答案是144對(duì)。以上數(shù)列，即“斐波那契數(shù)列”13

兔子問(wèn)題的另外一種提法：第一個(gè)月是一對(duì)大兔子，類(lèi)似繁殖；到第十二個(gè)月時(shí)，共有多少對(duì)兔子？月份ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ

大兔對(duì)數(shù)1123581321345589144

小兔對(duì)數(shù)01123581321345589

到十二月時(shí)有大兔子144對(duì)，小兔子89對(duì)，共有兔子144+89=233對(duì)。規(guī)律14①分析、抓住本質(zhì)、簡(jiǎn)化。題中本質(zhì)上有兩類(lèi)兔子：一類(lèi)是能生殖的兔子，簡(jiǎn)稱(chēng)為大兔子；新生的兔子不能生殖，簡(jiǎn)稱(chēng)為小兔子；小兔子一個(gè)月就長(zhǎng)成大兔子。求的是大兔子與小兔子的總和。15

2）深入觀察規(guī)律

①每月小兔對(duì)數(shù)=上月大兔對(duì)數(shù)。②每月大兔對(duì)數(shù)等于上個(gè)月大兔對(duì)數(shù)與小兔對(duì)數(shù)之和。綜合①②兩點(diǎn)，我們就有：每月大兔對(duì)數(shù)等于前兩個(gè)月大兔對(duì)數(shù)之和。列表觀察，不僅解答了問(wèn)題，而且找到了規(guī)律。16

2．斐波那契數(shù)列

1）公式用表示第個(gè)月大兔子的對(duì)數(shù)，則有二階遞推公式

17

2）斐波那契數(shù)列令n=1,2,3,…依次寫(xiě)出數(shù)列，就是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，

55，89，144，233，377，…

這就是斐波那契數(shù)列。其中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。

18

這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無(wú)窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，我們通常稱(chēng)這樣的分?jǐn)?shù)為“連分?jǐn)?shù)”。二．相關(guān)問(wèn)題：連分?jǐn)?shù)19

上述連分?jǐn)?shù)可以看作是中，把的表達(dá)式反復(fù)代入等號(hào)右端得到的；例如，第一次代入得到的是

反復(fù)迭代，就得到上述連分?jǐn)?shù)。20上述這一全部由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)，

是最簡(jiǎn)單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)。21

通常，求連分?jǐn)?shù)的值，如同求無(wú)理數(shù)的值一樣，我們常常需要求它的近似值。如果把該連分?jǐn)?shù)從第條分?jǐn)?shù)線截住，即把第條分?jǐn)?shù)線上、下的部分都刪去，就得到該連分?jǐn)?shù)的第次近似值，記作。22對(duì)照可算得

23發(fā)現(xiàn)規(guī)律后可以改一種方法算，

例如順序排起來(lái)，這個(gè)連分?jǐn)?shù)的近似值逐次為

24為討論黃金矩形與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系，我們把黃金比化為連分?jǐn)?shù)，去求黃金比的近似值。化連分?jǐn)?shù)時(shí)，沿用剛才“迭代”的思路：與斐波那契數(shù)列的聯(lián)系：25

反復(fù)迭代，得

26它竟然與我們?cè)谏隙沃醒芯康倪B分?jǐn)?shù)一樣！因此，黃金比的近似值寫(xiě)成分?jǐn)?shù)表達(dá)的數(shù)列，也是，其分子、分母都由斐波那契數(shù)列構(gòu)成。并且，這一數(shù)列的極限就是黃金比。27三、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美數(shù)學(xué)中，“從不同的范疇，不同的途徑，得到同一個(gè)結(jié)果”的情形是屢見(jiàn)不鮮的。這反映了客觀世界的多樣性和統(tǒng)一性，也反映了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。黃金分割點(diǎn)0.618的得到，是一個(gè)能說(shuō)明問(wèn)題的例子28

從不同途徑導(dǎo)出黃金比

1．黃金分割：線段的分割點(diǎn)滿足

，這一比值正是。

2．斐波那契數(shù)列組成的分?jǐn)?shù)數(shù)列的極限正是。29

3．方程的正根是

4．黃金矩形的寬長(zhǎng)之比正是

5．連分?jǐn)?shù)的值正是

6．優(yōu)選法的試驗(yàn)點(diǎn)，正是

我們看到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美。30

四、斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》

1．斐波那契協(xié)會(huì)和《斐波那契季刊》

斐波那契1202年在《算盤(pán)書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…之后，并沒(méi)有進(jìn)一步探討此序列，并且在19世紀(jì)初以前，也沒(méi)有人認(rèn)真研究過(guò)它。沒(méi)想到過(guò)了幾百年之后，十九世紀(jì)末和二十世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而突然活躍起來(lái)，成為熱門(mén)的研究課題。31

有人比喻說(shuō)，“有關(guān)斐波那契數(shù)列的論文，甚至比斐波那契的兔子增長(zhǎng)得還快”，以致1963年成立了斐波那契協(xié)會(huì)，還出版了《斐波那契季刊》。

32

2．斐波那契生平斐波那契（Fibonacci.L,1175—1250）出生于意大利的比薩。他小時(shí)候就對(duì)算術(shù)很有興趣。后來(lái)，他父親帶他旅行到埃及、敘利亞、希臘（拜占庭）、西西里和普羅旺斯，他又接觸到東方國(guó)家的數(shù)學(xué)。斐波那契確信印度—阿拉伯計(jì)算方法在實(shí)用上的優(yōu)越性。1202年，在回到家里不久，他發(fā)表了著名的《算盤(pán)書(shū)》。33

斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重視，因而被邀請(qǐng)到宮廷參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。他還曾向官吏和市民講授計(jì)算方法。他的最重要的成果在不定分析和數(shù)論方面，除了《算盤(pán)書(shū)》外，保存下來(lái)的還有《實(shí)用幾何》等四部著作。34斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250）35

3．自然界中的斐波那契數(shù)

斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)。斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式，它出現(xiàn)在許多場(chǎng)合。下面舉幾個(gè)例子。36

1）花瓣數(shù)中的斐波那契數(shù)

大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉利花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬(wàn)壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34、55或89個(gè)花瓣。37花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目海棠（2）鐵蘭（3）38洋紫荊（5）蝴蝶蘭（5）黃蟬（5）花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目39花瓣中的斐波那契數(shù)花瓣的數(shù)目雛菊（13）雛菊（13）402）樹(shù)杈的數(shù)向日葵花盤(pán)內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)42

43向日葵花盤(pán)內(nèi)，種子是按對(duì)數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩組對(duì)數(shù)螺線。兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是34和55，大向日葵是89和144，還曾發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵有144和233條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)。44

松果種子的排列45

松果種子的排列46

松果種子的排列47菜花表面排列的螺線數(shù)（5-8）48這一模式幾個(gè)世紀(jì)前已被注意到，此后曾被廣泛研究，但真正滿意的解釋直到1993年才給出。這種解釋是：這是植物生長(zhǎng)的動(dòng)力學(xué)特性造成的；相鄰器官原基之間的夾角是黃金角——137.50776度；這使種子的堆集效率達(dá)到最高。49

4、股票指數(shù)增減的“波浪理論”

①完整周期3上2下（或5上3下或3上5下），常是相繼兩斐波那契數(shù)；②每次股指增長(zhǎng)幅度（8，13等）或回調(diào)幅度（8，5），常是相繼兩斐波那契數(shù)。股指變化有無(wú)規(guī)律？回答是肯定的。5051

1934年美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家艾略特在通過(guò)大量資料分析、研究后，發(fā)現(xiàn)了股指增減的微妙規(guī)律，并提出了頗有影響的“波浪理論”。該理論認(rèn)為：股指波動(dòng)的一個(gè)完整過(guò)程（周期）是由波形圖（股指變化的圖象）上的5（或8）個(gè)波組成，其中3上2下（或5上3下），如圖，無(wú)論從小波還是從大波波形上看，均如此。注意這兒的2、3、5、8均系斐波那契數(shù)列中的數(shù)。52同時(shí)，每次股指的增長(zhǎng)幅度常循斐波那契數(shù)列中數(shù)字規(guī)律完成。比如：如果某日股指上升8點(diǎn)，則股指下一次攀升點(diǎn)數(shù)為13；若股指回調(diào)，其幅度應(yīng)在5點(diǎn)左右。顯然，5、8、13為斐氏數(shù)列的相鄰三項(xiàng)。53可以說(shuō)，斐波那契以他的兔子問(wèn)題，猜中了大自然的奧秘，而斐波那契數(shù)列的種種應(yīng)用，是這個(gè)奧秘的不同體現(xiàn)。妙哉數(shù)學(xué)！54

5．推廣的斐波那契數(shù)列—盧卡斯數(shù)列

1）盧卡斯數(shù)列盧卡斯（Lucas，F(xiàn).E.A.1824-1891）構(gòu)造了一類(lèi)更值得研究的數(shù)列，現(xiàn)被稱(chēng)為“推廣的斐波那契數(shù)列”，55即從任何兩個(gè)正整數(shù)開(kāi)始，往后的每一個(gè)數(shù)是其前兩個(gè)數(shù)之和，由此構(gòu)成無(wú)窮數(shù)列。此即，二階遞推公式中，遞推式與前面一樣，而起始整數(shù)可任取。56

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…是這類(lèi)數(shù)列中最簡(jiǎn)單的一個(gè)，起始整數(shù)分別取為1、1。次簡(jiǎn)單的為1，3，4，7，11，18，…現(xiàn)稱(chēng)之為盧卡斯數(shù)列。盧卡斯數(shù)列的通項(xiàng)公式是

57

推廣的斐波那契數(shù)列與斐波那契數(shù)列一樣，與黃金分割有密切的聯(lián)系：該數(shù)列相鄰兩數(shù)之比，交替地大于或小于黃金比；并且，兩數(shù)之比的差隨項(xiàng)數(shù)的增加而越來(lái)越小，趨近于0，從而這個(gè)比存在極限；而且這個(gè)比的極限也是黃金比。

58類(lèi)似于前面提到的數(shù)列

其極限也是59

6．斐波那契數(shù)列的一些更深刻的性質(zhì)

1）通項(xiàng)公式

一個(gè)正整數(shù)序列的通項(xiàng)，竟然可以用帶有無(wú)理數(shù)的式子表達(dá)，這是十分意外的結(jié)果。該證明由法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)（Binet）做出。60

2）斐波那契數(shù)列的后項(xiàng)除以前項(xiàng)做成的分?jǐn)?shù)數(shù)列的極限為黃金比的倒數(shù)稱(chēng)為第二黃金比。即有613）斐波那契數(shù)列的有趣特性數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)了許多斐波那契數(shù)列的特性。例如：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…第3、6、9、12等項(xiàng)的數(shù)字能被2整除。第4、8、12等項(xiàng)的數(shù)字能被3整除。第5、10等項(xiàng)的數(shù)字能被5整除。其余依此類(lèi)推。62從斐波那契數(shù)列體味數(shù)學(xué)文化要善于從生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題，首先要明確概念，提煉其精髓采取合適的方法（如列表）是關(guān)鍵善于總結(jié)，從而得出一般規(guī)律（這里，建立了二階遞推公式）63第二節(jié)中學(xué)數(shù)學(xué)里的數(shù)列及其求和數(shù)列的定義及其表示有限數(shù)列的通項(xiàng)和拉格朗日插值公式數(shù)列求和法

中學(xué)里的數(shù)列教學(xué)內(nèi)容，主要是建立數(shù)列的概念，學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單的級(jí)數(shù)求和方法，特別是仔細(xì)研究等差數(shù)列和等比數(shù)列的各種性質(zhì)。64一、數(shù)列的定義及其表示定義在正整數(shù)集上的函數(shù)構(gòu)成數(shù)列；《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）·數(shù)學(xué)》第一冊(cè)（上）中數(shù)列的定義為：按一定次序排成的一列數(shù)。關(guān)于數(shù)列概念應(yīng)該注意：①數(shù)列具有嚴(yán)格的順序性；②集合與數(shù)列不完全是一回事；③數(shù)列不等于序列，序列是比數(shù)列更廣泛的概念。651.與通項(xiàng)an有關(guān)的問(wèn)題例課本P134，例32.與前n項(xiàng)和Sn有關(guān)的問(wèn)題①分組求和法（P135，例5）②裂項(xiàng)相消法（P135，例6）③錯(cuò)項(xiàng)相消法（P135，例8）

④反序相加法（P135，例9）3.與an和

Sn有關(guān)的問(wèn)題三、數(shù)列求和法66第三節(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列6768697071課堂練習(xí)：72737475第四節(jié)數(shù)列差分與高階等差數(shù)列高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)列差分?jǐn)?shù)列的差分高階等差數(shù)列中國(guó)古代的高階等差數(shù)列76一、高中數(shù)學(xué)課程中的數(shù)列差分?jǐn)?shù)學(xué)1數(shù)學(xué)5數(shù)學(xué)4數(shù)學(xué)3數(shù)學(xué)2必修模塊選修1-1選修1-2選修系列選修2-1選修2-2選修2-3選修3-5選修3-2選修3-3選修3-4選修3-1選修3-6選修4-1選修4-2選修4-3選修4-44-10……77數(shù)列與差分隨著信息技術(shù)的日益普及和發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，在理論上是十分重要的，并且有廣泛的應(yīng)用。本專(zhuān)題初步研究數(shù)列的差分和簡(jiǎn)單的差分方程，使學(xué)生掌握一些用離散變量分析解決問(wèn)題的方法。78二數(shù)列的差分定義對(duì)于數(shù)列，稱(chēng)為的一階差數(shù)列。并稱(chēng)為的一階差分（簡(jiǎn)稱(chēng)差分）；的一階差分叫做的二階差分；一般地，設(shè)m是任一正整數(shù)，則稱(chēng)為的m階差分。79數(shù)列的差分

課堂練習(xí)求下列數(shù)列的差分①數(shù)列1，1，1，1，1，1，……一階差分：0，0，0，0，0，……②數(shù)列1，2，3，4，5，6，……一階差分：1，1，1，1，1，……二階差分：0，0，0，0，……80數(shù)列的差分

課堂練習(xí)③數(shù)列：即1，4，9，16，25，36，……一階差分：3，5，7，9，11，……二階差分：2，2，2，2，……三階差分：0，0，0，……81數(shù)列的差分

課堂練習(xí)④數(shù)列：即1，2，4，8，16，32，……一階差分：1，2，4，8，16，……二階差分：1，2，4，8，……三階差分：1，2，4……82數(shù)列的差分定理對(duì)于數(shù)列，，有⑴⑵，這里為常數(shù)⑶或⑷83數(shù)列的差分證明：⑴、⑵、⑶直接應(yīng)用差分定義即可；⑷由⑶，有于是84數(shù)列的差分

例題例1求數(shù)列的前n項(xiàng)和解法一等比數(shù)列的求和公式：

85解法二86解法三因?yàn)樗?7例2求和解法一88解法二見(jiàn)課本P14389解法三見(jiàn)課本P14490三高階等差數(shù)列定義對(duì)于數(shù)列，若有正整數(shù)m，使是非零常數(shù)列，則稱(chēng)為m階等差數(shù)列。當(dāng)時(shí)，m階等差數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為高階等差數(shù)列。常數(shù)列叫做零階等差數(shù)列。91高階等差數(shù)列92高階等差數(shù)列9394四、中國(guó)古代的高階等差數(shù)列早在北宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家沈括就創(chuàng)立了與高階等差數(shù)列有關(guān)的“隙積術(shù)”；南宋末期數(shù)學(xué)家楊輝亦研究了高階等差數(shù)列，并提出了“垛積術(shù)”；到了元朝，優(yōu)秀的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家郭守敬在以他為主編著的《授時(shí)歷》中，就用高階等差數(shù)方面的知識(shí)，來(lái)解決天文計(jì)算中的高次招差問(wèn)題。朱世杰則在其所著的《四元玉鑒》一書(shū)中，把中國(guó)宋、元數(shù)學(xué)家在高階等差級(jí)數(shù)求和方面的工作更向前推進(jìn)了一步，對(duì)這一類(lèi)問(wèn)題得出了一系列重要的求和公式，其中最突出的是他創(chuàng)造了“招差法”（即“逐差法”）