復(fù)變函數(shù)與積分變換第3章

第三章復(fù)變函數(shù)的積分一.復(fù)變函數(shù)積分的概念二.柯西-古薩特基本定理及其推廣形式三.柯西積分公式四.解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)五.解析函數(shù)的應(yīng)用—處理調(diào)和函數(shù)方面的問題解析函數(shù)的性質(zhì)第一節(jié)復(fù)變函數(shù)積分的概念一、原函數(shù)與不定積分1．原函數(shù)的概念2．不定積分第一節(jié)復(fù)積分的概念有向曲線：設(shè)C為平面給定的一條光滑（或按段光滑）的曲線，如果選定C的兩個可能方向的一個作為正方向（或正向），則我們就把C稱為有向曲線．與曲線C反方向的曲線記為

簡單閉曲線正向：當(dāng)曲線上的點P順此方向前進(jìn)時，鄰近P點的曲線內(nèi)部始終位于P點的左方，這時曲線方向稱為正方向．

分析：將定積分的概念推廣，定義復(fù)變函數(shù)的積分。ab“分割“--”求和”--“極限”一、積分的定義

定義1：

C為區(qū)域D內(nèi)起點為A終點為B的一條有向光滑的簡單曲線．

回顧一：對坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義類似地定義2.存在條件：3.組合形式回顧二：對坐標(biāo)的曲線積分的計算定理特殊情形回顧三：格林公式定理1Gyxo回顧四：曲線積分與路徑無關(guān)的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)有回顧五：曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2二、積分存在條件及其計算方法根據(jù)高等數(shù)學(xué)（線積分的知識），得又則且定理1.1對于的計算(見教材P29--公式(3.4))公式的記憶:計算積分的步驟：解：o34例1例．解：注意：沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無關(guān)，

例3．解：由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的．11注:例1.2解:2(方法二）（例1.2的結(jié)論）積分性質(zhì):(見教材P30)不等式兩端取極限運算,得到結(jié)論.弧長的積分弧段兩端點的直線距離弧段的長度補充：復(fù)變函數(shù)積分的物理意義：（場論中的應(yīng)用）實部：虛部：(單位電荷沿曲線從起點移動到終點過程中，電場所做的功）（向量場中，單位時間流經(jīng)曲線的凈流量）例4．解：小結(jié)1.熟練掌握：應(yīng)用公式(3.4)計算復(fù)變函數(shù)的積分.2.熟練掌握：教材P29--例1.2的結(jié)論.積分的簡單性質(zhì)第二節(jié)柯西積分定理本節(jié)內(nèi)容：例．解：注意：沿不同的路徑積分的結(jié)果是相同的，即積分與路徑無關(guān)，

例3．解：由此題可以看出，盡管起點、終點都一樣，但由于沿不同的曲線積分，所以積分值也是不同的．從上一節(jié)所舉的例子來看:的任何路線積分值都相同，換句話說，積分是與路徑無關(guān)的．由此可猜想：積分的值與路徑無關(guān)或沿閉曲線積分值為零的條件與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)．究竟關(guān)系如何，下面我們討論此問題．預(yù)備知識:關(guān)于坐標(biāo)積分的格林公式充要條件：結(jié)論：根據(jù)格林公式,得即柯西積分定理定理2.1（柯西—古薩基本積分定理）

柯西積分定理表明，函數(shù)滿足一定的條件，則積分與路徑無關(guān)．

定理(P33-定理2.2)則B=證明：依柯西-古薩基本定理應(yīng)用柯西積分定理判定積分：例．解：?GB問題分析：2.2復(fù)合閉路定理—柯西積分定理的推廣定義2.1構(gòu)成有界的多連通區(qū)域G則DCG定理2.3=或AEBFA’E’B’F’C根據(jù)柯西積分定理,得二式相加,得證明：注：（1）解析函數(shù)的性質(zhì)在（多）連通域內(nèi)解析的函數(shù)沿（多）連通域的邊界積分值為零。=只要變形過程中不經(jīng)過函數(shù)的奇點。例解:根據(jù)閉路變形定理，得注：推廣了例題1.2的結(jié)論推論2.1（復(fù)合閉路定理）則=D或利用復(fù)合閉路定理計算積分=（“挖奇點法”）,C為包含1與0的正向簡單閉曲線.解:例1,0為被積函數(shù)的奇點,根據(jù)復(fù)合閉路定理,得柯西積分定理柯西積分定理例題1.2BC則：2.3.原函數(shù)根據(jù)定理2.2定理2.4

則定理2.5類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓——萊布尼茲公式

有了定理7，復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟實變量函數(shù)微積分學(xué)中類似的方法計算，分部積分法，換元積分法均可用在復(fù)變函數(shù)積分中．

例解:根據(jù)定理

,得例．解：例．解：（）A練習(xí)：熟練掌握：柯西積分定理的內(nèi)容,能夠利用定理判定積分值是否為零.小結(jié)定理2.3（閉路變形定理），推論2.1（復(fù)合閉路定理）能利用它們計算積分---“挖奇點法”定理2.5（牛頓萊布尼茲公式）的前提條件并能夠利用它計算積分第三節(jié)柯西積分公式一、柯西積分公式分析:定理3.1：(柯西積分公式）

證明：

對于區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，只要邊界上的函數(shù)值給定，則區(qū)域內(nèi)任意點的函數(shù)值也就完全確定；對于實變函數(shù)，無論函數(shù)怎樣，區(qū)間端點的函數(shù)值不能決定區(qū)間內(nèi)部點的函數(shù)值。(1)解析函數(shù)的相關(guān)性質(zhì):DC注:(2)柯西積分公式的特殊形式問題:結(jié)論如何?推論3.1證明:根據(jù)柯西積分公式,得C(3)通過柯西積分公式,給出了解析函數(shù)的一種積分表達(dá)式.（改變積分變量符號，積分值不變）解析函數(shù)(4)計算積分例：問題:是否正確?為什么?積分的特征：例解：原式=,C為包含1與0的正向簡單閉曲線.解:例2.11,0為被積函數(shù)的奇點,根據(jù)復(fù)合閉路定理,得所以，因為練習(xí)：小結(jié)

1.掌握:柯西積分公式,能利用它計算積分.2.掌握：解析函數(shù)的性質(zhì)

對于區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，只要邊界上的函數(shù)值給定，則區(qū)域內(nèi)的函數(shù)值也就完全確定；積分特征：練習(xí)（）(B)-1(D)1A（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能確定（）C根據(jù)柯西積分公式，例題1.2的（推廣）結(jié)論第四節(jié)解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一、解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式一個解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù)，而且有各高階導(dǎo)數(shù)，它的值也可以用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示．這一點跟實變函數(shù)完全不同，一個實變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo)，它的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上是否連續(xù)也不一定，更不要說有高階導(dǎo)數(shù)存在了．下面我們討論解析函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)的解析問題．再繼續(xù)又可得：

這是求導(dǎo)與積分兩種運算允許交換的條件下推出的，這樣作是否可行呢？我們對此加以討論．定理4.1DC解析函數(shù)的任意階的導(dǎo)數(shù)都是存在的,且都是解析函數(shù).注：計算積分的計算公式.例:解:原式積分的特征：例1．解：例2．解：例3．解：(C)0(D)不確定（）C練習(xí)題小結(jié)1.熟練掌握：解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解析函數(shù)的任意階的導(dǎo)數(shù)都是存在的,且都是解析的.2.掌握:能利用定理計算積分.第五節(jié)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系本節(jié)引入調(diào)和函數(shù)的定義，并分析它與解析函數(shù)的關(guān)系，以及與之相關(guān)的計算。預(yù)備知識:(1)多元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù):則冰冷卻火加熱穩(wěn)定后，導(dǎo)體中溫度的分布情況：邊緣處取得極值?ADBC

熱傳導(dǎo)理論中的傅里葉定律：在場中之任一點處，沿任一方向的熱流強(qiáng)度（即在該點處于單位時間內(nèi)流過與該方向垂直的單位面積的熱量）與該方向上的溫度變化率成正比。對于正方形ABCD,熱量的凈流出量正比于溫度達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后,熱量流動達(dá)到一個平衡的狀態(tài)：凈流出量為零（能量守恒）.1.調(diào)和函數(shù)的概念定義5.1:定理5.1：若解析函數(shù),則與調(diào)和函數(shù).(柯西-黎曼方程)定理5.1：若解析函數(shù),則與調(diào)和函數(shù).注:定理的逆命題不成立.但均為調(diào)和函數(shù)；但復(fù)平面內(nèi)處處不解析。(柯西-黎曼方程)定理5.1：若解析函數(shù),則與調(diào)和函數(shù).注:定理的逆命題不成立.但均為調(diào)和函數(shù)；但復(fù)平面內(nèi)處處不解析。定義5.2(1)共軛調(diào)和函數(shù)的等價定義注:的共軛調(diào)和函數(shù).稱為(2)兩個函數(shù)的前后次序不能顛倒!!

解析函數(shù)的實部,虛部為調(diào)和函數(shù),且虛部為實部的共軛調(diào)和函數(shù).（3）解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系:2.計算共軛調(diào)和函數(shù)方法一(偏積分法)問題：求解偏微分方程。根據(jù)共軛調(diào)和函數(shù)的等價定義,得例1:解:根據(jù)柯西-黎曼方程,得所以,解析函數(shù):方法二:原函數(shù)法根據(jù)共軛調(diào)和函數(shù)的定義,所以,(柯西黎曼方程)（不定積分運算與高等數(shù)學(xué)情形中一致）例：解:(補充