知識講解-數列的概念與簡單表示法-基礎

數列的概念與簡單表示法編稿：張希勇審稿：李霞【學習目標】1.掌握數列的概念與簡單表示方法，能處理簡單的數列問題.2.掌握數列及通項公式的概念，理解數列的表示方法與函數表示方法之間的關系.3.了解數列的通項公式的意義并能根據通項公式寫出數列的任一項.4.理解數列的順序性、感受數列是刻畫自然規(guī)律的數學模型，體會數列之間的變量依賴關系.【學習策略】數列是自變量為正整數的一類特殊的離散函數，因此，學習數列，可類比函數來理解。關于數列的一些問題也常通過函數的相關知識和方法來解決 .【要點梳理】要點一、數列的概念數列概念：按照一定順序排列著的一列數稱為數列 .要點詮釋：⑴數列的數是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數列的數相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數列；⑵定義中并沒有規(guī)定數列中的數必須不同，因此，同一個數在數列中可以重復出現 .數列的項：數列中的每一個數叫做這個數列的項 .各項依次叫做這個數列的第 1項，第2項，?；排在第 n位的數稱為這個數列的第 n項.其中數列的第 1項也叫作首項 .要點詮釋：數列的項與項數是兩個不同的概念。數列的項是指數列中的某一個確定的數，而項數是指這個數在數列中的位置序號.類比集合中元素的三要素，數列中的項也有相應的三個性質：1）確定性：一個數是否數列中的項是確定的；2）可重復性：數列中的數可以重復；3）有序性：數列中的數的排列是有次序的.數列的一般形式：數列的一般形式可以寫成： a1,a2,a3, ,an, ，或簡記為{an}.其中an是數列的第 n項.要點詮釋：{an}與an的含義完全不同， {an}表示一個數列， an表示數列的第 n項.要點二、數列的分類根據數列項數的多少分：有窮數列：項數有限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6是有窮數列無窮數列：項數無限的數列.例如數列1，2，3，4，5，6，?是無窮數列根據數列項的大小分：遞增數列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列。遞減數列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列。常數數列：各項相等的數列。擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列.要點三、數列的通項公式與前n項和數列的通項公式如果數列an的第n項an與n之間的關系可以用一個公式anf(n)來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式 .如數列：0,1,2,3,...的通項公式為ann1（nN*）；1,1,1,1,...的通項公式為an1（nN*）；1,1,1,1,...的通項公式為an1（nN*）；234n要點詮釋：⑴并不是所有數列都能寫出其通項公式；⑵一個數列的通項公式有時是不唯一的。如數列：1，0，1，0，1，0，?它的通項公式可以是an1(1)n1，也可以是an|cosn1|.22⑶數列通項公式的作用：①求數列中任意一項；②檢驗某數是否是該數列中的一項.（4）數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第n項，又是這個數列中所有各項的一般表示．數列{an}的前n項和數列{an}的前n項和：指數列{an}的前n項逐個相加之和，通常用Sn表示，即Sna1a2...an；an與Sn的關系當n1時aS；11當n2時，an(a1a2...an1an)(a1a2...an1)SnSn1故anS1,n1.SnSn1,n2且nN*要點四、數列的表示方法通項公式法（解析式法） ：數列通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系。給了數列的通項公式，代入項數就可求出數列的每一項．反之，根據通項公式，可以判定一個數是否為數列中的項。列表法相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用a1表示第一項，用a2表示第二項，??，用an表示第n項，??，依次寫出得數列{an}．12?n?a1??a2an圖象法：數列是一種特殊的函數，可以用函數圖象的畫法畫數列的圖形．具體方法：以項數n為橫坐標，相應的項an為縱坐標，即以(n,an)為坐標在平面直角坐標系中做出點。所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在 y軸的右側，而點的個數取決于數列的項數．從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．遞推公式法遞推公式：如果已知數列

an

的第

1項（或前幾項），且任一項

an與它的前一項

an1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。遞推公式也是給出數列的一種方法。如：數列：-3，1，5，9，13，?，可用遞推公式：a13,anan14(n2)表示。數列：3，5，8，13，21，34，55，89，?，可用遞推公式：a13,a25,anan1an2(n3)表示。要點五、數列與函數（1）數列是一個特殊的函數，其特殊性主要體現在定義域上。數列可以看成以正整數集N（或它的有限子集{1,2,3,...,n}）為定義域的函數anf(n)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值。反過來，對于函數yf(x),如果f(i)（i1,2,3,...,n,...）有意義，那么我們可以得到一個數列 f(1)，f(2)，f(3)，?，f(n)，?；2）數列的通項公式實際上就是相應函數的解析式。數列的項是函數值，序號是自變量，數列的通項公式就是相應函數的解析式。數列通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系。給了數列的通項公式，代入項數就可求出數列的每一項．反之，根據通項公式，可以判定一個數是否為數列中的項。（3）數列的圖象是落在 y軸右側的一群孤立的點數列

an

f(n)的圖象是以項數

n為橫坐標，相應的項

an為縱坐標的一系列孤立的點

(n,an)，這些點都落在函數

y

f(x)的圖象上。因為橫坐標為正整數，所以這些點都在

y軸的右側，從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢．（4）跟不是所有的函數都有解析式一樣，不是所有的數列都有通項公式

.【典型例題】類型一：根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式例1．寫出下列各數列的一個通項公式，使其前四項分別是

:(1)0,

3,

8,

15

,?；2 3

4(2)1,

3,

5,

7

,?；4 9

16(3)9,99,999,9999,(4)6,1,6,1, ?.

?；【解析】（1）將數列改寫為121，221，321，421，?，1234故ann21.n（2）此數列奇數項為正，偶數項為負，可用(1)n1來表示；其絕對值中分子為奇數數列，分母是自然數的平方數列，故an(1)n12n1.n2（3）將數列改寫為1011,1021,1031,1041，?，故an10n1.（4）將數列每一項減去6與1的平均值7得新數列5,-5,5,-5,?，22222故an7(1)n15或an75cos(n1).2222【總結升華】寫通項時注意以下常用思路：①若數列中的項均為分數，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時分數是約分后的結果，要根據觀察還原分數；②注意(－1)n在系數中的作用是讓數列中的項正、負交替出現，如(2)；(-1)n作指數，讓數列中隔項出現倒數；③（4）可視為周期數列，故想到找一個周期為2的函數為背景。④歸納猜想的關鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項進行適當的變形，使規(guī)律明朗化.⑤熟練掌握一些基本數列的通項公式，例如：數列-1，1，-1，1，?的通項公式為an(1)n；數列1，2，3，4，?的通項公式為ann；數列1，3，5，7，?的通項公式為21；ann數列2，4，6，8，?的通項公式為an2；n數列1，4，9，16，?的通項公式為ann2；數列1，1，1，1，?的通項公式為an1。234n舉一反三：【高清課堂：數列的概念與簡單表示法 379271數列知識的講解及配套練習】【變式】根據下面數列的前幾項的值，寫出數列的一個通項公式：(1)1,1,1,1, ?；(2)-1,1,-1,1,?；(3)1,-1,1,-1,?；(4)1，111?；，，,243(5)2，0，2，0，?.【答案】an1；an(1)n2；(3)a(1)n1；n(4)an(1)n11；n(5)an1(1)n1；類型二：通項公式的應用例2（2015秋奇臺縣校級期中）已知數列{an}的通項公式是，寫出數列{an}的前5項．【思路點撥】利用數列的通項公式能寫出數列{an}的前5項．【解析】∵數列{an}的通項公式是，a1=﹣1+1=0，a2=1+2=3，a3=﹣1+3=2，a4=1+4=5，a5=﹣1+5=4．【總結升華】根據數列的通項公式，可以寫出數列的所有項。舉一反三：【變式1】（2014秋紅橋區(qū)期中）根據如圖所示的程序框圖，變量a每次賦值后的結果依次記作：a1、a2、?a?．如a=3?．a3n1=1，a2（Ⅰ）寫a3、a4、a5；（Ⅱ）猜想出數列{an}的一個通項公式；（Ⅲ）寫出運行該程序結束輸出的a值．（寫出過程）【解析】（Ⅰ）a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31（Ⅱ）猜想： an=2n﹣1（Ⅲ）當 n=11時，a＞2014，輸出a=2047.【變式2】根據下列數列 {an}的通項公式，寫出它的第五項 .（1）ann；（2）annsinn，2n12【答案】（1）5；（2）5.9例3．已知數列{an}的通項公式 an 3n 2,試問下列各數是否為數列 {an}的項，若是，是第幾項？(1)94 ；(2)71.【思路點撥】先假設是數列中的項， 可以列方程求解，若求解得到的腳標 n N，那么是數列中的項， 否則，不是.【解析】（1）設94 3n 2,解得n 32.故94是數列{an}的第32項.1（2）設71 3n 2，解得n 24 N.故71不是數列{an}的項.【總結升華】方程思想是解決數列中未知量的主要方法， n,an,d,Sn,a1中知三求二，就是采用了方程的思想.舉一反三：【變式】已知數列{an}的通項公式an(n1)(n2),（1）若an9900，試問an是第幾項？（2）56和28是否為數列{an}的項？【答案】（1）98項；（2）56是，28不是.類型三：遞推公式的應用【高清課堂：數列的概念與簡單表示法379271例2】例4.設數列{an}滿足：a11，an112)，寫出這個數列的前五項。(nan1【思路點撥】題中已給出{a}的第11，故可以依次寫出下列各項.項a11和遞推公式：an1nan1a11，a2112，a3131158【解析】據題意可知：a11，a4a33，a5a225故數列的前5項為:1，2，3，5，8.235【總結升華】遞推公式也是給出數列的一種方法，根據數列的遞推公式，可以逐次寫出數列的所有項。舉一反三：【變式1】已知數列{an}滿足：a11，a23，an2an12an(n1)，寫出前6項.【答案】a11，a23，a35，a411，a521，a643.【變式2】已知數列{a}滿足：a12，an12an，寫出前5項，并猜想an．n【答案】法一：a12，a22222，a322223，觀察可得an2n法二：由an12an，∴an2an1an2即an1anan1an2a2n1∴an2an3a12an1∴aa2n12nn1類型四：前n項和公式Sn與通項an的關系例5．已知數列{an}的前n項和公式Sn，求通項an.（1）Sn2n2n1，(2)Snlog2(n1).【思路點撥】先由n2時，anSnSn1，求出a；再由當n1時，aS，求出a，并驗證a是否符合所求n1111出的an.【解析】(1)當n2時，anSnSn1(2n2n1)[2(n1)2(n1)1]4n3，當n1時，a1S1212112413，∴an2,(n1)4n3,(n2且nN*)(2)當n2時，anSnSn1log2(n1)log2nlog2n1n，11當n1時，a1S1log2(11)1log2，1∴anlog2n1(nN)為所求.n【總結升華】已知S求出a依據的是S的定義：Saa...a，分段求解，然后檢驗結果能nnnn12n否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數的形式.舉一反三：【變式1】（海淀區(qū)2015年高三年級第二學期期末練習）已知數列an的前n項和為Sn，且an0(nN)，又anan1Sn,則a3a1。【答案】因為a1a2S1a1,解得a21,又a2a3S2a1a2,解得a3a11.【變式2】已知數列{an}的前n項積Snn2，求通項an【答案】當n2時，anSnn2，Sn1n1當n1時，a1S112312，113,(n1)∴an2且*.nn)n,(n2N1