材料力學(xué)第三章扭轉(zhuǎn)-正式-第一講

1第三章扭轉(zhuǎn)2第三章扭轉(zhuǎn)

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例§3-2外力偶矩的計(jì)算

扭矩及扭矩圖§3-3純剪切

§3-4

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力3

*§3-8

薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)§3-5

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形§3-6圓柱形密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形

§3-7非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)概念4齒輪傳動(dòng)用于機(jī)床、汽車、起重機(jī)、拖拉機(jī)等的變速箱

§3-1扭轉(zhuǎn)的概念及實(shí)例一、工程實(shí)例56力偶：大小相等，方向相反，不在同一作用線上的一對(duì)平行力稱為“力偶”。力偶矩：平行力中的一個(gè)力與力偶臂的乘積。力偶不能用一個(gè)力來(lái)平衡，力偶只能用力偶平衡。根據(jù)力偶的性質(zhì)，力偶只產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。7MeMe二、桿件扭轉(zhuǎn)受力特點(diǎn)

桿件的兩端作用兩個(gè)大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點(diǎn)桿件的任意兩個(gè)橫截面都發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng).8§3-2外力偶矩的計(jì)算·扭矩及扭矩圖Ⅰ.傳動(dòng)軸的外力偶矩從動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪nMe2Me1Me39外力偶矩Me每秒鐘所作功，即該輪所傳遞的功率為

在已知傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速n和主動(dòng)輪或從動(dòng)輪所傳遞的功率P之后，即可由下式計(jì)算作用于每一輪上的外力偶矩：10

主動(dòng)輪上的外力偶其轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，而從動(dòng)輪上的外力偶則轉(zhuǎn)向與傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反。11Me假想將軸截開取左側(cè)為研究對(duì)象二、內(nèi)力的計(jì)算1.求內(nèi)力截面法TMeMeT:截面內(nèi)力偶矩，稱為扭矩122.扭矩的正負(fù)號(hào)：規(guī)定可按右手螺旋法則表示：扭矩矢量離開截面為正，指向截面為負(fù)。13nnMeMe?xMe?xT3.扭矩圖

用平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，用垂直于桿軸線的坐標(biāo)T表示橫截面上的扭矩，正的扭矩畫在x軸上方，負(fù)的扭矩畫在x

軸下方。Tx+_14Me4ABCDMe1Me2Me3n例3-1一傳動(dòng)軸如圖所示,其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動(dòng)輪A輸入的功率為P1=500kW。若不計(jì)軸承摩擦所耗的功率，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為P2=150kW，P3=150kW,P4=200kW。試做扭矩圖。15解:計(jì)算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3nP1=500kWP2=150kWP4=200kWP3=150kWn=300r/min16

計(jì)算CA

段內(nèi)截面上的扭矩.結(jié)果為負(fù)號(hào),說(shuō)明T

2應(yīng)是負(fù)值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me417ABCD在AD

段內(nèi)1133Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作扭矩圖從圖可見,最大扭矩在CA段內(nèi).同理,在BC

段內(nèi)4774.5N·m9549N·m6366N·m+_T181.實(shí)驗(yàn)前（1）畫縱向線、圓周線;（2）施加一對(duì)外力偶.一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)切應(yīng)力薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實(shí)驗(yàn)后（1）圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；（2）各縱向線均傾斜了同一微小角度；（3）所有矩形網(wǎng)格均成為同樣大小的平行四邊形.§3-3純剪切193.推論（1）橫截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力；（2）切應(yīng)力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ

圓周各點(diǎn)處切應(yīng)力的方向于圓周相切,且數(shù)值相等,近似的認(rèn)為沿壁厚方向各點(diǎn)處切應(yīng)力的數(shù)值無(wú)變化.MeMeABDCdx20此式為薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上切應(yīng)力的計(jì)算公式.4.推導(dǎo)公式Tττ

薄壁筒扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一致.21xdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ1.在單元體左、右面（桿的橫截面）只有切應(yīng)力,其方向于y

軸平行.

兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dydz大小相等,方向相反,將組成一個(gè)力偶.由平衡方程其矩為(dydz)dx22xydydzzdxττ2.要滿足平衡方程

在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對(duì)內(nèi)力組成力偶，其矩為即：3.切應(yīng)力互等定理

單元體兩個(gè)相互垂直平面上的切應(yīng)力同時(shí)存在,且大小相等,都指相（或背離）該兩平面的交線.23MeMel式中,r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律4.純剪切單元體單元體平面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力,則稱為純剪切單元體.從幾何關(guān)系可以得到切應(yīng)變與相對(duì)轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)外力偶Me

在某一范圍內(nèi)時(shí),

與Me

（在數(shù)值上等于

T

）成正比.24三個(gè)彈性常數(shù)的關(guān)系TO從T與之間的線性關(guān)系,可推出與

間的線性關(guān)系.該式稱為材料的剪切胡克定律G–切變模量O由：25思考題：指出下面圖形的切應(yīng)變2切應(yīng)變?yōu)榍袘?yīng)變?yōu)?26四、剪切應(yīng)變能

對(duì)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)的單元體（圖a），為計(jì)算其上的外力所作功dW可使左側(cè)面不動(dòng)，此時(shí)的切應(yīng)力t僅發(fā)生在豎直平面內(nèi)而只有右側(cè)面上的外力tdydz在相應(yīng)的位移gdx上作功。27

當(dāng)材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)（t

≤tp，見圖b），有：28由剪切胡克定律t=Gg，該應(yīng)變能密度的表達(dá)式可寫為

單元體內(nèi)儲(chǔ)存的應(yīng)變能dVe數(shù)值上等于單元體上外力所作功dW，即dVe=dW

。單元體單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，亦即純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度為29變形幾何關(guān)系物理關(guān)系靜力關(guān)系

觀察變形提出假設(shè)變形的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律建立公式§3-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力30一、變形幾何關(guān)系2.平面假設(shè)變形前為平面的橫截面,變形后仍保持為平面，形狀和大小不變；相鄰兩截面的距離不變。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力，且垂直于半徑。1.表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個(gè)角度。31aabbdxO1O23.幾何關(guān)系

傾角是橫截面圓周上任一點(diǎn)A

處的切應(yīng)變,d是b-b截面相對(duì)于a-a截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)角度.

經(jīng)過(guò)半徑O2D

上任一點(diǎn)G的縱向線EG

傾斜了一個(gè)角度r,也就是橫截面半徑上任一點(diǎn)E處的切應(yīng)變TTdADG'ρρD'GE32aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ式中——相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j

沿桿長(zhǎng)的變化率，常用j'

來(lái)表示，對(duì)于給定的橫截面為常量。33

同一圓周上各點(diǎn)切應(yīng)力

均相同,且其值與成正比,

與半徑垂直.

二、物理關(guān)系由剪切胡克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρ34rOdAdAρρT三、靜力關(guān)系結(jié)論ρρIp—橫截面對(duì)圓心的極慣性矩GIp—橫截面扭轉(zhuǎn)剛度35Wt

稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.2.的計(jì)算rOTdAdAρρρmax靜力關(guān)系代入物理關(guān)系中得到物理關(guān)系靜力關(guān)系36（1）實(shí)心圓截面dO四.極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wt的計(jì)算ρdρ37（2）空心圓截面ODdρdρ38例題3-2圖示空心圓軸外徑D=100mm,內(nèi)徑d=80mm,Me1=6kN·m,Me2=4kN·m,材料的切變模量G=80GPa.（1）畫軸的扭矩圖；（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置.Me1Me2ABCll39解:（1）畫軸的扭矩圖Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發(fā)生在BC段

Tmax=4kN·mMe1=6kN·m,Me2=4kN·m42+_T/kN·m40T（2）求軸的最大切應(yīng)力,并指出其位置max

最大切應(yīng)力發(fā)生在截面的周邊上,且垂直于半徑.Me1Me2ABCllmax

Tmax=4kN·m411.數(shù)學(xué)表達(dá)式五、強(qiáng)度條件2.強(qiáng)度條件的應(yīng)用強(qiáng)度校核設(shè)計(jì)截面確定許可載荷42ABC解：作軸的扭矩圖MeAMeBMeC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強(qiáng)度例題3-3

圖示階梯圓軸,AB段的直徑d1=120mm,BC

段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MeA=22kN·m,MeB=36kN·m,MeC=14kN·m.已知材料的許用切應(yīng)力[]=80MPa,試校核該軸的強(qiáng)度.因此,該軸滿足強(qiáng)度要求.1243例題3-4實(shí)心圓軸1和空心圓軸2（圖a、b）材料,扭轉(zhuǎn)力偶矩M

和長(zhǎng)度l

均相等,最大切應(yīng)力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比

=0.8,試求空心圓截面的外徑和實(shí)心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)

分析：設(shè)實(shí)心圓截面直徑為d1,空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設(shè)為T.已知：d1d2D244因此