微積分-經(jīng)管類.-第四版-(吳贛昌)-第一章

1.微積分學(xué):一元微積分2.線性代數(shù)

大學(xué)數(shù)學(xué)主要內(nèi)容多元微積分3.概率與統(tǒng)計如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)1.認(rèn)識高等數(shù)學(xué)的重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.2.做好預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)，多做習(xí)題3.作業(yè)：每兩周第一次課上課前提交要求：1）不能抄作業(yè)

2）解題過程盡量詳細(xì)參考書目《高等數(shù)學(xué)》，高等教育出版社，同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編《高等數(shù)學(xué)精品課堂》，廈門大學(xué)出版社，林建華等編著《托馬斯微積分》第十版，高等教育出版社，葉其孝等譯考試安排期中考試（待定）期末考試，閉卷考，最后兩周，1月5日-10日評分：平時（出勤、作業(yè)等）20%、期中考試10%，期末考試占70%第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)一、實數(shù)與區(qū)間二、鄰域三、函數(shù)的概念四、函數(shù)的特性五、數(shù)學(xué)建?！瘮?shù)關(guān)系的建立一、實數(shù)與區(qū)間集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.元素組成這個集合的事物稱為該集合的元素.集合與元素的關(guān)系:由無限個元素組成的集合稱為無限集.由有限個元素組成的集合稱為有限集.

集合的概念集合舉例年在廣東地區(qū)出生的人.方程的根.全體奇數(shù).拋物線上的所有點.集合的表示方法列舉法:即在中按任意順序、不遺漏、不重復(fù)地列出集合的所有元素.例如若僅由有限個元素組成,可記為由方程的根構(gòu)成的集合,可記為描述法:所具有的特征由方程的根構(gòu)成的集合,可記為全體奇數(shù)的集合,可記為就稱集合和相等,若且記為記為則稱集合是的真子集,若且空集不包含任何元素的集合,記為規(guī)定:空集為任何集合的子集.集合之間的關(guān)系若則稱是的子集,記為集合的運算設(shè)是兩個集合,定義與的并集(簡稱并)與的交集(簡稱交)與的差集(簡稱差)或Axx?|{BA=U且Axx?|{BA=IBA=-且Axx?|{集合的運算當(dāng)所研究的問題限定在一個大的集合中進行,所研究的其他集合都是的子集.定義的余集或補集例如,在實數(shù)集中,集合的余集就是或集合的基本運算規(guī)律設(shè)為任意三個集合,則有下列法則成立:交換律結(jié)合律分配律對偶律數(shù)集分類:自然數(shù)集實數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:注:如無特別說明,本課程中提到的數(shù)都是實數(shù).數(shù)集元素都是數(shù)的集合稱為數(shù)集.區(qū)間閉區(qū)間半開半閉區(qū)間特別地,全體實數(shù)的集合也可表示為無限區(qū)間開區(qū)間二、鄰域定義設(shè)與是兩個實數(shù),且數(shù)集稱為點的鄰域.記為記為即點的去心的鄰域,以為中心的任何開區(qū)間均是點的鄰域,記為).(aU三、函數(shù)的概念定義設(shè)和是兩個變量,是一個給定的數(shù)集.如果對于每個數(shù)變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作因變量自變量其中,數(shù)集稱為函數(shù)的定義域,記為即函數(shù)值全體組成的集合稱為函數(shù)的值域,記為或即注:構(gòu)成函數(shù)的要素為:定義域與對應(yīng)法則兩函數(shù)相等它們的定義域和對應(yīng)法則均相同.例判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由.與與定義域的確定:對實際問題,根據(jù)問題的實際意義確定;對抽象函數(shù)表達(dá)式,約定:定義域是使算式有意義的一切實數(shù)組成的集合,這種定義域又稱為函數(shù)的自然定義域.例如,函數(shù)的圖形:坐標(biāo)平面上的點集稱為函數(shù)的圖形.函數(shù)的表示法表格法自變量的值與對應(yīng)的函數(shù)值列成表格的方法圖像法在坐標(biāo)系中用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的方法公式法(解析法)將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)表達(dá)式(又稱為解析表達(dá)式)來表示的方法.例如,某水文站統(tǒng)計了某河流在40年內(nèi)的平均月流量如下表:月平均月流量(億立方米)30.039.075.035.044.072.03.44.48.10.172.050.0定義域為數(shù)集為自然數(shù)}函數(shù)的表示法根據(jù)函數(shù)的解析表達(dá)式的形式不同,函數(shù)也可分為以下三種:顯函數(shù)函數(shù)由的解析表達(dá)式直接表示.例如隱函數(shù)關(guān)系由方程來確定.例如,函數(shù)的自變量與因變量的對應(yīng)分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),具有不同的解析表達(dá)式.完例1絕對值函數(shù)定義域值域注:常用絕對值的運算性質(zhì):設(shè)則或完其他分段函數(shù)舉例符號函數(shù)當(dāng)當(dāng)當(dāng)取整函數(shù)表示不超過的最大整數(shù).狄利克雷函數(shù)當(dāng)是有理數(shù)時當(dāng)是無理數(shù)時四、函數(shù)的特性設(shè)函數(shù)的定義域為數(shù)集若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有上界若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有下界4.1函數(shù)的有界性由上述定義易見有下列結(jié)論:有下界.在上有界在上既有上界又若使得恒有成立,則稱函數(shù)在上有界,否則稱為無界.例4證明函數(shù)在上是有界的;函數(shù)在上是無界的.證所以故對一切都成立.由上可知題設(shè)函數(shù)在上是有界函數(shù).因為例證明函數(shù)在上是無界的.證對于無論怎樣大的總可在內(nèi)找到相應(yīng)的例如取使得所以在上是無界函數(shù).完函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域為區(qū)間如果對于區(qū)間上任意兩點及當(dāng)時,恒有則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增加函數(shù);如果對于區(qū)間上任意兩點及當(dāng)時,恒有則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減少函數(shù);函數(shù)的單調(diào)性例題分析:在內(nèi)是單調(diào)增加的,在內(nèi)是單調(diào)減少的,在內(nèi)不是單調(diào)的.在內(nèi)是單調(diào)增加的.完例5證明函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).證

在內(nèi)任取兩點且則因為是內(nèi)任意兩點,所以又因為故所以在內(nèi)是單調(diào)增加的.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱。若有則稱為偶函數(shù)；例如，函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).若有則稱為奇函數(shù).例6判斷函數(shù)的奇偶性.解由定義知為奇函數(shù).例判斷函數(shù)的奇偶性.解因為故由定義知為偶函數(shù).函數(shù)的周期性設(shè)函數(shù)的定義域為如果存在一個不為零的數(shù)使得有且則稱為周期函數(shù),稱為的周期.通常說的周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.例如,都是以為周期的周期函數(shù).例7因為解故按周期函數(shù)的定義,設(shè)函數(shù)是周期的周期函數(shù),數(shù)的周期,其中為常數(shù),且的周期為試求函例若對其定義域上的一切恒有則稱對稱于試證明:則是以為周期的周期函數(shù).對稱于及若證由對稱于及則有在式中,把換為得由式可見,以為周期.五、數(shù)學(xué)建模函數(shù)關(guān)系的建立在解決實際應(yīng)用問題時,首先要將所要解決的問題量化,從而建立起該問題的數(shù)學(xué)模型,即建立函數(shù)關(guān)系.要把實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系正確抽象出來,首先應(yīng)分析哪些是常量,哪些是變量,然后確定選取哪個為自變量,哪個為因變量,最后根據(jù)題意建立它們之間的函數(shù)關(guān)系,同時給出函數(shù)的定義域.注:應(yīng)用問題的定義域,除考慮函數(shù)的表達(dá)式外還要考慮變量在實際問題中的意義.例8某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為臺,干批進行生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費為元,設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批,庫存量為批量的一半.設(shè)每年每臺庫存費為元.然,生產(chǎn)批量大則庫存費高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費高.年中庫存費與生產(chǎn)準(zhǔn)備費的和為了選擇最優(yōu)批量,與批量的函數(shù)關(guān)系.分若即平均顯試求出一解設(shè)批量為庫存量與生產(chǎn)準(zhǔn)備費的和為因年產(chǎn)量為所以每年生產(chǎn)的批數(shù)為(設(shè)其為整數(shù)).則生產(chǎn)準(zhǔn)備費為因庫存量為故庫存費為因此可得定義域為(臺數(shù))只取定義域中的正整數(shù)因子.例9某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為:在公里以內(nèi),每公里元,超過部分每公里為元.求運價和里程之間的函數(shù)關(guān)系.解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系如下:這里運價和里程的函數(shù)關(guān)系示的,定義域為是用分段函數(shù)表內(nèi)容小結(jié)1.預(yù)備知識集合的概念，集合的運算，區(qū)間，鄰域.2.函數(shù)的概念函數(shù)的定義，函數(shù)的運算，求函數(shù)的定義域，求函數(shù)表達(dá)式等.3.函數(shù)的特性有界性，單調(diào)性，奇偶性，周期性.1.用分段函數(shù)表示函數(shù)2.判別函數(shù)的奇偶性.課堂練習(xí)1.用分段函數(shù)表示函數(shù)解根據(jù)絕對值定義可知當(dāng)即時,當(dāng)即時,因此有即.2.判別函數(shù)的奇偶性.解當(dāng)時,有當(dāng)時,有故是奇函數(shù).作業(yè)習(xí)題1-1Ex.1(1)(3)(5)Ex.2(2)(4)Ex.4(2)Ex.7(3)Ex.8(1)1.2初等函數(shù)一、反函數(shù)二、基本初等函數(shù)三、復(fù)合函數(shù)四、初等函數(shù)一、反函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域為值域為一般地,如果在上不僅單值,調(diào),則把看作自變量,看新函數(shù)作因變量,稱為的反函反函數(shù)的定義域為值域為相對反函數(shù),原來的函數(shù)稱為直接函數(shù).而且單得到的數(shù).注意(1)習(xí)慣上仍將反函數(shù)記為(2)在同一個坐標(biāo)平面內(nèi),直接函數(shù)和反函數(shù)的圖形關(guān)于直線是對稱的.例1求函數(shù)的反函數(shù).例已知(符號函數(shù))求的反函數(shù).解由題設(shè),易得解故所求反函數(shù)為.二、基本初等函數(shù)1、冪函數(shù)2、指數(shù)函數(shù)3、對數(shù)函數(shù)4、三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)5、反三角函數(shù)

冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).三、復(fù)合函數(shù)引例設(shè)定義設(shè)函數(shù)的定義域為而函數(shù)的值域為若則稱函數(shù)為的復(fù)合函數(shù).注:(1)函數(shù)與函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)即通常記為(2)不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函例如數(shù)的.(3)復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)例如成的.例2設(shè)解求例3設(shè)求解分段函數(shù)的復(fù)合運算例5設(shè)求解解當(dāng)時,或或當(dāng)時,或或所以.例4將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合:解是由四個函數(shù)是由三個函數(shù)復(fù)合而成;復(fù)合而成;是由六個函數(shù)復(fù)合在而成.4.初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，如符號函數(shù)，取整函數(shù).1.反函數(shù)2.復(fù)合函數(shù)3.基本初等函數(shù)冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù).4.函數(shù)的分類內(nèi)容小結(jié)1.下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)若能,寫出其解析式、定義域、值域.課堂練習(xí)2.分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).1.下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)若能,寫出其解析式、定義域、值域.解不能.的值域與的定義域之交集是空集.完2.分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).解所給函數(shù)是由復(fù)合而成.補充題求解法1令則取代入得設(shè)取同樣可得解法2因為所以所以作業(yè)P26Ex.1(2)Ex.2,Ex.4,Ex.5,Ex.91.3常用經(jīng)濟函數(shù)單利復(fù)利多次付息貼現(xiàn)需求函數(shù)，供給函數(shù)……一、單利與復(fù)利利息是指借款者向貨款者支付的報酬,它是根據(jù)本金的數(shù)額按一定比例計算出來的.單利計算公式設(shè)初始本金為(元),銀行年利率為則第一年末本利和為則第二年末本利和為第年末的本利和為復(fù)利計算公式設(shè)初始本金為(元),銀行年利率為則第一年末本利和則第二年末本利和本金利息若年末的本利和為例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問:(1)按單利計算,3年末的本利和為多少?(2)按復(fù)利計算,3年末的本利和為多少?(3)按復(fù)利計算,需多少年能使本利和超過初始本金解(1)已知由單利計算公式得(元)即3年末的本利和為121元.(2)由復(fù)利計算公式得(元)的一倍?例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問:(3)按復(fù)利計算,需多少年能使本利和超過初始本金解的一倍?即需11年本利和可超過初始本金一倍.(3)若年后的本利和超過初始本金的一倍,即要單利付息情況因每次的利息都不計入本金,故若一年分次付息,則年末的本利和為即年末的本利和與支付利息的次數(shù)無關(guān).二、多次付息設(shè)初始本金為(元),年利率為息.若一年分次付復(fù)利付息情況一年末的本利和為易見本利和是隨的增大而增加的.本利和為而年末的三、貼現(xiàn)票據(jù)的持有人,為在票據(jù)到期以前獲得資金,從票面金額中扣除來到期期間的利息后,得到所余金額的現(xiàn)金稱為貼現(xiàn).貼現(xiàn)考慮更一般的問題:確定第年后價值為元錢的現(xiàn)值.假設(shè)在這年之間復(fù)利年利率不變.利用復(fù)利計算公式有得到第年后價值為元錢的現(xiàn)值為式中表示第年后到期的票據(jù)金額,表示貼現(xiàn)率,而表示現(xiàn)在進行票據(jù)轉(zhuǎn)讓時銀行付給的貼現(xiàn)金額.例2某人手中有三張票據(jù),其中一年后到期的票據(jù)金額是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現(xiàn)率6%,現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓,銀行的貼現(xiàn)金額是多少?解由貼現(xiàn)計算公式,貼現(xiàn)金額為其中故(元).四、需求函數(shù)需求函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi),市場上某種商品的各種可能的購買量間的數(shù)量關(guān)系.和決定這些購買量的諸因素之其中,表示需求量,價格.需求函數(shù)的反函數(shù)表示習(xí)慣上將價格函數(shù)也統(tǒng)稱為需求函數(shù).稱為價格函數(shù),而減少,因此,調(diào)減少函數(shù).例如,函數(shù)稱為線性需求函數(shù)(如圖).一般地,商品的需求量隨價格隨價格的上漲的下降而增加,需求函數(shù)是單五、供給函數(shù)供給函數(shù)是指在某一特定時期內(nèi),市場上某種商品的各種可能的供給量和諸因素之間的數(shù)量關(guān)系.其中,表示需求量,表示價格.供給函數(shù)以決定這些供給量的供給函數(shù)一般地,商品的供給量隨價格的上漲而增加,隨價格的下降而減少,因此,供給函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù).例如,函數(shù)稱為線性供給函數(shù)(如圖).六、市場均衡對一種商品而言,如果需求量等于供給量,則這種商品就達(dá)到了市場均衡.以線性需求函數(shù)和線性供給函數(shù)為例,令這個價格稱為該商品的市場均衡價格.稱為市場均當(dāng)市場均衡時有衡數(shù)量.例3某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.解由均衡條件得即市場均衡價格為7,市場均衡數(shù)量為165.例4某批發(fā)商每次以160元/臺的價格將500臺電扇批發(fā)給零售商,在這個基礎(chǔ)上零售商每次多進100臺電扇,則批發(fā)價相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺,試將電扇批發(fā)價格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求出零售商每次進800臺電扇時的批發(fā)價格.解由題意看出所求函數(shù)的定義域為[500,1000].已知每次多進100臺,價格減少2元,設(shè)每次進電扇臺,則每次批發(fā)價減少元/臺,數(shù)為即所求函當(dāng)時,(元/臺)七、成本函數(shù)產(chǎn)品成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的全部費用支出,成本函數(shù)表示費用總額與產(chǎn)量(或銷售量)之間的依賴關(guān)系,產(chǎn)品成本可分為固定成本和變動成本兩部分.一般地,數(shù),即稱其為成本函數(shù).當(dāng)產(chǎn)量時,對應(yīng)的成本函以貨幣計值的(總)成本是產(chǎn)量的函和銷售數(shù)值就是產(chǎn)品的固定成本值.設(shè)為成本函數(shù),稱為單位成本函數(shù)或平均成本函數(shù).成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù),其圖像稱為成本曲線.八、收入函數(shù)與利潤函數(shù)銷售某種商品的收入等于商品的單位價格乘以銷售量即稱其為收入函數(shù).而銷售利潤等于收入減去成本即當(dāng)時,生產(chǎn)者盈利;當(dāng)時,生產(chǎn)者虧損;當(dāng)時,生產(chǎn)者盈虧平衡;使的點稱為盈虧平衡點(又稱為保本點).稱其為利潤函數(shù)1.(1)設(shè)手表的價格為70元，銷售量為10000只，若手表每只提高3元，需求量就減少3000只，求需求函數(shù)(2)設(shè)手表價格為70元，手表廠可提供10000只手表，當(dāng)價格每只增加3元時，手表廠可多提供300只，求供應(yīng)函數(shù)(3)求市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.課堂練習(xí)內(nèi)容小結(jié)1.利息的計算2.貼現(xiàn)設(shè)在考察的年間復(fù)利年利率不變，則第年后價值為元錢的貼現(xiàn)金額為3.常用經(jīng)濟函數(shù)如需求函數(shù)、供給函數(shù)、成本函數(shù)、收入函數(shù)與利潤函數(shù)等.作業(yè)習(xí)題1-3Ex.2,Ex.5,Ex.8,Ex.91.4數(shù)列的極限極限概念數(shù)列的定義數(shù)列的極限收斂數(shù)列的性質(zhì)一、極限概念的引入1、割圓術(shù):割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至不可割,則與圓周合體而無所失矣.劉徽2、截丈問題:一尺之棰,日截其半,萬世不竭.二、數(shù)列的定義定義按一定次序排列的無窮多個數(shù)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.可簡記為其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的項,稱為通項(一般項).數(shù)列舉例:注:1.它在數(shù)軸上依次取值2.數(shù)列可看作數(shù)軸上一個動點,的函數(shù):數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)三、數(shù)列的極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:其中例1證明證故對任給要使只要即所以,則當(dāng)時,就有即由若取例證明其中證任給若則若欲使必須即故對任給若取則當(dāng)時,就有從而證得例3用數(shù)列極限定義證明證由于只要即因此,對任給的當(dāng)時,即要使取有成立,四、收斂數(shù)列的有界性定義對數(shù)列若存在正數(shù)使對一切自然數(shù)恒有則稱數(shù)列有界,否則,稱為無界.例如,數(shù)列有界;數(shù)列無界.幾何解釋:存在使得數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點都落在閉區(qū)間上.證設(shè)由定義,若取則使當(dāng)時,恒有即:若記則對一切自然數(shù)皆有故有界.注意:有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.定理1收斂的數(shù)列必定有界.五、極限的唯一性定理收斂數(shù)列的極限是唯一的.證用反證法,設(shè)由定義,使得當(dāng)時,恒有當(dāng)時,恒有取則當(dāng)時有上式僅當(dāng)時才能成立.證畢.例4證明數(shù)列是發(fā)散的.證設(shè)由定義,對于使得當(dāng)時,恒有即當(dāng)時,區(qū)間長度為1.而無休止地反復(fù)取1,-1兩個數(shù),不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).因此該數(shù)列是發(fā)散的.證畢.注:此例同時也表明:有界數(shù)列不一定收斂.定理3(收斂數(shù)列的保號性)若且(或),則存在正整數(shù)當(dāng)時,都有(或).證只證的情形.按定義,對正整數(shù)當(dāng)時,有證畢.六、收斂數(shù)列的保號性推論若數(shù)列從某項起有(或且則(或證只證數(shù)列從第項起有情形.用反證法.若則由定理3,正整數(shù)有取時,當(dāng)按假定有但按定理3有矛盾.故必有數(shù)列從某項起有的情形,可以類似地證明.當(dāng)時,定義在數(shù)列中任意抽取無限多項項在原數(shù)列中的先后次序,這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列).注:是中的第項,是原數(shù)列中第項,定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)如果數(shù)列收斂于那么它的任一子數(shù)列也收斂,且極限也是并保持這些七、子數(shù)列的收斂性注:定理4的逆否命題知,若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限,則數(shù)列是發(fā)散的.例如,考察數(shù)列其子數(shù)列收斂于1,而子數(shù)列收斂于-1,因此數(shù)列是發(fā)散的.此例說明:一個發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列.內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的概念理解極限的定義與極限的思想.當(dāng)時，2.定義論證方法對找使當(dāng)時，總有具體運用時，常用分析法倒推:具體運用時，常用分析法倒推:即從出發(fā)，將不等式左端變形解出取然后用定義敘述和下結(jié)論.3.數(shù)列極限的主要性質(zhì)有界性，唯一性，保號性，子數(shù)列.2.定義論證方法再令其若干步后內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P40Ex.1,Ex.2(2),Ex.3,Ex.41.5函數(shù)的極限自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限自變量趨向有限值時函數(shù)的極限函數(shù)極限的性質(zhì)一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限觀察函數(shù)當(dāng)時的變化趨勢.問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻畫下述過程:定義:設(shè)函數(shù)當(dāng)大于某一正數(shù)時有定義.如果對任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在著正數(shù)使得對于滿足不等式的一切函數(shù)“無限接近”確定值)(xfA.當(dāng)時,?x￥恒有那么常數(shù)就叫函數(shù)當(dāng)時的極限,記作或(當(dāng)注:根據(jù)上述定義,可用語言描述如下:“使得時,恒有”定義的幾何解釋:單側(cè)極限:情形:即使當(dāng)時,恒有情形:使當(dāng)時,恒有定理1且即例1證明證因為于是可取則當(dāng)時,恒有故證畢.例2用極限定義證明證對于任意給定的要使只要即就可以了.因此，對于任意給定的取則當(dāng)時，恒成立.所以注：同理可證：而當(dāng)時，時，當(dāng)二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問題:如何用數(shù)學(xué)語言描述下述過程:在的過程中,函數(shù)無限趨近于確定值定義設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義.若對任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正數(shù)使當(dāng)時,函數(shù)都滿足不等式則常數(shù)就稱為函數(shù)當(dāng)時的極限.記作或(當(dāng)de-定義使當(dāng)時,恒有注意:1.無關(guān);2.與任意給定的正數(shù)有關(guān).定義的幾何解釋:在點處是否有定義函數(shù)極限與例4(1)證明例4(2)證明證任給取當(dāng)時，成立，例5證明證函數(shù)在點處沒有定義,任給要使只要取則當(dāng)時,就有例證明:當(dāng)時,證任給要使只要且則當(dāng)時,就有取,三、左右極限左極限使當(dāng)時,恒有記作或右極限使當(dāng)時,恒有記作或注意定理例驗證不存在.證左右極限存在但不相等.不存在.例6設(shè)求解因為即有所以不存在.例7設(shè)求解在處沒有定義,而故不存在.四、函數(shù)極限的性質(zhì)唯一性定理若存在,則極限唯一.有界性定理若則存在常數(shù)和使得當(dāng)時,有保號性定理若且(或則使得當(dāng)時,有(或推論若且在的某去心鄰域內(nèi)(或則(或五、子序列收斂性定義設(shè)在過程可以是或中有數(shù)列使得時則稱數(shù)列為函數(shù)當(dāng)時的子序列.定理若數(shù)列是當(dāng)時的一個子序列,則有函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是都存在且相等.例如,設(shè)則例如證明不存在.它的任何子列的極限證取且且,而二者不相等,故不存在.2.若且問：能否保證有的結(jié)論？試舉例說明.課堂練習(xí)1.設(shè)函數(shù)試問函數(shù)在處的左、右極限是否存在？當(dāng)時，的極限是否存在？1.解設(shè)函數(shù)試問函數(shù)在處的左、右極限是否存在？當(dāng)時，的極限是否存在？左極限存在.右極限存在.不存在.2.若且問：能否保證有的結(jié)論？試舉例說明.解不能保證.例如，設(shè)有但1.函數(shù)極限的概念內(nèi)容小結(jié)時刻，從該時刻以后，恒有過程時刻過程時刻從此時刻以后從此時刻以后內(nèi)容小結(jié)2.定義論證方法對找（或使當(dāng)（或時，總有具體運用時，常用分析法倒推:即從出發(fā)，將不等式左端變形若干步后再令其解出(或取(或然后用定義敘述和下結(jié)論.內(nèi)容小結(jié)2.定義論證方法3.函數(shù)極限的主要性質(zhì)函數(shù)極限的唯一性局部有界性局部保號性.內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P46Ex.2，Ex.3Ex.4（2）（4）1.6無窮小與無窮大無窮小無窮大運算性質(zhì)無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小定義極限為零的變量(函數(shù))稱為無窮小.例如:時的無窮小.函數(shù)是當(dāng)時的無窮小.函數(shù)是當(dāng)時的無窮小.函數(shù)是當(dāng)注意:(1)無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆.(2)零是可以作為無窮小的唯一常數(shù).其中是給出了函數(shù)在鄰近處的近似表達(dá)式:無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理時的無窮小.當(dāng)注:該定理在后續(xù)課程中有重要的應(yīng)用,其意義在于:(1)(2)誤差為將一般極限問題轉(zhuǎn)化為無窮小問題;當(dāng)時例證根據(jù)定義證明：為無窮小.要使只須取時，則當(dāng)

恒有證畢.二、無窮小的運算性質(zhì)定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.例如,是無窮小,但個之和為1,不是無窮小.時,定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.例如當(dāng)時,變量都是無窮小.完例1解所以,求因為而當(dāng)時,是無窮小量,是有界量三、無窮大在某一變化過程中,絕對值無限增大的變量稱為無窮大.定義如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么大)總存在正數(shù)(或正數(shù)),使對于滿足不等式(或)的一切所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式則稱函數(shù)當(dāng)(或)時為無窮大,記作特殊情形:正無窮大,負(fù)無窮大:注意1.不能與很大的數(shù)混淆;3.反之不然.無窮大是變量,2.認(rèn)為極限存在;切勿將無窮大是一種特殊的無界變量.例2證證明要使只要取就有則當(dāng)時,所以例3證但不是無窮大.取的兩個子列：是一個無界變量，當(dāng)時，且則故使即是無界的；但所以不是無窮大.四、無窮小與無窮大的關(guān)系定理4在自變量變化的同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.意義無窮大的討論可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.例4解求因為根據(jù)無窮小與無窮大的關(guān)系有1.求2.(1)設(shè)時，是有界量，是無窮大量，證明：是無窮大量.(2)設(shè)時，是無窮大量.證明：是無窮大量.課堂練習(xí)是一個正的常數(shù))，1.求解因為于是，根據(jù)無窮小與無窮大的關(guān)系有2.(1)設(shè)時，是有界量，是無窮大量，證明：是無窮大量.(2)設(shè)時，是一個正的常數(shù))，是無窮大量.證明：是無窮大量.證(1)因為當(dāng)時，是有界量，是無窮小量，故是無窮小量.又當(dāng)時，是無窮小量與有界量之積.故是無窮小量.從而當(dāng)時，是無窮大量.(2)因為當(dāng)時，(有界量),是無窮小量，所以是無窮小量.為無窮大量.從而當(dāng)時是內(nèi)容小結(jié)1.無窮小及其基本性質(zhì)定義:極限為零的變量(函數(shù))稱為無窮小.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:無窮小的運算性質(zhì):兩個定理三個推論.2.無窮大及其基本性質(zhì)絕對值無限增大的變量稱為無窮大.即（或無窮小與無窮大的關(guān)系:在同一過程中，無窮大的倒數(shù)為無窮?。?.幾點注意（1）無窮小(大)是變量，不能與很小(大)的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和(乘積)未必是無窮小；（3）無界變量未必是無窮大.作業(yè)EX.1,Ex.2,Ex.41.7極限運算法則四則運算法則復(fù)合函數(shù)運算法則定理設(shè)則(1)(2)(3)證其中由無窮小運算法則,得(1)成立.(2)成立.注意到又于是存在某個時刻,從該時刻起故有界,(3)成立.推論1如果存在,而為常數(shù),則即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2如果存在,而是正整數(shù),則例1求解注：設(shè)則有例2求解注：設(shè)且則有當(dāng)時，則商的法則不能應(yīng)用.例3求解又由無窮小與無窮大的關(guān)系，得商的法則不能用.例4求解時，分子和分母的極限都是零先約去不為零的無窮小因子后再求極限.消去零因子法例5求解時，分子和分母的極限都是無窮大先用去除分子分母，分出無窮小，再求極限.無窮小因子分出法注：當(dāng)和為非負(fù)整數(shù)時，有無窮小因子分出法：以分母中自變量的最高次冪除分子和分母，以分出無窮小，然后再求極限的方法.例6計算時，分子分母均趨于此類極限也不可把分子分母同除以絕對再用極限運算法則.解能直接用極限運算法則，值最大的項，例7求解本題考慮無窮多個無窮小之和.先變形再求極限例9已知求解先求因為所以此外，易求得例計算解因分母的極限為0，故不能應(yīng)用極限運算法則，而要先對函數(shù)做必要的變形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后約去分子分母中的公因子.例計算下列極限：(1)(2)解(1)由于而是有界量，由有界量與無窮小之積知為無窮小解(2)因為又從而即為有界量，所以復(fù)合函數(shù)的極限運算法則設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函域內(nèi)有定義,若在點的某去心鄰當(dāng)時,有則且存在注:(1)將換成或而把換成可得到類似定理;定理2復(fù)合而成,數(shù)(2)若函數(shù)和滿足該定理的條件,則作代換可把求化為求其中定理表明:例10求極限解一令則當(dāng)時，故原式解二例計算解時，與的極限均不存在，要先用三角公式變形：但不能認(rèn)為它們差的極限也不存在，綜合題已知求之值.解因故解得1.求極限：課堂練習(xí)2.在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？1.求極限：解(1)原式（2）2.在某個過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？解沒有極限.假設(shè)有極限，有極限，由極限運算法則可知：與已知矛盾，故假設(shè)錯誤.必有極限,內(nèi)容小結(jié)1.極限的四則運算法則設(shè)則2.復(fù)合函數(shù)的極限設(shè)且又則3.極限求法小結(jié)a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限；b.消去零因子法求極限；c.無窮小因子分出法求極限；d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限；e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.內(nèi)容小結(jié)作業(yè)EX.1(單號題）Ex.2（3）Ex.3Ex.51.8極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則兩個重要極限連續(xù)復(fù)利一、夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則Ⅰ如果數(shù)列及滿足下列條件:(1)(2)那么數(shù)列的極限存在,且準(zhǔn)則Ⅰ`如果當(dāng)或時,有(1)(2)那么存在,且等于例1解求又由夾逼準(zhǔn)則得例解求設(shè)顯然,又由夾逼準(zhǔn)則知即例2解求由易見又所以例解求其中因此而所以例解求令則因此,由于所以故例解求證(1)當(dāng)時,故(2)當(dāng)時,設(shè)顯然當(dāng)時,由例3知所以(3)當(dāng)時,總存在一個正數(shù)使得由知(2)所以綜合上述證明可知例求解由易見對任意自然數(shù)有故而所以例3求極限解因為故由準(zhǔn)則I,故得例解求極限當(dāng)時,因此,當(dāng)時,由夾逼定理可得當(dāng)時,有由夾逼定理可得從而二、單調(diào)有界準(zhǔn)則如果數(shù)列滿足條件單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例如,單調(diào)增加數(shù)列:單調(diào)減少數(shù)列:例4證設(shè)有數(shù)列求顯然是單調(diào)遞增的.下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明有界.因為假定則所以是有界的.從而存在.由遞推關(guān)系得即故解得(舍去).所以例解設(shè)為常數(shù),數(shù)列由下列定義:其中為大于零的常數(shù),求先證明數(shù)列的極限的存在性.由即由知因此又界.即有下故數(shù)列單調(diào)遞減,由極限存在準(zhǔn)則知存在.不妨設(shè)對式子兩邊取極限得:解之得即三、兩個重要極限(1)例5解求例解求例6解求原式例解下列運算過程是否正確:這種運算是錯誤的.當(dāng)時,本題所以不能應(yīng)用上述方法進行計算.正確的作法如下.令則當(dāng)時,于是例解計算例解計算例解計算(2)定義類似地,例8解求例9解求例解求例11解求例解求例解計算例解求極限令則當(dāng)時,又故四、連續(xù)復(fù)利設(shè)初始本金為(元),年利率為按復(fù)利付息,一年分次付息,則第年末的本利和為若利用二項展開式,有因而因為所以,本金為按名義年利率不斷計算復(fù)利,則年后的本利和注:連續(xù)復(fù)利的計算公式在其它許多問題中也常有應(yīng)用，如細(xì)胞分裂、樹木增長等問題.例一投資者欲用1000元投資5年,設(shè)年利率為試分別按單利、復(fù)利、每年按4次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利付息方式計算,到第5年末,該投資者應(yīng)得的本利和解按單利計算(元).按復(fù)利計算(元).按每年計算復(fù)利4次計算(元).按連續(xù)復(fù)利計算(元).1.求極限課堂練習(xí)2.求極限1.求極限解2.求極限解內(nèi)容小結(jié)1.夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列及滿足下列條件:那么數(shù)列的極限存在，且2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列必有極限，即單調(diào)增加有上界或減少有下界的數(shù)列必有極限.單調(diào)3.兩個重要極限1.夾逼準(zhǔn)則2.單調(diào)有界準(zhǔn)則內(nèi)容小結(jié)作業(yè)EX.1(單號題）Ex.2(單號題）Ex.5(1)Ex.6Ex.91.9無窮小的比較無窮小比較的概念等價無窮小一、無窮小比較的概念引例當(dāng)時,都是無窮小.比要快得多;比大致相同;無窮小比的極限不同,反映了趨向于零的快慢程度不同.定義設(shè)是同一過程中的兩個無窮小,且(1)稱是比高階的無窮小,記作(3)同階的無窮則稱與小.特別地,若則稱與是等價的若若(2)若稱是比低階的無窮小.記作窮小.無(4)則稱是的k階無窮小.若例1證明：當(dāng)時，為的四階無窮小.解故當(dāng)時，為的四階無窮小.例2當(dāng)時，求關(guān)于的階數(shù).解當(dāng)時，為的三階無窮小.完二、常用等價無窮小根據(jù)等價無窮小的定義,可以證明,當(dāng)時,有下列常用等價無窮小關(guān)系:例3證明：證令則且時，因此即有等價關(guān)系上述證明同時也證明了等價關(guān)系定理1（等價無窮小替換定理）存在,則證注:(1)(2)完不能濫用等價無窮小代換;對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.設(shè)是同一過程中的無窮小,且例4求解當(dāng)時，故例求解當(dāng)時，故例5求錯解當(dāng)時，原式正解當(dāng)時，故完例求解先用對數(shù)性質(zhì)化簡分子，得原式因為當(dāng)時，有所以原式例6計算解由于時，故例計算解注意到當(dāng)時，所以例計算解原式定理2與是等價無窮小的充分必要條件是證必要性設(shè)則因此,即充分性設(shè)則因此,例7求解原式1.求極限課堂練習(xí)2.任何兩個無窮小量都可以比較嗎?1.求極限解(令2.任何兩個無窮小量都可以比較嗎?解不能.當(dāng)時,都是無窮小量,但不存在且不為無窮大,故當(dāng)時,和不能比較.例如,作業(yè)Page67EX.4Ex.51.10函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)性左連續(xù)與右連續(xù)函數(shù)的間斷點定義3設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,如果當(dāng)時的極限存在,且等于它在點處的函數(shù)值即那么就稱函數(shù)在點處連續(xù).定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,若使當(dāng)時,恒有那么就稱函數(shù)在點處連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的增量設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,稱為自變量相對于點的增量.稱為函數(shù)相對于的增量.或那么就稱函數(shù)在點處連續(xù),稱為的連續(xù)點.連續(xù)的定義定義1如果當(dāng)自變量的增量趨向于零時,對應(yīng)的函數(shù)的增量設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,也趨向于零,即例1試證函數(shù)在處連續(xù).證又由定義2知，函數(shù)在處連續(xù).例設(shè)解為使在處連續(xù)，與應(yīng)如何取值？因為為使在處連續(xù)，只要而要使存在，須即得代入即當(dāng)時，在連續(xù).例是定義于上的單調(diào)增加函數(shù)，若存在，證設(shè)由于單調(diào)增加，則當(dāng)時，當(dāng)時，由此可見，即因此在連續(xù).證明在連續(xù).二、左右連續(xù)若函數(shù)在內(nèi)有定義,且則稱在點處左連續(xù);若函數(shù)在內(nèi)有定義,且則稱在點處右連續(xù).定理函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是函數(shù)在處既左連續(xù)又右連續(xù).例2已知函數(shù)在點處連續(xù)，求的值.解因為點處連續(xù)，則即例取何值時，在處連續(xù).解要使必須故當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)處連續(xù).在三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù).如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),并且在左端點處右連續(xù),在右端點處左連續(xù),則稱連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,有理整函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.函數(shù)在閉區(qū)間],[ba上連續(xù).,例3證即函數(shù)對任意都是連續(xù)的.證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù).當(dāng)時，四、函數(shù)的間斷點函數(shù)在點處連續(xù)必須滿足的三個條件:在點處有定義;存在;若上述三個條件中有一個不滿足,則稱函數(shù)在點處不連續(xù)(或間斷),連續(xù)點(或間斷點).并稱點為

的不第一類間斷點設(shè)點為的間斷點.但左極限及右極限都存在,則稱為的第一類間斷點.當(dāng)時,間斷點.當(dāng)定義,則稱點為的可去間斷點.稱為的跳躍或在點處無第二類間斷點如果在點處的左、右極限至少有一個不存在,則稱點為函數(shù)的第二類間斷點.常見的第二類間斷點有(在的過程中,無限振蕩,極限不存在).(例)振蕩間斷點和無窮間斷點例