計(jì)算方法 第四章

計(jì)算方法2月24日1第2章插值法引言拉格朗日插值牛頓插值（差分形式）埃爾米特插值分段低次插值三次樣條插值2插值節(jié)點(diǎn)特性已知兩種多項(xiàng)式插值方法拉格朗日插值法牛頓插值法他們對(duì)節(jié)點(diǎn)位置沒有要求（任意）如果插值節(jié)點(diǎn)等間距（實(shí)際中常見），則牛頓插值法可有所簡(jiǎn)化3等距節(jié)點(diǎn)插值問題

給定(x0,y0),(x1,y1),……(xn,yn),

給定x，確定y=?給定的節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)還滿足等步長(zhǎng)：xi=x0+i*h,其中h>0，稱為步長(zhǎng).從而xi

－xi-1

＝h．此時(shí)有更有效的方法嗎？4復(fù)習(xí)：牛頓均差插值多項(xiàng)式牛頓插值公式余項(xiàng)（與拉格朗日插值余項(xiàng)等價(jià)）5差分定義6不變算子和移位算子I：不變算子E：移位算子7差分性質(zhì)18差分性質(zhì)1推導(dǎo)（以向前差分為例）9……差分性質(zhì)210差分性質(zhì)3（與均差的關(guān)系）11向前差分計(jì)算表格12

向后差分計(jì)算表格13

向前/后差分表格14

用差分取代均差的牛頓插值公式15

等距點(diǎn)牛頓插值公式（向前）16等距點(diǎn)牛頓插值公式（向后）17例5x0=0，給出f(x)=cos(x)在xk=kh，k=0,1,…,6，h=0.1處的函數(shù)值，試用4次等距節(jié)點(diǎn)插值公式計(jì)算f(0.048)及f(0.566)的近似值并估計(jì)誤差。x=0.048接近x0，采用牛頓前插，t=0.48x=0.566接近x6，采用牛頓后插，t=-0.34example20318例519埃爾米特(Hermite)插值重點(diǎn)：除了函數(shù)值約束還有導(dǎo)數(shù)值要求求解方法：重節(jié)點(diǎn)均差待定系數(shù)典型——函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)相同20函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不相同P36兩個(gè)典型的埃爾米特插值？重節(jié)點(diǎn)均差21帶重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值法(不要求)例：給定x0=0，x1=1，x2=2，試求f(x)的四次埃爾米特插值多項(xiàng)式P(x)，使它滿足P(x0)=0，

P(x1)=1，

P(x2)=1，

P’

(x0)=0，

P’(x1)=1f[x0,x0]f[x1,x1]22沒有重節(jié)點(diǎn)的牛頓插值法23重節(jié)點(diǎn)均差24特例：泰勒展開只有一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)：x0將這個(gè)節(jié)點(diǎn)看作是一個(gè)n重節(jié)點(diǎn)25待定系數(shù)法（函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值個(gè)數(shù)不同）先用一般牛頓插值法獲得符合函數(shù)值要求的多項(xiàng)式追加一項(xiàng)不影響之前約束的項(xiàng)，求解系數(shù)26典型埃爾米特插值還是多項(xiàng)式插值，還是n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)條件增加到2n+2個(gè)n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可以確定的多項(xiàng)式次數(shù)增加到2n+1次

H2n+1(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+127基本思想類似拉格朗日法用插值基函數(shù)的線性組合表示每個(gè)插值基函數(shù)都是2n+1次的多項(xiàng)式每個(gè)插值點(diǎn)對(duì)應(yīng)2個(gè)插值基函數(shù)一個(gè)插值基函數(shù)用來滿足函數(shù)值要求一個(gè)插值基函數(shù)用來滿足導(dǎo)數(shù)值要求28埃爾米特插值的構(gòu)成如果獲得了滿足上述條件的插值基函數(shù)，則可構(gòu)成插值多項(xiàng)式其中的線性系數(shù)為29如何求插值基函數(shù)？利用已有的拉格朗日基函數(shù)lj(x)是n次的，而且已經(jīng)滿足了特定條件，所以以此為基礎(chǔ)構(gòu)造所需的兩種基函數(shù)問題一：已經(jīng)滿足什么約束？問題二：還需要滿足什么約束？依據(jù)它們各自需要達(dá)到的條件來解出待定系數(shù)a和b。30